甘肃省兰州市第一中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题

PAGEPAGE7甘肃省兰州市第一中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．将两个数交换，使，下列语句正确的是（）.A．B．C．D．2．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事务是（）A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”3．已知实数满意,则的最小值是（）A． B． C． D．4．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2：3：2：4，则该样本中D类产品的数量为（）A．55件 B．40件 C．33件 D．22件5．某公司在2024－2024年的收入与支出如下表所示：收入（亿元）支出（亿元）依据表中数据可得回来方程为，依此估计2024年该公司收入为8亿元时支出为（）A．4．2亿元 B．4．4亿元 C．5．2亿元 D．5．4亿元6．下列各数中最大的数是（）A． B． C． D．7．依据下面茎叶图供应了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（）A．24和29 B．26和29 C．26和32 D．31和298．我校中学数学爱好小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟试验的方法获得的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标（x，y），其中有399个点的坐标满意，据此可估计的值约为（）A．3.19 B．3.16 C．3.14 D．3.119.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．40.6,1.1 B．48.8,4.2 C．81.2,44.4 D．78.8,75.610．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）A．B．C．D．11．从标有1、2、3、…、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是（）A． B． C． D．12．曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．B．C．D．题号123456789101112答案DCCBCBBAADAD第Ⅱ卷（非选择题共90分）填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个容量为n的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是48和0.3，则n＝________.【答案】16014．下图是一个算法的流程图，则输出的e值是_______【答案】515．由点向圆作的切线方程为___________．【答案】或16．在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0),C(0,a)，D(0,a+2)，若存在点P，使得，则实数a的取值范围是．（注：表示点P与点A之间的距离）【答案】三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）同学小王通过做嬉戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书.求小王周末不在家看书的概率.解析：∵去看电影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(3,4)，……………3分去打篮球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16)，……………6分∴不在家看书的概率为P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).故小王周末不在家看书的概率：eq\f(13,16)……………10分18．（本小题12分）已知直线与圆.（Ⅰ）求证：直线必过定点，并求该定点；（Ⅱ）当圆截直线所得弦长最小时，求的值.【解析】（Ⅰ）证明：直线方程可化为：，对上式中，当时，不论取何值，等式恒成立，所以直线恒过点.……………4分（Ⅱ）将圆的方程化为：，圆心为，半径由（Ⅰ）知，直线恒过点，当圆截直线所得弦长最小时，则垂直于直线，……………8分即.，，，所以当圆截直线所得弦长最小时，的值为.……………12分19．（本小题12分）一只口袋装有形态大小都相同的只小球，其中只白球，只红球，只黄球，从中随机摸出只球，试求：（1）只球都是红球的概率（2）只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的几倍？【解析】记两只白球分别为，；两只红球分别为，；两只黄球分别为，从中随机取2只的全部结果为，，，，，，，，，，，，，，共15种（1）只球都是红球为共1种，概率……………4分（2）只球同色的有：，，，共3种，概率……………8分（3）恰有一只是白球的有：，，，，，，，，共8种，概率;只球都是白球的有：，概率……………12分所以：“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的8倍20．（本小题12分）某企业为了增加某种产品的生产实力，确定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产实力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，依据市场调查与预料，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的运用年限为3年，该产品的销售利润为1万元吨．Ⅰ依据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；Ⅱ将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．依据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率；试预料该企业3年的总净利润年的总净利润年销售利润一投资费用【解析】Ⅰ年销量的平均数吨．Ⅱ该产品的销售利润为1万元吨，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时，年销售利润才不低于220万，年销售利润不低于220万的概率．由Ⅰ可知第一年的利润为：万元，其次年的利润为：万元，第三年的利润为：万元，预料该企业3年的总净利润为：万元．21．（本小题12分）我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作.已知圆:，直线.（Ⅰ）若直线l关于圆的距离比，求实数m的值；（Ⅱ）当时，若圆与y轴相切于点，且直线l关于圆的距离比，试推断圆与圆的位置关系，并说明理由.【解析】（Ⅰ）由直线关于圆的距离的比的定义得：，所以（Ⅱ）当时，直线，圆与轴相切点于所以可设：或①当时，：两圆的圆心距，两圆半径之和为，因此两圆外切②当时，：两圆的圆心距大于两圆的半径之和，因此两圆外离22．（本小题12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：依据散点图，结合函数学问，可以发觉产卵数y和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回来方程来拟合．依据收集到的数据，计算得到如下值：2774182表中，．（Ⅰ）求和温度的回来方程（回来系数结果精确到）；（Ⅱ）求产卵数关于温度的回来方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与）