《中级微观经济学》参考答案

课后习题参考答案:

第1章：

1.利用反证法：如果两条无差异曲线相交于A点，如下图。

由无差异曲线的定义和三点（消费组合）在图上的位置，很显然有

A〜C,A〜8但

由传递性公理，必然有AaA,矛盾，故得证。

2•若万1〈万2,则显然有3（万［）33（万2），这里的

B（pz,m）={x\px<m9xe,m>0}

是对应于价格Pi上的可行消费集。显然，在3（A，/n）上达到的最大效用

,m）不可能小于在其子集B（p2,m）上达到的最大效用v（p2,m）：

v（pvm）>v{p2,m）

同理，若m1sm2,则3（区仍）q3（万,牡），从而

贝瓦班）•一"加2）

3.我们取效用函数的等价形式〃（斗，X2）=。111%+〃111%2,而且，还可

以假设a+〃=L

(1)考虑效用最大化问题

max(aln%+^lnx2)

x\，/2

s.t.

p{x1+p2x2=m

拉格朗日函数为

L=a\nx}+J3\nx2_4(白%+p2x2-ni)

一阶必要条件为

dLadLa.八

---=-----九PT=0，~-=------2“2=0

dxx%dx2x2

dL八

—=p2x2-m=0

联立方程求解得：

amm

九4=m/i/P

(a+0)/m=\Jm,%=----，x2=-----

PTPI

此即为马歇尔需求；相应的间接效用函数是

v(p,m)=Inm-Inp；(a+/?=l)

(2)考虑支出最小化问题

min(〃]X]+p2x2)

s.t.

a\nx}+J3\nx2=u

拉格朗日函数为

L=PE+p2x2-2(alnxj+J3\nx2-u)

由一阶条件解得：

2=Al&"

)

Pll/pjPl\apl）

这即为希克斯需求；支出函数为

(7(、夕

e（Pi，，2,4）2PiPi

\a)<

B/

（3）以商品1为例。在（％,〃1）平面内，两条需求曲线相交处满足

amap?

PiPP\

在该点两条需求曲线的斜率分别为

dx^p.m)_am叽(0,4)aPz

一脸、《p、

明P；的

利用交点条件，显然二者存在关系

九》）=dx^p.m）

明明

注意到二者都为负数，且分＜1,这意味着在（石，〃1）坐标平面中希克斯需求

曲线较马歇尔需求陡峭。

（4）由（1）,v（p,m）=Inm-ln所以

dv（p.m）adv（p.m）1

—,-

dp、Pidmm

所以

3v(p,m)/dp,am

——X]

dv(p,m)/dmpx

（5）利用关系a+4=1,容易证明

4［万,y（万,机）］=（乎1］"（"⑺="=%］（万,旭）

\BPI）PI

其余三个恒等式类似验证。

4.（1）在正单调变换y=〃"0+6+"下，原函数变为

u=（%甘产2+，）（々一为严3人）（刍—&

此时的三个指数之和显然为lo由于在正单调变换之下效用函数仍然表示原来的

消费偏好，所以我们假设a+/?+/=1,这并不影响原有效用函数表示的偏

好性质。

（2）为方便计算，将a,B,7分别记为4，%,av并选用另一等价的

效用函数形式

33

u=Z〃Jn(Xj—2)，其中Zq=l

z=lZ=1

考虑支出最小化的解

minZPR

s.t.ln（w--）=u

一阶条件为

dL

-^_孙=0,i=l,2,3

xb

dxii~i

%="〃n（%/%）"

k

故希克斯需求函数为

45M=x；=%Yl(")"+bi

Pik以

（3）考虑效用最大化问题

maxZailn（xz-bj

s.t.ZPiXi=m

由一阶条件得到马歇尔需求为

Xi（0,m）=4m-£口也）+（1_ai）bi

Pij"

因此

、a.

