专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(原卷版+解析)

专题09一次函数与几何图形综合的七种考法类型一、面积问题例．如图，直线AB的表达式为，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为点C在线段上，交y轴于点E．(1)求点A，B的坐标．(2)若，求点C的坐标．(3)若与的面积相等，在直线上有点P，满足与的面积相等，求点P坐标．【变式训练1】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．(1)填空：________；________；________；(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；(2)如图②，若，求点D的坐标．(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．(1)求直线的解析式和点B的坐标；(2)求的面积（用含n的代数式表示）；(3)当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标．类型二、最值问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过、两点．(1)______，______．(2)已知、，①在直线上找一点P，使．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；②点P的坐标为______；③点Q在y轴上，那么的最小值为______．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线经过和两点，且与轴，轴分别相交于，两点．(1)求直线的表达式；(2)若点在直线上，当的面积等于2时，求点的坐标；(3)①在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为______；②在轴上找一点，使得的值最大，则点的坐标为______．【变式训练2】如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数的图象交于点．(1)求正比例函数的表达式；(2)点D是一次函数图象上的一点，且的面积是4，求点D的坐标；(3)点P是y轴上一点，当的值最小时，若存在，点P的坐标是______．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，．(1)求点的坐标；(2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围；(3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长．类型三、等腰三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．(1)A的坐标是______，B的坐标是______；(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．【变式训练1】直线与x轴、y轴分别交于两点，且．(1)求的长和k的值：(2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？(3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．(1)如图1，求直线的解析式和A点坐标；(2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若，求点P坐标；(3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，求点Q的坐标．【变式训练3】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2，点为轴上的一个动点．(1)求点的坐标和、的值；(2)连接，当与的面积相等时，求点的坐标；(3)连接，是否存在点使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．(1)直线的函数表达式．(2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．(3)若为直角三角形，求点D的坐标．【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段上的一个动点，点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点P的运动时间为．(1)求点A和点B的坐标；(2)当的面积为12时，求t的值；(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．(1)求点的坐标；(2)已知点是直线上的动点，若的面积为4，求点的坐标；若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．【变式训练3】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为．(1)则______，______，______；(2)关于，的二元一次方程组y=x+1,y=kx+b的解为______；(3)求四边形的面积；(4)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标．类型五、等腰直角三角形存在性问题例．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．(1)求证：．(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．【变式训练1】综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA的中点，点与点关于轴对称，作直线．(1)求A，B两点的坐标；(2)求直线的函数表达式；(3)若点是直线上的一个动点．请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．A．如图2，连接，．直接写出为直角三角形时点的坐标．B．如图3，连接，过点作轴于点．直接写出为等腰直角三角形时点的坐标．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．(1)求直线的解析式；(2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．(1)求直线的解析式；(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．类型六、平行四边形存在性问题例．在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点．(1)求点的坐标；(2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．(3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．(1)求：的值；(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．【变式训练2】如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是；(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．类型七、菱形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A，(1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________；(2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式；(3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P．(1)A点坐标为________，P点坐标为________；(2)在线段上有一个动点M，过M点作直线轴，与直线相交于点N，若的面积为，求M点的坐标．(3)若点C为线段上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．专题09一次函数与几何图形综合的七种考法类型一、面积问题例．如图，直线AB的表达式为，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为点C在线段上，交y轴于点E．(1)求点A，B的坐标．(2)若，求点C的坐标．(3)若与的面积相等，在直线上有点P，满足与的面积相等，求点P坐标．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：令，则，令，则，解得：，∴点；（2）解：如图，过点C作于点F，∵，∴，∵点D坐标为，点B的坐标为，∴，，∴，∴，∴点F的坐标为，即点C的横坐标为2，当时，，∴点C的坐标为；（3）解：设点C的坐标为，∵与的面积相等，∴，即，∴，即，解得：，∴点C的坐标为，设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，如图，连接，∵与的面积相等，∴点O和点P到距离相等，此时，∴直线的解析式为，联立得：，解得：，∴点P的坐标为．【变式训练1】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．