湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题（解析版）

2024-2025南湖中学八（上）9月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，即可求解．解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；C、，能组成三角形；故本选项符合题意；D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C．2.如图，△AEC≌△ADB，若∠A＝50°，∠ABD＝38°，则图中∠AEC的度数是（）A.88° B.92° C.95° D.102°【答案】B【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADB，根据全等三角形的性质解答即可．解：在△ABD中，∠A＝50°，∠ABD＝38°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝92°，∵△AEC≌△ADB，∴∠AEC＝∠ADB＝92°，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．3.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：D4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.105° B.75° C.65° D.55°【答案】B【解析】【分析】根据三角形的外角性质解答即可．解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5.下列条件中，能构成直角的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理和直角三角形的定义逐项判断即可．解：A、∵，，∴，则不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵，，∴，解得，则，不能证明是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵，，∴，解得，则不是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵，∴，，又，∴，解得，∴，则是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．6.在△ABC和△中，若给出①②③④⑤⑥，下列组合的条件中不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A.①②⑤ B.①②③ C.①②④ D.①⑤⑥【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的性质以及判定定理对各项进行分析即可．A．可以判定，正确；B．可以判定，正确；C．不可以判定，错误；D．可以判定，正确；故答案为：C．【点睛】本题考查了全等三角形问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．7.如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A.24 B.27 C.30 D.33【答案】B【解析】【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．8.如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为（）A.40 B.46 C.48 D.50【答案】C【解析】【分析】先得出，根据可证，推出；然后可得出，进而得到长，求出、长；再根据三角形的面积公式得出的面积等于，代入求出即可．，，，，，，，．在和中，，．，中点，．，，，，的面积是．故选：C．【点睛】考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．9.中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当与全等时，v的值为（）A.2.5 B.3 C.2.25或3 D.1或5【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，求得（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，继而可解．解：中，厘米，点为的中点，厘米，，若，则需厘米，（厘米），点的运动速度为3厘米秒，点的运动时间为：，（厘米秒）；若，则需厘米，，，解得：；的值为：2.25或3；故选C．点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质与等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10.如图，中，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论有（）个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的面积等知识，解答的关键是寻找全等三角形求解．利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；利用全等三角形判定和性质，分别证明和即可判断②；根据平行线的判定和性质证明，利用等底等高的三角形面积相等，结合全等三角形的面积相等可判断④；假设平分，推出，与已知不相符，故可判断③，进而可得结论．解：∵中，的角平分线相交于点P，∴，，，∴，∴，故①正确；∴，∵，∴，∴，∴，又，，∴，∴，，，∵，∴，∴，即，又，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，故④错误；若平分，则，∵，∴，∴，∴，这显然不一定成立，故③错误；综上，正确的结论有2个，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.一个多边形从一个顶点可引对角线5条，这个多边形内角和等于___________．【答案】##1080度【解析】【分析】求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可．解：一个多边形从一个顶点可引对角线5条，则多边形的边数为，则内角和等于：故答案为：【点睛】此题考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是求得多边形的边数．12.如图，五边形中，，、、分别是、、的外角，则等于___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．详解】解：延长，，，，根据多边形的外角和定理可得，．故选：．13.如图，中，是边上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积为_____________．【答案】6【解析】【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，根据三角形的中线的性质，得的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半，由此即可解决问题；解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．解：∵是边上的中线，∴，∵是中边上的中线，∴，即则的面积为6．故答案为：6．14.等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是70°，则它的顶角的度数是_____．【答案】110°或70°【解析】【分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．解：①如图，当∠BAC是钝角时，由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝70°，∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°．