v（瓦加）=ZQJn［；（加一ZPjbj）-岫］

为验证斯勒茨基方程，

dx^p.m)_生与dx4认m)_ai

池Pidmpi

dA（认u）二%%人产J,

池PiPjk处

满足

的［万#（",㈤］dx^p.m）他_dx^p.rn）

X）（P，m）==

opidmpidpi

即

dh\p.v{p.m）］_dx^p.m）dx^p.m）

z=I1IxRp,m）

dpiopidm

故得证。

5.先求解效用最大化问题

maxx{x2

为/2

s.t.pxxx+p2x2=100

一阶必要条件是

x2一％P[=0

玉一沏2二0

,50

代入约束等式求出4=---,得到马歇尔需求函数

P也

5050

斗=—,x?=—

PiPl

因此

万°二(1,1)时：%=々=50,〃°="(50,50)=2500

"=(1/4/)时：石=200,%=50,储="(200,50)=10000

由公式可得

「1501

ACS=1/i(Pi)曲=，/4一曲=[501nR]，4a69.3

.Pi

为求EV和CV,再考虑支出最小化问题

minpxxx+p2x2

玉，笠

s.t.X1%2=〃

一阶条件是

Pi-AX2=0

p2-Xxx=0

代入约束等式求出4=4/Pl〃2。

U

所以希克斯需求函数是

X]=4（〃1，〃2）=J卫〃,％2=H（P1，〃2）=J且〃

VA\P1

注意到商品2的价格，2始终等于1，将其代入上面的希克斯需求函数，再根据

公式可得EV和CV：

=100

=50

比较三者可以看出存在CV<ACS<EV的结论。

6.按定义，和式可分效用函数形式如下

(元)=以x

UF[u{(%)+〃2(%)+…+(k)]

记需求函数为元(万，勿2),满足以下一阶必要条件：对任意的。，=1,2,・,・,几

Pi_dUIdxi_F(・)%[%(p,7)]_

PjdU1dxjk(・)%'[x,(p,M]

进一步变形为

,p.f

U.t[xi(p.m)]=-^-uj[Xj(p.m)]

若"2增加，，不变，则至少有一种商品的需求量上升。不妨设X,增加，又因

为〃(・)是严格凹的，则与'口/(〃,m)]必然下降，所以〃：[七(2根)]下降，

因为〃(・)是严格凹的，所以巧(〃,根)上升。所以不存在劣质品。

7.

(1)考虑效用最大化问题

max(2X1/2+4^/2)

s.t.PR+p2x2=m

拉格朗日函数为

L—2X；2+_4(P[X]+P2X2—〃2)

一阶必要条件为

Pl%+P1X2一根=0

解得:

pm_4PM

2_IP2+4PI

人]-99人2—o，/L-I

PM+4PI4Plp2+P£VmP\Pi

这里的玉和马即为马歇尔需求，间接效用函数为

-\m4m

v=2一+——

VAPi

(2)考虑支出最小化问题

min(P]X[+p2x2)

』，电

s.t.2X：2+4XY2=U

拉格朗日函数为

L=Pi%+p,x?~2(2x：2+4X12_H)

由一阶条件解得

4二S〃2

2P2+8P]

几丫、2

p2u

%=£=+2P2,

(2公2/、2

Pl"

/^=x2

4Pl+

Pi)P2)

这里的乙和刈即为希克斯需求，支出函数为

e(P|,，2，〃)=%=

27A+4V2pT>

/、-\m4m

（3）以商品1为例，由（l）可知，v（/?pp2,m）=2—+——，所以

VA〃2

=(mlp、+4m/〃2)一"2(-机/p；)

明

dv

P1+4/

-{mlpx+4m/P2)"2(1/p2)

dm

可得

5v(p,m)/

dpx_p2m_

Su(p.m)/dmpp+4p；

因此满足罗伊恒等式。

8.

（1）通过瓦尔拉斯定律，我们可以得到

&=（W-X]P]一工2〃2）/，3

（2）对于任意的4〉0,有

=100—54〃[I九P3+外〃2/4〃3+或卬/九〃3

=100_5口/P3+〃P2/P3+^>w/p3=X](Aw)

+以丸〃+宓卬/几〃

X2(2^,2W)=a+0九p、/4P3P2/33

=a+BP\/P3+/p2/〃3+5w/P3=x"反卬)

因此看和马是齐次的。

（3）由定理可得，斯勒茨基替代矩阵是对称的，因此有

的(7,〃)_d%®u)

同时

e%(p,u)_dr,(p,w)6x,(p,w)

'—+x%(万,w)

dpl池dw

=2+2・(100-5・且+4・&+3・上)

P3P3〃3P3P3

。九(P，4)__&2(7，W).Sx2(p,W)

