53模拟试卷初中数学九年级下册28.2.2第2课时坡度、坡角,实际生活问题

第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时坡度、坡角,实际生活问题基础过关全练知识点3解直角三角形的应用——坡度、坡角问题9.(2022湖南邵阳模拟)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,其中AD∥BC,迎水坡AB的坡角∠ABC=45°,背水坡CD的坡比为1∶3,迎水坡AB的长为8m,则背水坡CD的长为()A.62mB.83mC.46mD.82m10.(2023广东汕头金平三模)如图,斜坡AB的坡度i1=1∶3,现需要在不改变坡高AH的前提下将坡度变缓,调整后的斜坡AC的坡度i2=1∶2.4,已知斜坡AB=10米,那么斜坡AC=米.(M9228005)

11.(2023四川绵阳游仙模拟)如图,某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目,项目有两条斜坡滑道(BC、AD)以满足不同的难度需求,游客可以乘坐垂直升降电梯沿AB自由上下选择项目难度.其中斜坡滑道BC的坡度为i=5∶12,BC=13米,CD=16米,∠D=32°(其中点A、B、C、D均在同一平面内),则垂直升降电梯的升降高度AB约为米.(参考数据:sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625)(M9228005)

(2022湖南株洲中考)如图1所示,某登山运动爱好者由山坡①的点A处沿线段AC行至山谷点C处,再从点C处沿线段CB行至山坡②的点B处.如图2所示,将直线l视为水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,AM=0.6千米,山坡②的坡度i=1∶1,BN⊥l于N,且CN=2千米.(1)求∠ACB的度数;(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.知识点4解直角三角形在其他实际问题中的应用13.(2022福建中考)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44cm,则高AD约为(参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)()A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm14.(2023河南郑州金水二模)如图,一个钟摆的摆长OB为1.5米,当钟摆向两边摆动时,摆角∠BOD为2α,且两边的摆动角度相同,则它摆至的最高位置与最低位置的高度之差AC为(M9228005)()A.(1.5-1.5cosα)米B.1.5cosC.(1.5-1.5sinα)米D.1.5sin15.(2023内蒙古赤峰中考)为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡村对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路AB.如图,经测量,AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,则改造后的公路AB的长是千米(精确到0.1千米;参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73).(M9228005)

16.【教材变式·P84T9】(2022内蒙古通辽中考)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长度(结果保留小数点后一位,3≈1.7).(M9228005)能力提升全练17.(2023湖北十堰中考,7,★☆☆)如图所示,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠ADB=30°,则CD的长度约为(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)(M9228005)()A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米18.(2022广东深圳福田三模,8,★★☆)某学校安装了红外线体温检测仪(如图1),其红外线探测点O在垂直于地面的支杆CP上(如图2).已知最大探测角∠OBC=67°,最小探测角∠OAC=37°.若要使测温区域AB的长度为2m,则OC应调整为精确到0.1m.参考数据:sin67°≈1213,cos67°≈513,tan67°≈125,sin37°≈35,cos37°≈45,tan37°≈A.2.4mB.2.2mC.3.0mD.2.7m19.【方程思想】(2022黑龙江牡丹江中考改编,10,★★☆)如图,小明去爬山,在山脚B处看山顶A的仰角为30°,沿着坡比为5∶12的山坡走1300米到达E点,此时小明看山顶A的仰角为60°,则山高AC为(M9228005)()A.(600-2505)米B.(6003-250)米C.(350+3503)米D.5003米20.【中华优秀传统文化】(2022湖南岳阳中考,15,★★☆)喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场的点P处观看200米直道竞速赛.如图所示,东西方向的赛道AB的起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为米(结果保留整数,参考数据:3≈1.732).(M9228005)

21.【新素材】(2022山西太原二模,14,★★☆)图1是劳动课上同学们组装的一个智能机器臂.水平操作台为l,底座AB固定,AB⊥l,AB的长度为24cm,连杆BC的长度为30cm,手臂CD的长度为28cm,点B,C是转动点,且AB,BC与CD始终在同一平面内.如图2,转动连杆BC和手臂CD,当∠ABC=135°,∠BCD=165°时,端点D离操作台l的距离DE为cm.(M9228005)