②如图，当∠A是锐角时，由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝70°，∴∠DHE＝110°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，故答案为：110°或70°．【点睛】本题考查等腰三角形定义，四边形内角和定理以及三角形的高等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15.如图，在中，，垂足分别是交于点H，已知，则________．【答案】4【解析】【分析】根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答解：∵，∴，∵，∴，在与中，∴，∴.故答案为：4．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据证明与全等解答．16.如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是_______________．【答案】【解析】【分析】如图，由，当A、P、C三点共线时取等号，此时最小，过D作于G，作于F，，，由对折可得：，，可得，再利用等面积法求解即可．解：如图，∵，当A，P，C三点共线时取等号，此时最小，过D作于G，作于F，，，由对折可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质，熟练的利用等面积法求解三角形的高是解本题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）17.用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，如果这个等腰三角形一边长为另一边的2倍，求各边的长度．【答案】三角形三边长分别为，，【解析】【分析】设较短的边长为，则较长的边为，分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时；当较长的边为底边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案．解：设较短的边长为，则较长的边为，当较短的边为底边，较长的边为腰时，则，解得：，此时三角形三边长分别为，，，能组成三角形；当较长的边为底边，较短的边为腰时，则，解得：，此时三角形三边长分别为，，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形；综上所述，三角形三边长分别为，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．18.如图，、、三点在一条直线上，，，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】先通过HL证明，从而得∠ABC=∠ABD，再证明，进而即可得到结论．证明：∵，，，又∵AB=AB，∴（HL），∴∠ABC=∠ABD，又∵，BE=BE，∴(SAS)，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握SAS，HL证三角形全等是解题的关键．19.如图，在中，D是BC的中点，，，垂足分别是E，F，BE=CF．（1）求证：AD是的角平分线；（2）若AB=8，，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】根据HL可证≌，根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定即可求解；根据全等三角形的性质可得，根据等角对等边可得，再根据线段的和差求解即可．证明：是BC的中点，，，，和都是直角三角形，在与中，，≌，，是的角平分线；如图，连接AD，≌，，，在和中，，≌，，，，．【点睛】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明≌．20.已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．（1）如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝35°，求∠DAE的大小；（2）如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于F，求证：∠P（∠ABC﹣∠ACB）．【答案】（1）17.5°（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据已知条件，先分别算出∠ABC和∠BAC的度数，再计算出∠DAE的度数即可；（2）根据直角三角形两锐角互补，以及三角形的内角和与外角定理，进行等量代换即可得到答案；【小问1详解】解：∵∠ABC=2∠C，AE⊥BD，∠C=35°∴∠ABC=70°，∠BAE=90°-2∠C=20°∴∠BAC=180°-70°-35°=75°∵AD是角平分线，∴∠BAD==37.5°∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=37.5°-20°=17.5°【小问2详解】证明：∵AD是角平分线∴∠BAD=∠CAD∵PF⊥AD∴∠P+∠ADB=90°∵∠ADB=∠DAC+∠ACB，∠BAD=∴∠P=90°-(∠DAC+∠ACB)=90°-=【点睛】本题考查了三角形的性质，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项，精准识图是本题的解题关键．21.如图，每个小正方形的边长均为1，每个小方格的顶点叫格点．（1）在图1中，过点A作且；（2）在图2中，在边上找一点E，使得；（3）在图3中，画出中边上的高线；（4）在图4中，找格点M，使得与全等；【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析【解析】【分析】本题考查复杂作图，涉及勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的中线性质，熟悉相关知识是解答的关键．（1）取格点F，连接，，利用勾股定理得到，，然后证明得到，进而内错角相等，两直线平行可得；（2）取格点F，连接，交于E，连接，根据（1）中结论，可证明得到点E为的中点，利用三角形的中线平分三角形的面积可得结论；（3）取格点H、D，连接，，，利用全等三角形的判定及其性质可证明A、B、D、H共线，根据勾股定理可得，，利用全等三角形的判定证明，进而得到，则即为所求；（4）取格点M，连接，，利用勾股定理可得，，利用全等三角形的判定可得结论．【小问1详解】解：如图，且：【小问2详解】解：如图，点E即为所求作：【小问3详解】解：如图，线段即为所求作：【小问4详解】解：如图，点M即为所求作．22.如图，已知和都是等腰三角形，交于点F，连接．（1）说明与的关系并证明；（2）求的度数．【答案】（1），，证明见解析（2），【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理：（1）先证明，再证明，得到，，再导角证明，即可得到；（2）作于，于，由全等三角形的性质得到，则由角平分线的判定定理可得平分，据此可得答案．【小问1详解】解：，，证明如下：设交于O，，∴，在与中，，，，，，，；∴，；【小问2详解】解：如图，作于，于，，，∵，，平分，．23.（1）在中，，则边上中线的取值范围为_______（2）如图1，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：．（3）如图2，是的中线，；试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明【答案】（1）；（2）见解析；（3），，证明见解析【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．（1）延长到E，使，证明得到，在中，利用三角形的三边关系求得即可；（2）延长至H，使，连接、，证明得到，再证明得到，在中，利用三角形三边关系得到即可证得结论；（3）延长至H，使，连接，同理证明得到，，利用平行线的判定与性质证明，进而证明得到，，可证明；延长，交延长线于P，利用三角形的内角和定理证明即可得结论．解：（1）延长至E，使，∵是边上中线，∴，又，∴，∴，在中，，∴，∴；（2）如图1，延长至H，使，连接、，∵D是边上的中点，∴，又，∴，∴，∵，∴，又，，∴