-Z-------==Z---------+------；-------X%2(P，叼

op20P2ow

=2+三3+0旦+广区+一)

〃3〃3〃3〃3A

假定P3=L我们得到

2

+aS}+P]+川〃2+*卬=(B+1005)—55〃]+[38p2+Sw

对于任意的Pi，P2和卬，要使上式成立，必须满足以下条件

/3+a3=P+100<J,/3S=—53,y8—/38

因此a=100,2=—5,7=—5,所以有

inn5Pl5p,

Xj=x2-100---------1--------H-------

P3P3P3

同时，斯勒茨基矩阵对角线上的元素为负，因此我们得到3=0。

令〃3=1，对角线上的第一个元素等于

—5+5(100—5P[+5%)+&vv

如果SwO,那么内2>0,此时我们总能找到一组(〃]，P2，W)使得上式大

于零，因此必须满足5=0c所以可得

玉7=100一也+“1

-P3P3

(4)对于任意价格力，都有玉=々，所以消费者的无差异曲线为里昂惕夫型

无差异曲线，如卜图

个/

X2/

>

0XI

(5)由(4)可知，在给定£时，商品1和商品2的最优选择为口1缶{玉，％2}，

同时，商品1和商品2的需求不存在财富效应。因此我们可以得到

w(xpx2,x3)=min{xpx2}+x3

或该式的一个单调变化。

第2章：

1.一个函数成为支出函数，必须满足的性质有七条

(工).当4取U中的最低效用水平时，e(",〃)=0。即〃(x)20时,

e（p,u）=0。

这样因为〃》0，则Z（P1,〃2）>0。

（2）.在定义域上连续。

因为pf是连续的，且〃。也是连续的，那么要使e（",〃）也连续，必然有

Z（P[,P2）连续。

（3）.对于所有P>>0,支出函数关于“严格递增且无上界。

因为P?（根>0）是严格递增的，且〃（・）也是严格递增的，那么Z（P1，〃2）也

必须严格递增。

（4）.关于"是递增的。

砥。,u)0z(P],〃2)

因为---------=-P--^-U---o-则---要-使关于万是递增的，必

明明

须Z（〃i，〃2）关于万是递增的。

（5）.关于万是一次齐次的。

要使：e（tp,u）=Z（如，少2）（么）““=%Z（P1，P2）“"〃=骏（万,〃）

即：Z（孙皿2）（加3）"〃=磔P|，P2）P?。则有：Z（R],卬2）二广“Z（P|，P2）o

即要求；Z（/7],/72）关于万是（1一〃次齐次的。

（6）.关于万是凹的。

即要满足丑3<0俨z（Pi产）<0

明岫

（7）.如果万是严格拟凹的，我们便有谢泼德（Shephard）引理：

Se

—=h.(p.u)

明

可以根据包络定理证明。这样Z（P],，2）满足这样的性质。

00

2.由元1＞，少°,可以推出FARX,而这与P°X＜万。元1并不矛盾,

因此可以得出，观察值与显示偏好弱公理并不冲突。

3.支出最小化问题为

minPE+p2x2+p3x3

St（%-乙）。（%2-力2）'（七一&）'二〃

拉格朗日函数是

玉+巧

L—P]p2X2+P3X3——4）°（%2—，2）'（—b3y—〃]

一阶条件

（尤一工「痴二

些=P「4a1-b}y~\x2a）'（3一bj=P0

一

oxxx{

r

^-=u-（xl-b1y（x2-b2）\x3-b3）=0

OA

Xau,XBu,Ayu

求解得：X）=d7T-------,X,=b2T-------,%=4H-------,其中

P\一一Pz.P3

2=（^r（—/（—）z（注意a+A+/=l）

aPy

支出函数是

e=£PE=+X"=A（力）+B⑺u

其中A（万）=£2pj,B（0）=Q

4.(1)利用Roy等式，可直接由间接效用函数求出个体的马歇尔需求

-。吠(力川)/物c：(m4⑺$

X(p.m)=-----：-------；------L=-----------------m

5vv(p,/ns)/dmd(p)d(0)

这显然是其收入ms的线性函数，所以个体的偏好是拟位似的。

(2)集团需求函数即为各个体的需求加总

4(万,M)=z%；(万,加)=NZm'

ssd(p)d(p)s

二G⑺45)

d⑺d(万)

其中M2s为集团总收入，C(»)=”⑺。

(3)利用对偶性等式三〃，可得到个体的支出函数为高曼

(Gorman)形式

c\p)1

+------u

d(p)d(p)

在利用指出函数性质立即有(以下为简洁省写了函数变量)

s

cdi-de：4s

3=^2一一7"

明

从而

”,.(RU)=2/瓦心=CdJG?

