广东省2019-2020学年高二年级下册期中考试数学试题集 含解析（10套）

2019-2020学年二师附中高二期中考试数学试卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)

2

1.复数一(i为虚数单位)的共轨复数是

1-z

A.1+iB.ITC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

分析：化简已知复数z,由共辗复数的定义可得.

22(l+i)

详解：化简可得z=—=Z•=1+i

二(1-+.、

...Z的共轨复数为1-i.

故选B.

点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轨复数，属基础题.

2.若/0)=0/+法2+，满足/")=2,则/'(-1)=

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B

3.设随机变量J服从正态分布N(2,9),若PR>c+1)=尸4<c-1),则右()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

c+1-2

【详解】•JN(2,32)=P«>C+1)=1—尸C<c+l)=<t>(---),

尸4<c-1)=①(仁—)，①(q)+①(？)=1，

nl—①(5马+①(一)=1,解得c=〃2,“所以选B.

4

4.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为二，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

（）

1696192256

A.---B.---C.---D.---

625625625625

【答案】B

【解析】

【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，

由〃次独立重复事件恰好发生A次的概率的公式可得，

田力喈审嚷

故选日

5.从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同

的抽取方法种数为（）

A.6•&B.C3C：C.&D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果.

【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人，

所以不同的抽取方法种数为盘•C：.

故选：D

【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.

6.若AC,。，E五位同学站成一排照相，则A，8两位同学不相邻的概率为（）

4321

A.-B.-C.—D.一

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

A,8,C,。，E五位同学站成一排照相，先求总排列数〃，然后利用插空法得出，A，3两

n

位同学不相邻的排列数〃2,利用0=一即可求解.

m

【详解】A,B,C,D,E五位同学站成一排照相，基本事件总数〃=用=12(),

A,8两位同学不相邻包含的基本事件个数帆=阀息=72,

则A，B两位同学不相邻的概率为p=K=「:=—

m1205

故答案选：B

【点睛】本题考查排列与组合综合应用，属于基础题.

7.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补

利，2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为

A.100B.200C.300D.400

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为4，则J〜B(1OOO,O.I),X=2J,所以

E(X)=2E©=2x1000x0.1=200

考点：二项分布

【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中

的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X〜B(n,p)),则此随机

变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此，应熟记常见的典

型分布的期望公式，可加快解题速度.

8.如图，用K、Ai、曲三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且&、A,至少有一个正

常工作时，系统正常工作，已知K、A、、也正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,则系统正

常工作的概率为()

--1I--

—rzn——........

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

【答案】B

【解析】

卜、川同时不能工作的概率为0.2X0.2=0.04,所以4、A?至少有一个正常工作的概率为1一

0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为0.9X0.96=0.864.故选B.

考点：相互独立事件的概率.

9.如果函数y=/(x)的图象如下图，那么导函数y=/(x)的图象可能是()

【答案】A

【解析】

试题分析：y=/(x)的单调变化情况为先增后减、再增再减因此y=/'(x)的符号变化情况

为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.

考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.

【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数

的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点

是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,

根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及+8,Xf—8时

函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.

10.为了研究某班学生的脚长X(单位厘米)和身高y(单位厘米)的关系，从该班随机抽取10

名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为

1010

y=bx+a.已知W>=225,£',.=1600>3=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身

f=I

高为（）

A.160B.163C.166D.170

【答案】C

【解析】

【详解】由已知1=22.5,y=160,

.♦.6=16（）-4x22.5=70,^=4x24+70=166,故选C.

11.若样本数据%,无2，一，芭0的标准差为8,则数据2%-1,2X2-1,■■■,2/—1的标准差

为（）

A.8B.15C.16D.32

【答案】C

【解析】

试题分析：样本数据占，超，…，玉0的标准差为8,所以方差为64,由。（2X—l）=4D（x）

可得数据2%-1,2X2-1,…，2/T的方差为4x64,所以标准差为彘？=16

考点：方差与标准差

12.当XG[-2,1]时，不等式0?—/+4》+320恒成立，则实数a的取值范围是（）

9

A.[-5-3]B.[-6,-1]C.[-6-2]D.[-4,-3]

O

【答案】C

【解析】

试题分析：当x=0时，原式恒成立；

当XW（0,l]时，原式等价于a之（X7与皿、恒成立;