(1)填空：________；________；________；(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，4，2(2)存在，(3)存在，或【详解】（1）∵直线与轴交于点，且经过定点，∴，∴，∴直线，∵直线经过点，∴，∴，把代入，得到．∴，，．故答案为：，4，2；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则的周长最小．设直线的解析式为，∵，，∴，∴，∴直线的解析式为，令，得到，∴，∴存在一点，使的周长最短，；（3）∵点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线，∴，∵，∴，∵点的运动时间为秒．∴，分两种情况：①点在线段上，∵和的面积比为，∴，∴∴，∴；②点在线段的延长线上，∵和的面积比为，∴，∴，∴综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或．【变式训练2】在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；(2)如图②，若，求点D的坐标．(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．【答案】(1)5；(2)；(3)．【详解】（1）解：如图，连接，，，，，；（2）解：，，；（3）解：设，直线的解析式为：，则有：，解得：，，令，解得，，，，，，整理得，解得或（不符合题意，舍去），．【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．(1)求直线的解析式和点B的坐标；(2)求的面积（用含n的代数式表示）；(3)当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标．【答案】(1)，(2)(3)或或【详解】（1）解：∵直线：交y轴于点，∴，∴直线为，当时，，解得，∴；（2）解：∵，∴D的横坐标为1，当时，，∴，∴，∴；（3）解：根据题意，得，解得，∴，①以为腰时，当B为直角顶点时，如图，过点C作轴于点H，则，，∴，，∴，∴，∴，，∴点；当P为直角顶点时，如图，过点C作于点G，，则，，∴，，∴，∴，∴，，∴点；②以为底时，如图，过点C作于点G，作轴于点H，则，，∴，∴，∴∴，∴，，∴，即，∴，∴点；综上，符合题意的点C坐标为或或．类型二、最值问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过、两点．(1)______，______．(2)已知、，①在直线上找一点P，使．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；②点P的坐标为______；③点Q在y轴上，那么的最小值为______．【答案】(1)，4；(2)①见解析；②；③5【详解】（1）解：将、代入中，得：，解得；，故答案为：，4；（2）①如图，点P即为所求；②由作图可知：点P在的垂直平分线上，∵、，∴点P的横坐标为1，代入中，得：，∴；③∵，∴点N关于y轴对称点为，则，∴，∴的最小值为．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线经过和两点，且与轴，轴分别相交于，两点．(1)求直线的表达式；(2)若点在直线上，当的面积等于2时，求点的坐标；(3)①在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为______；②在轴上找一点，使得的值最大，则点的坐标为______．【答案】(1)；(2)或；(3)①②【详解】（1）解：设直线的表达式是，∵直线经过和两点，解得：，∴直线的表达式是；（2）在中，令，则，∴，∴，设，∵的面积等于2，∴，即：，∴，∴或；（3）①如图，∵，∴当时，最小，故点在线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线交轴于点，则点即为所求．∴，设，∴解得：，故点的坐标为，故答案为：；②如图，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于，则，即，当三点共线时，的值最大，∵，∴．设直线的解析式为，把的坐标代入得解得，∴直线的解析式为：当时，，∴．故答案为：．【变式训练2】如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数的图象交于点．(1)求正比例函数的表达式；(2)点D是一次函数图象上的一点，且的面积是4，求点D的坐标；(3)点P是y轴上一点，当的值最小时，若存在，点P的坐标是______．【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）当时，，∴点，∴，即，∴正比例函数的表达式为；（2）设点，当时，，∴点，∴，∵的面积是4，∴，解得：或2，∴点D的坐标为或；（3）存在，理由如下：如图，取点C关于y轴的对称点，则,即点P位于与x轴的交点时，最小，∵点，∴点，设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，，【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，．(1)求点的坐标；(2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围；(3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：∵轴，轴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴点的坐标为：．（2）解：设经过点，的直线的解析式为，且，，∴，解方程组得，，∴经过点，的直线的解析式为，∴，∵点在直线上，∴，∴，则直线的解析式表示为，若直线经过点，则，解方程得，；若直线经过点，则，∴的取值范围是．（3）解：根据“三角形两边之差小于第三边”可知，，∴的最大值为，则点为直线与轴的交点，由（1）可知，，如图所示，过点作轴于，根据勾股定理得，，设，则，解方程得，，∴，∴当取得最大值时，的长为．类型三、等腰三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．(1)A的坐标是______，B的坐标是______；(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)，；(2)；(3)或或或．【详解】（1）解：一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B，令，即，解得，令，即，，，故答案为：，；（2）设直线的解析式，将，代入，，解得，∴直线的函数解析式，设点，则点，点，依题意可得，∴，解得：，；（3）设,而，，，，当时，有，解得：，，当,有，解得：，不合题意舍去，，当时，有，解得：或，或，综上所述：或或或，【变式训练1】直线与x轴、y轴分别交于两点，且．(1)求的长和k的值：(2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？(3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）【答案】(1)，；(2)当点A运动到时，的面积是；(3)，，，．【详解】（1）解：，当时，，∴点C的坐标为，∴，又，∴，即点B的坐标为，将代入，得：，解得，；综上所述：，．（2）作于D，由题意得，，，解得，，即点A的纵坐标为4，，解得，，∴当点A运动到时，的面积是；（3）在（2）成立的情况下，y轴上存在一点P，使是等腰三角形，分四种情况考虑：当时，；当时，；当时，作，，为线段垂直平分线与轴的交点，，，，设，则，在中，，即在中，，即，，，，当时，；综上，P的坐标为，，，．【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．(1)如图1，求直线的解析式和A点坐标；(2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若，求点P坐标；(3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，求点Q的坐标．【答案】(1)；；(2)，．(3)，，．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，解得：，设为，∴，解得：，∴，∵垂直平分，∴的中点的坐标为：，，过作于，则，∴，∴，∴．（2）在y轴上取一点，使得．∵，∴，解得，，∴，．∵，，同理可得：的解析式为：，作交于P，∴，∴，即同理，∴．综上：，．（3）①如图，当时，由轴对称的性质可得：，∵，∴，∴由垂直平分线的判定定理可得：，互相垂直平分，∴在轴上，且，设，∴，解得：，∴，∴．②当时，如图，由，∴为等边三角形，此时，重合，∴；③当时，在直线上，如图，∵，∴，，，作，在轴上，∴，，∴，∴；同理：如图，当在的位置，在的位置，此时．综上：或或．【变式训练3】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2，点为轴上的一个动点．(1)求点的坐标和、的值；(2)连接，当与的面积相等时，求点的坐标；(3)连接，是否存在点使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)或(3)存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或【详解】（1）解：将代入，得，∴点的坐标为．