22.(2023辽宁本溪中考,22,★★☆)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山.他们需要登顶600m高的山峰,由山底A处先步行300m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计).(1)求登山缆车上升的高度DE;(2)若步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)23.【真实情境】(2023浙江嘉兴中考,22,★★☆)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160cm,识别的最远水平距离OB=150cm.(M9228005)(1)身高208cm的小杜,头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130cm的点C处,那么小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别?(2)身高120cm的小若,头部高度为15cm,踮起脚尖可以增高3cm,但仍无法被识别,社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3),此时小若能被识别吗?请计算说明.(精确到0.1cm,参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)素养探究全练24.【应用意识】(2023四川绵阳三台模拟)小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度.如图,小丽先在坡角为30°的斜坡AB上的点A处,测得树尖E的仰角为15°,然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处,又在水平路面上行走20米到达大树所在斜坡CD的坡脚C处,大树所在斜坡CD的坡度i=3∶4,且大树的底端与坡脚的距离CD为15米,则大树ED的高度约为.(结果精确到0.1米.参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,3≈1.73)(M9228005)

25.【应用意识】(2023湖南常德中考)今年“五一”小长假期间,小陈、小余和家长去沙滩公园游玩.坐在如图1所示的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,这激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考小余.小陈先进行测量,并根据测量结果画出了图1的示意图(如图2).在图2中,已知四边形ABCD是平行四边形,座板CD与地面MN平行,△EBC是等腰三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°,靠背FC=57cm,支架AN=43cm,扶手的一部分BE=16.4cm.这时她问小余:“你能算出靠背顶端F点距地面(MN)的高度是多少吗?”请你帮小余算出结果(最后结果保留一位小数).(参考数据:sin65.8°≈0.91,cos65.8°≈0.41,tan65.8°≈2.23)