X'

当2,0）时，原式等价于a4（入?°）“疝恒成立;

X

22

令=Y-4r-32,0）50[]，・・・/（x）=X^-4~r-^3=L1之4一二3，令”一1，

X'X'XXX'X

即丁=一3/一4八+人.•.歹=一9/一8+1,可知（一1,5为y的增区间，（-8,-1）,（提+8）为

y的减区间，所以当X£（0,1]时，即，£[L+OO）时，t=l时'max=-6，即/（X）max—6a2—6；

当XG[-2,0）时，即fw（—oo,」）时，y在（—I）上递减，在（一1,」]上递增，所以t=-l

22

时>min=-2,即/（初向=一2，。<一2;综上，可知a的取值范围是，故选C.

考点：不等式恒成立问题.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13.若（之+6）的展开式中各项系数之和为64,则〃=

【答案】3

【解析】

【分析】

取x=l,则各项系数之和4"=64,解得答案.

【详解】取*=1，则各项系数之和4"=64,解得〃=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了根据二项展开式的系数和求参数，属于简单题.

x-l>0,

14.若x,N满足约束条件｛x—y<0,则上的最大值_____________.

x

x+y-4<0,

【答案】3

【解析】

作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，上是可行域内一点与原点连线的斜率,

X

由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故工的最大值为3.

X

考点：线性规划解法

15.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一

种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为.

【答案】84

【解析】

试题分析：由题分三类：种两种花有A『种种法；种三种花有2A；种种法；种四种花有A，种种

法.

共有A：+2A；+A?=84.

考点：分类加法及运用排列数计数.

16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结

束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的

概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率

是.

【答案】0.18

【解析】

【分析】

本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求

解.题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查.

【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是

O.63x0.5x0.5x2=0.108,

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4x0.62x0.52x2=0.072,

综上所述，甲队以4:1获胜概率是q=0.108+0.072=0.18.

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意：易错点

之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准

确计算.

三、解答题(本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在等差数列｛4｝中，S“为其前〃项和(〃eN*),且%=55=9.

(1)求数列｛4｝的通项公式:

,1，,

(2)设勿=-----,求数列出｝的前“项和。

anan+\

Yl

【答案】(1)q,=2〃—1；(2)T”=-----.

"2〃+1

【解析】

【分析】

⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到答案

⑵由｛4｝的通项公式得到｛〃｝的通项公式，然后根据裂项相消法求前〃项和T“

a,+2d=5,

【详解】(1)由已知条件得已…八解得％=l,d=2,所以通项公式为；an=2n-l

3a,+6J=9,

(2)由(1)知，an=2n-l,

111_______Q

(2n-l)(2n+l)2(2〃-1+

数列｛1｝的前n项和

%，+□+...+」11」n

sn=bi+b2+---+bn=23352n-\2〃+1<2n+l2n+l

【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题,

,1

遇到形如勿=-----形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式.

44+1

1

18.已知函数/(X)=/a+以,2+区在％=-2与X=万处都取得极值.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)求函数/(x)在区间［-3,2］的最大值与最小值.

9

213

【答案】(D/(》)=V+-X

4一3x；(2)/(x)inax=11,/.

1。

【解析】

【分析】

了'（-2）=0

（1）求导，根据极值点得到,八，代入数据解得答案.

[ZN=O

（2）计算极值点和端点比较大小得到答案.

【详解】（1）因为/。）=/+以2+公，所以/'（幻=3/+2办+乩

'r(-2)=12-4a+1=0

d=­9Q

由＜32

3,n,解得＜4,/(x)=x+—x-3x.

/-\=-+a+b=0b=-34

4

计算极值点和端点得到:

819

/(-2)=-8+9+6=7,/(-3)=-27+—+9=-,

44

/⑵=8+9—6=11.

13

所以/（X）max=",/（©min=•

【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用

能力.

19.已知AA8C中，角A,8,C的对边分别为a,A,c,2cosc（acosC+ccosA）+/?=（）.,

（1）求角。的大小；（2）若b=2,c=2石，，求AA8C的面积.

【答案】（1）C=120。.（2）V3.

【解析】

试题分析：（1）由2cosc（acosC+cwsA）+匕=0根据正弦定理，两角和正弦函数公式，

三角形内角和定理，诱导公式可得2coscsinB+sinB=O,可得cosC=—,，即可得解C

2

的值；（2）由己知及余弦定理得解得”的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.