其中U=°现在

dZ人认M)二Cdj_dCijddjj-djdjMdZ@,M)二4

而)~不^dM~~~d

1

8Hj(D，U)d?(Cd"+Cj4-C-d-Gd)-2dd-{Cdi—Qd)ddi.-Idd^-

dp;--巨星

啊5,V(D,M))dz^M)

Zj(Q,M)

dM

d?(Cdq+Cjdj—C-；d—Cjdj)—2ddj(Cdj-Jd)

d2d-2ddidjdC.d

fJ(C+dM)--

J4ddd

_C/j-Cgddd；j—dd-_6Z(p,Af)

-zzt1V1—z

22

dddPj

这便是斯勒茨基方程

5.在我们的偏好假设下，约束下效用最大化问题的解必然是处于一条无差异曲线

与财富约束线的切点，在这点上二者的斜率相等

%（一,一）_1

—JL।/

%（城,城）

dudu

其中“。=嬴Ui—u口I得

duty

=1+-=肛=匕£(1+厂)%

(l—a)嘴叫aqa\0

代入预算约束等式

/+a=%+产=匕

14-r1+r

解得

"％=a[m^+m,/(1+r)]

町=(1-a)[(l+r)%+friy]

6.假设第二年商品2的消费量为y

(i)消费者满足弱公理必须满足以下条件：

100xl20+100y>100x100+100x100

100x120+80x100>100x120+80y

可得

y<75或者yN80

因此，当[75,80]时，消费者的行为不一致，即不满足弱公理。

(2)第一年的消费束显示出优于第二年的消费束需满足以下条件：

100x120+100y<100x100+100x100

100xl00+80xl00>100xl20+80y

可得：y<75

(3)消费者在第二年的消费束显示出优于第一年的消费束需满足以下条件：

100xl00+80xl00<100x120+803；

100x120+1003；>100x100+100x100

可得：y>80

(4)对于任意的y值，我们都有充分的信息来断定(1),(2)和(3)的其中

一个。

(5)我们可以证明当yv75时，商品I是一个劣等品。假定yv75,可得

100x120+100y<100x100+100x100

100x100+80x100>100x120+80^

因此从第一年到第二年，实际财富减少了。同时商品1的相对价格提高了。但是

对于商品2的需求y减少了，因为yv75<100。这意味着商品i的财富效

应是负向的，因此它是一个劣等品。

(6)我们可以证明当80vy<100时，商品2是一个劣等品，证明方法和

(5)相似。

7.(1)

x](ap,aw)=ap2/ap3=p21P3=%(p,w)

x2{ap,aw)=-apxIap3=-px/p3=4(p,w)

x3(ap,aw)=aw/ap3=w/p3=x3(p.w)

因此可以证明x(p,vv)在(p,vv)上满足零次齐次。

同时

〃丙(p,w)+〃2%(p,w)+〃3%3(p,w)=(P1P2~P2P]+〃3例/P3=W

所以x(〃,w)满足瓦尔拉斯定律。

(2)假定p=(l,2,l),w=l,p'=(1,1,1)和卬'=2,可得

Xp,w)=(2,-1,1)和x(p：W')=(IT2)

于是有

pf-x(p,w)=2=W

p-x(p\wf)=\=w

因此x(",w)违反弱公理。

第3章：

1.

(1)=—+2总产3①")

a

=小用岫弁+&琢产]ri/%)

=第3"~

⑵77?力=-3(垣广。

o2x]

(3)y变化时，技术替代率保持不变；々/不变化时，TRS已随之等比例地

变化。

(4)为简洁起见，记Z=%2/%。按定义

_dzTRS\2_rd(TRSn)xTRS12

%-d(TRS»z-dzz

=[(l-a)z-a]-]z-a=1/(1-a)

2.