答案全解全析基础过关全练9.D如图,过点A作AF⊥BC,垂足为F,过点D作DE⊥BC,垂足为E.∵AD∥BC,∴AF=DE.在Rt△ABF中,∠ABF=45°,AB=8m,∴AF=AB·sin45°=8×22=42(m),∴DE=AF=42m.在Rt△DEC中,tan∠DCE=DE10.13解析∵i1=1∶3,∴tan∠ABH=13=33,∴∠ABH=30°,∴AH=12AB=12×10=5(米),∵坡度i2=1∶2.4,∴11.12.5解析如图,延长AB、DC交于点E,由BC的坡度为i=5∶12,得BE∶CE=5∶12.设BE=5x米,CE=12x米,在Rt△BCE中,由勾股定理,得BE2+CE2=BC2,即(5x)2+(12x)2=132,解得x=1(负值舍去),即BE=5米,CE=12米,∴DE=DC+CE=16+12=28(米),∵tanD=AEDE∴AE=DE·tanD=28tan32°(米).∴AB=AE-BE=28tan32°-5≈12.5(米).12.解析(1)∵山坡②的坡度i=1∶1,∴CN=BN,∴∠BCN=45°,∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,∴AC=2AM=1.2千米,在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN=2千米,∴BC=CNcos∴该登山运动爱好者走过的路程为1.2+2=3.2(千米).答:该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米.13.B∵AB=AC,BC=44cm,AD⊥BC,∴BD=CD=22cm.∵∠ABC=27°,∴tan∠ABC=ADBD≈0.51,∴AD≈14.A由题意,得OA⊥BD,∠BOC=12∠BOD=12·2α=α,OB=OA=1.5米,在Rt△BOC中,OC=OB·cosα=1.5cosα米,∴15.9.9解析如图,过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC中,AC=6千米,∠CAD=60°,cos∠CAD=ADAC,sin∠CAD=CD∴AD=AC·cos∠CAD=6cos60°=3(千米),CD=AC·sin∠CAD=6sin60°=33(千米).在Rt△CDB中,∠CBD=37°,CD=33千米,tan∠CBD=CD∴DB=∴AB=AD+DB=3+43≈3+4×1.73≈9.9(千米),即改造后的公路AB的长约是9.9千米.16.解析如图,∠BDE=90°-45°=45°,在Rt△BDE中,DE=BE=14m.∵CM=BE=14m,在Rt△ACM中,∠ACM=60°,∴AM=3CM=14∴AB=BM-AM=CE-AM=20+14-143≈10.2(m).答:AB的长约为10.2m.能力提升全练D在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5米.在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ADB=30°,∴∠ABD=60°,∴ADAB=tan∠ABD=tan60°=3,∴AD=3AB,B设BC=xm,∵AB=2m,∴AC=(x+2)m.∵OC=BC·tan∠OBC=BC·tan67°≈125OC=AC·tan∠OAC=AC·tan37°≈3∴125x=319.B如图,作EF垂直CB于点F,EN垂直AC于点N,∵斜坡BE的坡度为5∶12,∴设EF=5x米,则BF=12x米,由勾股定理得(5x)2+(12x)2=13002,解得x=100(舍负),则EF=500米,BF=1200米.由题意可知,四边形NCFE为矩形,∴NC=EF=500米,NE=CF.在Rt△ANE中,tan∠AEN=tan60°=ANNE,∵tan60°=3,∴CF=NE=ANtan60°=33AN.在Rt△ACB中,tan∠ABC=tan30°=ACBC,20.87解析如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x米,在Rt△APC中,∠APC=30°,∴AC=PC·tan30°=33x(米).在Rt△BCP中,∠CPB=60°,∴BC=CP·tan60°=3x(米).∵AB=200米,∴AC+BC=200米,∴33x+3x=200,解得x=50321.(38+152)解析如图,过点B作BF⊥DE于F,过点C作CG⊥BF于G,过点C作CH⊥DE于H,则四边形ABFE、四边形CGFH都是矩形,∴AB=EF=24cm,CG=HF,∠BGC=∠ABF=∠GCH=90°.∵∠ABC=135°,∴∠CBG=∠ABC-∠ABF=45°,∴∠BCG=90°-∠CBG=45°.∵∠BCD=165°,∴∠DCH=∠BCD-∠BCG-∠GCH=30°.在Rt△BCG中,BC=30cm,∴CG=BC·sin45°=30×2∴HF=CG=152cm,在Rt∴DH=CD·sin30°=28×1∴DE=DH+FH+EF=14+1522.解析(1)如图,过点B作BM⊥AF于点M,由题可知,∠A=30°,∠DBE=53°,DF=600m,AB=300m,在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300m,∴BM=12AB=150m,∴EF=BM=150∴DE=DF-EF=600-150=450(m).答:登山缆车上升的高度DE为450m.(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450m,∴BD=DEsin∴需要的时间=步行时间+乘坐缆车时间=30030+答:从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟.23.解析(1)如图,过C作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点E、D,交水平线于点F,在Rt△AEF中,tan∠EAF=EFAF∴EF=AF·tan15°≈130×0.27=35.1(cm),∴CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm),∴小杜最少需要下蹲208-195.1=12.9厘米才能被识别.(2)小若能被识别.理由:如图,过B作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于M、N,交水平线于P,在Rt△APM中,tan∠MAP=MPAP∴MP=AP·tan20°≈150×0.36=54.0(cm),∵∠MAP=∠NAP,AP=AP,∠APM=∠APN=90°,∴△AMP≌△ANP(ASA),∴PN=MP=54.0cm,∴BN=160-54.0=106.0(cm),∵120-15=105(cm),106.0cm>105cm,∴小若必须踮起脚尖.∵小若踮起脚尖后头顶距地面的高度为120+3=123(cm),∴小若踮起脚尖后头顶超出点N的高度为123-106.0=17.0(cm)>15cm,∴小若能被识别.素养探究全练24.7.0米