∵一次函数的图象与轴交于点，∴，

即．将点代入，得，解得．（2）解：∵，，∴，中边上的高为2，∴，∴．

在中，令，得，∴，即中，边上的高为，∴，解得．又∵，∴或．（3）解：如图1，过点作轴于点，则，所以，，所以．

①当时，．因为，所以此时点的坐标为或；

②当时，由等腰三角形的性质易得．因为，所以．因为，所以此时点的坐标为；

③当时，如图2，设，则，，所以，所以，解得，所以此时点的坐标为．综上可知，存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或．类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．(1)直线的函数表达式．(2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．(3)若为直角三角形，求点D的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：将代入直线中，解得，∴直线的解析式为，将点A的坐标代入，得，∴，将点A的坐标代入直线中，解得，∴直线的解析式为：（2）（3）过点A作轴于M，轴于N，则，由折叠得，∴，∴，解得（负值已舍去），又E在y轴负半轴，∴；（3）分两种情况：①当时，如图，由折叠得，，过A作AG⊥x轴于G，，，，∴；②当时，如图，由折叠得，，∴，由A、B两点坐标可得：，设，则，∴，∴，解得，∴，∴，综上，或．【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段上的一个动点，点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点P的运动时间为．(1)求点A和点B的坐标；(2)当的面积为12时，求t的值；(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，t的值为4或6【详解】（1）解：在中，令得，解得，∴，在中，令得，∴；（2）解：过C作轴于H，连接，如图：在中，令得：，解得，∴，∴，由，得：，∴，∴，∵点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A，∴，∴，∵的面积为12，∴，即，解得；（3）解：存在，理由如下：①当时，过C作轴于H，如图：∵，，∴，，由（2）知，，∴，∴，∵，∴，∴，解得；②当时，如图：此时是等腰直角三角形，，∴，∴，综上所述，t的值为4或6．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．(1)求点的坐标；(2)已知点是直线上的动点，若的面积为4，求点的坐标；若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)，；或【详解】（1）解：设直线的解析式为，直线与轴交于点与轴交于点，，解得，