(1)利润最大化的二阶条件是：以下生产函数的Hessian矩阵是半负定的

a(a-I)aB、

—2—y—y

玉玉九2

D2f=

邓、)/(£一1)»

—y—2—y

这要求主对角线上的元素非正，即

矶。一1)-八队〃八

——2—”°，——2—y-°

%x2

同时矩阵的行列式非负

22

ID2f\=4T[奶(a-1)(77-D-a?/??]=4T的(1—a—/?)N0

Xjx2xxx2

由于。,尸＞0,显然只有当a+尸Ml,以上两个条件才能成立。

（2）利润最大化问题的一阶必要条件是

尸只=—

wi=—p=apAx

dxx%

吗=%P=PpAx^呼t=

ox2x2

由此立即得耍索需求

/一、apy/Ppy

X]（P，优）=-----,%2（，，.）二------

小

w2

将上述要素需求代入生产函数

y=4也）°（包空）"=Aya”a）e）。

小吗

w2w2

解出即为产品供给

]an0

y（p,电=（虹尸-女££）〜-6

W]

w2

（3）根据定义，利润函数是

万（〃，/,叫一小石一

）=py{p,w）（p,w）w2x2（p,w）

=PKP,沔-apy",日）一分py（p,电

]aAB

=（1-a-'）pA『a-0（空尸"（丝尸一夕

小

w2

（4）根据上面求出的利润函数表达式，显然有

乃Mg,网）=3p,%W）

（5）首先，注意到万（〃,叱，叱）中p的幕次为

1+^^+上1

\—oc—/3\—oc-/31—oc-/3

/一

很容易看出——=y（p,w）；

劭

加/-、/、

为证明----二一%（p,叩），注意到乃（p,小，叫）中与叫有关的部分仅为

a

{apt*)

而

aa

8,ap\-a-p_a^Py-a-p1

T-v-)

OW}W,i-a-/3小

从而

1aP

d7Ta41一心一£（aP）l-a一6（。，）1一攻一/?_也=一%

一PA

加小

.3〃/一、

类似地可以验证-----=一々（P，W）o

电

3.

仇'（必）=乂，f如果厂商同时使用两个工厂,

（i）4c2（y2）=2y2+2,

应当满足。；（乂）=。2'（,2）；但是，注意到。2'（丁2）之’2'（°）=2,而当

时。；（必）（所以，当时厂商只会选择在工厂

y1<1/22oy<1/2i

生产；当且仅当X〉1/2时，厂商才会同时使用两个工厂。

（2）在同时使用两个工厂的情况下，厂商的产量分配满足q'（M）=c27y2）,

由此解得

y=（y+l）/3,%=（2>-1）/3

此时总成本就为

。（丁）=。（弘）+。2（%）=2（^^）2+（^-^+1）2=：（>+1）2

乙JJ

所以

'2y2,”1/2

心）=的+h>1/2

4.

（1）根据第三章成本函数的性质，典型的成本函数。（该丁）应当是访和y的

单调函数，是访的一次齐次函数，同时还是用的凹函数。据此，必然要求

a,/3,yNG,以及&+/?+/=1,注意在这两个条件下，

c（wpw2,y）=可。以/为历凹函数的条件自动成立。

（2）在成本函数已知的条件下，可根据谢泼德引理方便地求出条件要素需求

L、%（论y）a—lP

%（W,y）=—Z----=O”喉旷7

dwx

（一、OC（母,丁）aaB-\y

%O,y）=­；------=分明区了

ow2

5.（1）由于技术完全可替代，厂商追求利润最大化，会选择使用成本低的生产

要素，所以可得成本函数为

\qw.ifw}<w2

c(w,q)=<

[m7”〉叫

同理，厂商只会使用成本较低的生产要素，因此要素需求函数为

(%。)ifw1<w2

z(w,q)=«{(Z],Z2)£H：；Z]+Z2=q}/”二吗

(0国)卬2

(2)在里昂惕夫技术条件下，厂商按照固定比例生产，所以也是按照固定比例

使用生产要素，固其成本函数和要素需求函数分别为

C(WM)=(%+叫)夕和z(vv,g)=(q,q)

(3)成本函数为

以卬⑼=式“"T+疗

要素需求函数为

Z(W，9)=久可"。一"+㈠,片(P7)