试题解析：⑴♦.♦2cosC（acosC+ccosA）+/?=0,由正弦定理可得

2cosC[sinAcosC+sinBcosA)+sinB=0

/.2cosCsin^A+C)=0,即2cosCsinB+sinB=0

又0°<8<180,sinB声0,cosC=—L即C=120°.

2

222

(2)由余弦定理可得(2百/=a+2-2x2«cosl20°=a+2«+4

又。>0,。=2,r.5乂8©=；。加足。=百，二AABC的面积为

20.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院,

其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名

同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】⑴券⑵分布列见解析，E(X)=1.

【解析】

【详解】(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，

或_49

则尸0)=蕊=60

(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

广*北广*3-k

•"(i)=泞-

伏=0,1,2,3),:随机变量X的分布列为

U10

X0123

ITIT

X

6E

11316

随机变量X的数学期望E(X)=0XW+1XU+2X^+3XF=

5

21.已知函数=/-(a+2)x+alnx,其中aeR.

(1)若曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线与直线x-y+3=0平行，求4的值;

(2)求函数/(X)单调区间.

【答案】(1)。=2；(2)当aWO时，递减区间为(0,1),递增区间为(L”)；当0<a<2时,

递增区间为(0,(1,+8),递减区间为怎/［；当a=2时，递增区间为(0,+8)；当。>2

时，递增区间为(0,1),仁，+8)，递减区间为(闾.

【解析】

【分析】

(1)解方程/'(程=1可得结果;

(2)对。分类讨论，解不等式/(幻>0可得递增区间，解不等式/(x)<0可得递减区间.

【详解】(1)由=/一(a+2)x+alnx可知,

函数定义域为{x|x>0},且/'(x)=2x—3+2)+9,

X

依题意，_f(2)=4—(a+2)+]=l,解得a=2.

(2)依题意，f(x)=2x-(a+2)+-^(2X—)(—1)(x>0),

XX

令/'(x)=0,得玉=1,x2=^.

①当aVO时，^<0,由/'(x)>0,得x>l；由/'(x)<0,得0<x<l.则函数/⑶的

单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,物).

②当0<q<1,即0<a<2时:由尸(幻>0,得0<x<@或x>l,由/'(x)<0,得

22

|<X<1.则函数.f(x)的单调递增区间为(1,+8),函数/(X)的单调递减区间为

③当］=1,即a=2时，/'(x)NO恒成立，则函数/(x)的单调递增区间为(0,+8).

④当@>1,即a>2时，由/'(x)>0,得0<x<l或%>色，由/'(x)<0,得1<%<巴，

222

则函数f(x)的单调递增区间为(0,1),函数/(力的单调递减区间为(1，

综上所述，当时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(L+8)；

当0<。<2时，函数/(x)的单调递增区间为0,微，(1,+。。)，函数/W的单调递减区间为

当a=2时，函数/(x)的单调递增区间为(0,+8)；

当。>2时，函数的单调递增区间为(0/)，(§,+8］，函数/(X)的单调递减区间为

I，7

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了分类讨论

思想，属于中档题.

22.某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y(单位：千件)与月售价X(单位：元/

件)之间的关系，对近几年的月销售量K和月销售价X：(i=1,2,3,…,10)数据进行了统计分析,

得到了下面的散点图.

(1)根据散点图判断，了=。+1卜%与丁=法+。哪一个更适宜作为月销量〉关于月销售价

%的回归方程类型？(给出判断即可，不需说明理由)，并根据判断结果及表中数据，建立y关

于X的回归方程；

（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z（单位：千元），当月销售量

为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额=月销售量X当月售价）

参考公式、参考数据及说明：

①对一组数据（匕,%）,（v2,vtz,）,—,（心6），其回归直线w=a+例的斜率和截距的最

t（吗-可（匕-丫）

小二乘法估计分别为P=上一------------,a^w-Bv.

i=l

②参考数据:

10_10__10__

它（七-可2

XyU祖v-y)

/=1i=\/=Ii=\

6.506.601.7582.502.70-143.25-27.54

③计算时，所有的小数都精确到0.01,如ln4.06N1.4（）.