直线的解析式为，把代入，得，，．（2）解：，，

直线轴交轴于点，，，，，；一定不是直角，当时，点恰好在点，，当时，，由题可得，，，，，，，综上所述，所有满足条件的点的坐标为或．【变式训练3】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为．(1)则______，______，______；(2)关于，的二元一次方程组y=x+1,y=kx+b的解为______；(3)求四边形的面积；(4)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标．【答案】(1)3，，2；(2)；(3)；(4)存在，的坐标为或【详解】（1）对于直线，令，得到，即，把代入中，得：，把代入得：，即，把坐标代入中得：，即，故答案为：3，，2；（2）∵一次函数与交于，∴由图象得：的解为：；故答案为：；（3）∵一次函数的图象与轴交于点，∴，∴；（4）如图所示，设，∴，，，分两种情况考虑：（1）当时，，①当时，，∴，∴，∴；②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1，∵在轴上，∴的坐标为，综上，的坐标为或．类型五、等腰直角三角形存在性问题例．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．(1)求证：．(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)见解析(2)的解析式：(3)点，，．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在与中，∴；（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图，∵，∴为等腰直角三角形，由（1）得：，∴，，∵直线，∴，，∴，，∴，∴，设的解析式为，把点，代入得：∴，解得：，∴的解析式：；（3）解：当点位于直线上时，分两种情况：设，①点为直角顶点，分两种情况：当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；当点在矩形的外部时，则，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；②点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则，∴；同（1）得，，∴，；∴；∴，解得：；∴；综合上面情况可得：点的坐标为或或．【变式训练1】综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA的中点，点与点关于轴对称，作直线．(1)求A，B两点的坐标；(2)求直线的函数表达式；(3)若点是直线上的一个动点．请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．A．如图2，连接，．直接写出为直角三角形时点的坐标．B．如图3，连接，过点作轴于点．直接写出为等腰直角三角形时点的坐标．【答案】(1)，(2)直线的解析式为(3)A．点的坐标为或；B．点的坐标为或【详解】（1）解：当时，，∴点，当时，则，解得，∴点；（2）∵点C是线段OA的中点，∴，∵点与点关于轴对称，∴点，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为；（3）A．当时，则点的横坐标为，则，∴点的坐标为；当，则点的横坐标为，则，∴点的坐标为；综上所述，点的坐标为或；B．∵为等腰直角三角形，∴，设点，则，当点在之间时，则，解得：，∴点；当点在点左侧时，则，解得：，∴点；若点在点右侧时，则，解得：（不合题意，舍去）；综上所述：点的坐标为或．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．(1)求直线的解析式；(2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标．【答案】(1)(2)或或【详解】（1）解：∵经过，∴，∴直线的解析式是；（2）解：当时，，解得，∴点．∴，过点A作，垂足为M，则有，∵时，，P在点D的上方，∴，∴；∵，∴，解得，∴点．根据题意得：，，∴，∴．若，过点C作于点N，如图，∵，∴．又∵，∴，∴，∴，∴；若，如图，过点C作轴于点F．∵，∴．又∵，∴．∴，∴，∴；若，如图，∴，∵，∴，∴，∴；∴点C的坐标是或或．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．(1)求直线的解析式；(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线AP的解析式为(2)(3)Q的坐标为或或，理由见解析【详解】（1）解：∵，解得，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线AP的解析式为；（2）过作交x轴于D，连接，∵，的面积等于6，∴的面积等于6，∴，即，∴，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，令，得，∴；（3）Q的坐标为或或．理由如下：设，①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，∴，∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴；②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，∴，，∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，∴，，同②可证，∴，，∴，即，∴，∴，∴；综上，Q的坐标为或或．类型六、平行四边形存在性问题例．在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点．(1)求点的坐标；(2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．(3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；【答案】(1)点的坐标为(2)(3)点的坐标为或或【详解】（1）解：令则令则过点作轴于由旋转得点的坐标为（2）作点关于轴的对称点连接延长交轴于点则点就是所求的最大值点设直线的解析式为，解得，（3）设直线的解析式为，则解得直线的解析式为，设直线的解析式为解得：∴直线的解析式为设以为平行四边形的对角线时，，解得，当为平行四边形的对角线时，，解得，当为平行四边形的对角线时，解得，综上所述点的坐标为或或【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．(1)求：的值；(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)．【详解】（1）由题意可得：解得，∴，∴（2）如图所示，过点E作轴于G．∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴中，，∴，在和中，，∴，∴，设，∴，∴，∴点的坐标为，∵，∴设，代入点和点的坐标得：，解得，∴的解析式为，∴当时，，∴与轴的交点坐标为．（3）存在，点Р的坐标为：∵，点的坐标为，∴又，，为顶点的四边形是平行四边形设，当为平行四边形的对角线时，解得：，则，当为对角线时，，解得：，则，当为对角线时，，解得：，则，综上所述，点Р的坐标为：．【变式训练2】如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是；(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．【答案】(1)x＜1(2)2(3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）【详解】（1）对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4