6.(1)假设厂商生产出的产品都出售出去，厂商追求利润最大化

max[川一(/％+卬2%)1

X|,X2

一阶必要条件为

W_可。_-2/31/3_Py

W\--P-PX\X2~~

dxx3%

©f1/3-2/3py

吗=丁〃=〃%x2=『

ox

23X2

因此可得要素需求为

11(P，W)=?-'42(P，W)=-

3小

3W2

将上述要素需求代入生产函数，有

严=3/3(2)1/3(上)1/3

y=3(

3叱3吗

求解得产品供给为

wxw2

I(P，/，卬2)=py(P，卬)一”石(P，W)一"(P，w)

=py(p9w)-|py(p9w)-|py(p,w)

=-py(p.w)=------

3v\\w2

(3)对于任意的/£R，有

33

叫,叱)

7T(tp,tW},tW2)=--——=t・——=t7t1p,

叱

twx-tw24

所以，利润函数是的一次齐次函数。

djr

(4)-----=py

小

dw[w^w23

dji/、

因此，可得到——=-1](p,vv),所以，满足霍特林引理。同时，类似的也

加

QTI/、

可以证明----

=-x2(p,W)o

一

dw2

第4章:

1.

代入计算，比较可得，个体1选择右，个体2选择L1,个体3选择右

2

在状态空间某一点（％,y2），个体购买保险的意愿取决于该点无差异曲线的斜

率。若约定状态2为灾害发生的自然状态（%>%），灾害发生的概率为，，

则无差异曲线的斜率为

1-〃/（%）

P〃'（％）

在条件必>先下，

%'（必）%4（M）2ay-1

4（%）X+c刈（％）2佻-1

这表明，在面临相同的灾害时（相同的灾害概率），个体1的无差异曲线较为平

坦，这意味着他愿意以更多的状态1财富来换取一单位状态2财富（或者说他比

个体2更加看重状态2的消费）。所以，在其他条件相同时，说个体1购买保险

更为积极是正确的。

3.

（1）投资后的期望效用

Eu=0.5J2+2+0.5-2-1.84=1.2

初试的效用〃（2）=J5〉l.2,所以这个人不会投资

（2）如果〃个人均摊损益，每一个人的期望效用为

几）］=

E［u（yQ+y/0.5,2+2/•+0.5^2-1.84/n

最小人数力满足等式石［〃（为+y/〃）］=〃（％）

。5J2+2/几+0.572-1.84/n=血

求解的〃^7.7。故至少需要8人联合投资才可行。

(3)由于每个人是对称的，个人达到期望效用最大化时联合体的期望效用也达

到最大，所以问题变为

max[0.5J2+2/〃+0.5V2-1.84/n]

n

求解一阶条件得〃P11.8,所以当投资团队人数为12时，期望效用最大。

4.

4Mq=

/⑺A-2Bx

显然，在区间[0,A/23)二单调递增，其余区间单调递减

5.

为方便，首先我们将风险容忍系数改写为

ur(x)

RT(x)=-

〃"(x)[In/(%)了

(i)若R7X%)=a,上式等价于[lnM(x)]'=-l/a,故有

In/(x)=----Fc=>/(幻=ea=>u{x}-a-bea

a

(2)若RT(x)=0x,且4wl,记y=l//?,则

1y

[ln/(x)[=_■—=—

pxX

6.(1)我们可以通过归一化选择一个效用水平(“A，打8，)，假设UA=1

和〃。=0,于是有

沏=，・1+(1-，)・0=P

%=q•1+(1-q)•0

所以(〃A，%，〃C，〃D)=(LPM，°)

(2)在标准1的情况下，概率分布情况为

(PA，PB，P「PD)=(0・891,0.099,0.009,0.001)

在标准2的情况下，概率分布情况为

(，〃c，〃。)=(0・8415,0・1485,0.0095,0.0005)

在标准1下的期望效用为

u,=0.891+0.099/7+0.009^

在标准2下的期望效用为

u2=0.8415+0.1485〃+0.0095夕

令％—，可得

99〃+9=99

此时，两个标准无差异，因此，当99>99p+q时机构更偏好于标准1,当

99<99p+q时机构更偏好于标准2,

7.(1)如果个人拥有彩票，则他的随机财富为(vv+G,w+6),因此他愿

意出售的最低价格R,要满足

p〃(w+G)+(1-p)〃(w+B)=u(w+R)

