专题突破2斜棱柱不规则几何体建系计算（10大题型）（原卷版）

专题突破2：斜棱柱、不规则几何体建系计算类型策略斜棱柱垂面型从以下几方面思考：垂面如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找建系的z轴垂面如果是一般梯形，可以借助梯形的中线（等腰梯形）或者直角梯形的直角腰建系。斜棱柱垂线型建系如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂线作为xy轴。这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以有以下思维：让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标棱锥垂面型建系棱锥型垂面相对而言较简单，棱锥型垂面，一般垂面多是等腰三角形较多，可以直接用中线来作为z轴。如果是任意三角形，则借助三角形正余弦定理求出高度。z轴可以选择合适的底面垂线组处斜面型棱锥建系斜面型棱锥建系斜面型棱锥，不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高。再在垂足处，构造或者寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系。平行六面体型建系平行六面体建型，一般情况下，平行六面体具有特殊性：平行六面体的测棱和底面两边所成的角度相等，此时，侧棱在底面射影是底面相邻边所成角度的角平分线（可证明），可以选侧棱上合适的点做底面投影以作为z轴建系。等角射影平分线型建系如果一条线和一个角的两边所成角度相等，则该线在角度所在平面射影是角平分线。此时，这个模型也满足“三面角余弦定理”：大题解答时，需要简单的证明才能使用台体建系型正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴。2.非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维。不规则几何体型建系不规则几何体建系型思维：多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标”。如有垂线，则可以垂线型建系。无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设点。翻折型建系翻折型几何体，寻找翻折前和翻折后的“变与不变”的点线面关系。翻折前翻折后在同一平面内的点线，数量关系不变。翻折后，一般情况下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系计算翻折后，可以构造三棱锥，利用三棱锥斜面建系法来建系计算题型一斜棱柱垂面型建系【例1】如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．(1)求证：；(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．【变式11】如图，三棱柱中，，D是AC的中点，.(1)证明：⊥平面；(2)若点到平面的距离是棱长AB的，求二面角的余弦值.【变式12】如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.

(1)证明：OD∥平面；(2)若，，，求平面与平面所成角的大小.题型二斜棱柱垂线法建系【例2】如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，．(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【变式21】如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.

(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值.【变式22】如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，．(1)证明：．(2)若，BB1=4，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.题型三棱锥垂面型建系【例3】如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．

(1)证明：平面平面．(2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的正弦值．【变式31】如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.题型四斜面棱锥型建系【例4】如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．

(1)求证：；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．【变式41】四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，.(1)若点在线段BC上，试确定的位置，使面面ABCD，并给出证明；(2)求二面角AEBC的余弦值.题型五平行六面体型建系【例5】如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．【变式51】如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．题型六等角射影角平分线型建系【例6】如图，在四棱柱中，(1)求证：平面平面；(2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值.【变式61】如图，在三棱柱中，，，．(1)求证：；(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．题型七台体建系【例7】如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点．(1)证明：平面BCD；(2)若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值．【变式71】由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.【变式72】如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.题型八不规则几何体型建系【例8】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．【变式81】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．

(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．【变式82】如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．(1)若点N为的中点，求证：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．题型九翻折型建系【例9】如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

(1)若平面平面，证明：；(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．【变式91】如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.

(1)证明：平面；(2)求平面和平面的