【答案】（1）y=c+d\nx,y=24.45—10.20Inx（2）月销售量y=1017（千件）时，

月销售额预报值最大.

【解析】

【分析】

（1）y=c+dlnx更适宜销量y关于月销售价x的回归方程类型，令〃=lnx,根据提供数

据求出乩"即可求出回归方程；

（2）由2=个，由（1）得到z关于x的函数，求导,求出单调区间，进而求出极值最值，即

可得出结论.

【详解】（1）y=c+dlnx更适宜销量y关于月销售价x的回归方程类型.

令"=lnx,先建立》关于〃的线性回归方程，由于

-27.54

=-10.20,

刃%T22.70

1=1

=6.6+10.20x1.75=24.45，

所以y关于M的线性回归方程为y=24.45-10.20M，

因此y关于X的回归方程为y=24.45-10.201nx.

（2）依题意得：z-xy-24.45-10.201nx）,

z'=[x（24.45-10.201nx）]=14.25-10.20Inx,

令z'=0,即14.25-10.201nx=0,解得lnx-1.40,

所以XH4.06,当xw（0,4.06）时，z递增，

当xw（4.06,+oo）时，z递减，

故当x=4.06，z取得极大值，

也是最大值即月销售量y=KM7（千件）时，

月销售额预报值最大.

【点睛】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模

型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问

题.综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力，属于中档题.

三水中学高二级2019-2020学年下学期第二次统考

数学科试题

本试卷总分150分，共4页；考试时间120分钟.

注意事项：答卷前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座

位号写在答题卡上，所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔

和涂改液.

一、单选题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求.)

1.复数2在复平面内对应的点位于()

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限1).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

化简求得复数为1+i,然后根据复数几何意义，即可得到本题答案.

［详解］因为二:；；？?：').：=］+，,所以在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限.

1-z(l-z)(l+z)

故选：A

【点睛】本题主要考查复数的四则运算和复数的几何意义，属基础题.

2.给出以下四个说法：

①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小

②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数配的值越大，说明拟合的效果越好；

③在回归直线方程9=O.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量$平均增加

0.2个单位；

④对分类变量X与丫，若它们的随机变量K2的观测值/越小，则判断“X与丫有关系”的

把握程度越大.

其中正确的说法是()

A.①©B.②④C.①③D.②③

【答案】D

【解析】

【分析】

根据残差点分布和相关指数的关系判断①是否正确，根据相关指数代判断②是否正确，根据

回归直线的知识判断③是否正确，根据2x2联表独立性检验的知识判断④是否正确.

【详解】残差点分布宽度越窄，相关指数越大，故①错误.相关指数越大，拟合效果越好，故

②正确.回归直线方程斜率为0.2故解释变量x每增加一个单位时:预报变量夕平均增加0.2个

单位，即③正确.《2越大，有把握程度越大，故④错误.故正确的是②③，故选D.

【点睛】本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基

础题.

3.点P是曲线y=/—lnx上任意一点，曲线在点P处的切线与y=x-1平行，则P的横坐

标为（）

A.1B.&C.也D.242

2

【答案】A

【解析】

【分析】

先设P（x。,%），无。＞°，对函数求导，得到y'=2x-L,根据题意，得出2%一=求

X玉）

解，即可得出结果.

【详解】由题意，设P（x。，%），玉）＞0,

由^=彳2-111工得丁'=2%一,，则=240----,

x%

因为曲线在点尸处的切线与y=x-l平行，

.11

所以2%--=1,解得：为=1或%=-二（舍）

/2

故选：A.

【点睛】本题主要考查已知曲线上某点处的切线斜率求参数的问题，熟记导数的几何意义即

可，属于常考题型.

4.的展开式中才的系数为()

A.10B.20C.40D.80

【答案】1)

【解析】

【分析】

写出展开式的通项公式，令x的指数为1求得项数后可得系数.

2

【详解】由题意=C；(x2)5T(_)r=2,c3°-3"令K)_3r=l,r=3,

X

所以X的系数为23C；=80.

故选:D.

【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式展开式的通项公式是解题关键.

5.复数z=士^的共枕复数是()

2+z

A.2+iB.2-/C.-1+zD.-1-;

【答案】1)

【解析】

—3+z(-3+i)(2-i)—5+5z.