若他以价格购买该彩票，他的随机财富是(卬-

(2)RR+G.W-R+B)o

因此他愿意购买的最大价格要满足

Rb

pu(w-Rh+G)+(1-p)u(w-Rh+B)=w(w)

(3)一般情况下，这两个价格不相同。但如果〃(•)表现出递减绝对风险厌恶，

这两个价格就相同。当伯努利效用函数〃(。显示递减出绝对风险厌恶时，对于

任意一个风险尸(Z),彩票X+Z(即，将风险Z加到财富水平/上的彩票)

的确定性等价，也就是满足〃(q)=+的耳，使得x-q

关于x是递减的。也就是说，x越高，个人对消除风险的支付意愿就越小。

事实上，上述两个等式可以表述为=w+R'和C,f,=卬，由定理可以

得，递减绝对风险厌恶意味着

卬_%，=(卬_&,)一。时凡

这等价于Rs=Rbo

(4)计算可得

凡=5[(7-46)p2+(473-6)p+1]

Rh是下述二次方程的一个解

232

(1-2/7)^-10(2p+7p-8p+l)/?/7-25(23/-54p+29)=0

第5章：

1.

不妨将商品y的价格规范为1,设商品x的价格为po则二人的效用最大话问题

分别为：

max(玉+In%)max(Inx2+lny2)

和H以及电，为

s.t.pxx+yx=2p+2s.t.px2+y2=2p

建立拉格朗日函数

4=玉+lny—4(p%+y-22-2)

=Inx2+ln%+%—2p)

一阶必要条件分别为

风/亚=1-4p=o

M/加=i/必一4二。

口/朋=g+y-2p-2=0

以及

dL2/dx2=1/x2-4〃=0

dL2/dy2=l/y2-^2=0

dL2/=px2+y2-2p=0

再加上市场出清条件％+N=4,y1+y2=2,瓦尔拉斯均衡价格和配

置为

（Px，P,，）=（l」），（5，%2）=（3』），（X，%）=（1/）

2.

（1）设两消费者的初试禀赋分别为口：，啰；，i=1,2。则二人的预算约束为

PH+2y=PQ：+Py^ii=1，2

两式相加并整理得

x

px（i+%2_婢一磅+p、，（y+%一可、_娓）=0

由丁+娱=%,69；+G）2=y，代入可得：

Px（Z%（万）—口+2，（£%（力）一歹）二0

ii

（2）由（1）的结果，当价格。"》0下x市场出清，则有：%+%2=元，

代入得

〃；（^»（力）一歹）二°

/

由于万*>>0,故而％+>2=歹，因此y市场也必然同时出清。

3.

由Roy等式，个体i对商品h的需求为

。匕(万,%)/&?〃_%(/)

马（力）=

dv^p.m^Idmi

从而

最后一个不等式成立用到了间接效用函数的拟凸性质。

4.

当对于所有禀赋约束下可能的配置结果x,消费者1的无差异曲线斜率都大于消

费者2的无差异曲线斜率时，会出现角点解，即契约线将完全落在Edgeworth

方框的一条边上。此时适当调整初始禀赋，每个帕累托配置也都对应着一个瓦尔

拉斯均衡。

5.

（1）根据上述税制，消费者的税后财富为

11,、】「31I

〃•小一5〔〃•“+w2）]=/?•[-w,+-w2]

1113

P•卬2--[p・坟2—5〃•（/+W2）]=pt-VVi+-W2]

初始禀赋为“=（1,2）和喔=（2/），因此税后财富为

5775

-A+-P2W-A+-P2

（2）由（1）的条件可得，税后超额需求函数等于经济环境中的标准超额需求函

31

数，同时消费者1的初始禀赋等于1小+-W2,消费者2的初始禀赋等于

13

-VV,+-vv2,这满足瓦尔拉斯均衡存在定理。

6.

根据消费者初始禀赋和消费，我们可以定义

“=(%卜吗”0,0)=(1,0,0,0)

卬2=(叱2,叱2，°，°)=(0,1,0,0)

则超额需求函数是

z(p)=镰)

因此，当我们假定p=(4],8,4)和p'=(1,4,4,8),可以得到

z(p)=

7

，(p)=d

于是有p