试题分析：Z=q-=*^^=一丁=-1+7,5=_1一"故选。

考点：复数的运算与复数相关的概念.

6.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型

进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为()种

A.90种B.36种C.150种D.108种

【答案】C

【解析】

【分析】

将5名老师分为2+2+1和3+1+1的两种情况，计算得到答案.

【详解】5名老师分为2+2+1的情况时.：共有©=90；

6

5名老师分为3+1+1的情况时：共有C；・A；=60,

故共有90+60=150种不同的分派方法.

故选：C.

【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，没有考虑

平均分组是容易发生的错误.

7.（2—V）（x+a）5的展开式的各项系数和为243,则该展开式中公的系数是（）.

A.5B.-40C.-60D.100

【答案】C

【解析】

【分析】

（2-X3）（X+«）5展开式的各项系数和为x=l的值，求出。的值，根据（2-V）（x+a）5产

生犬的项可求其系数

【详解】解：x=l,（2-力（x+a）5=（1+4=243

所以a=2

（2-x3"x+a）5=（2—/）5+2）5展开式中/的系数是：

2XC^X2+（-1）XC^X24=-60

故选：C

【点睛】考查二项展开式中各项系数的和的求法和求特定的项；基础题.

8.函数/'（*）=--------的图象大致是（）

x-lnx-1

c.D.

X

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断

函数单调性,对应函数图像得到答案.

【详解】设g(x)=x—lnx-1,g(l)=O,则/(》)=---------的定义域为

x-lnx-1

xe(0,l)U(l,+8).g'(x)=l—L,当xe(l,+o)),g'(x)>(),g(x)单增，当xe(O,l),

x

g'(x)<0,g(x)单减，则g(x)2g⑴=0.则f(x)在xe(O,l)上单增，XG(1,+«))上单减,

【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算，同学们还可以用特殊值

法等方法进行判断.

9.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，

现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相

同，则不同的涂色方案共有（）

B.720种C.480种1).420种

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算

答案.

【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、。、E，分4步进行分析：

①对于区域A，有5种颜色可选；

②对于区域8,与A区域相邻，有4种颜色可选；

③对于区域C,与A、3区域相邻，有3种颜色可选；

④对于区域。、E，若。与3颜色相同，E区域有3种颜色可选，若。与3颜色不相同，D

区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域£)、E有3+2x2=7种选择,

则不同的涂色方案有5x4x3x7=420种;

【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类

讨论的应用.

10.已知/(月=。10%+；》23>0),若对任意两个不等的正实数占，x2,都有

〃>2恒成立，则a的取值范围是()

罚一马

A.(0,1]B.(1,+co)C.(0,1)D,[1,+co)

【答案】D

【解析】

[详解]试题分析：根据J~>2可知——1U-——更>0,

%—X?王一x2

令g(x)=/(x)-2x=alnx+；x2_2x(a>0)为增函数，

所以g，(x)=2+x-2N0(x>0,a>0)恒成立，分离参数得.2x(2—x),而当x>0时

x(2-x)最大值为1，故aNl.

考点：函数导数与不等式，恒成立问题.

二、多选题(本大题共2小题，每小题5分，满分10分.每小题给出的四个选项中，有两项

或两项以上是符合题目要求.)

11.下列说法中，正确的命题是()

A.以模型>=。6卜去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线

性方程z=().3x+4,则万左的值分别是和0.3；

B.事件AU8为必然事件，则事件A、8是互为对立事件；

C.设随机变量，-N(O,1),若P《23)=p,则P(—3<二<0)=；—〃；

D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=”4个人去的景

2

点各不相同"，事件3="甲独自去一个景点”，则尸(A|B)=A.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据回归方程，对立事件，正态分布的性质和条件概率公式，依次计算判断每个选项得到答

案.

【详解】y=c*,两边取对数得到InyMlncekuAx+lnc,故c,左的值分别是和o.3,

A正确；

B错误，举反例：随机投一个骰子，A事件表示骰子点数为1,2,3,4,B事件表示骰子点数为

4,5,6,4,8不是对立事件；

根据对称性：P«>3)=P«<-3)=p,故P(—BvSvOXq£ng—P，C正确；

⑻=多需=房*DIE"-

故选：ACD.

【点睛】本题考查了回归方程，对立事件，正态分布和条件概率公式，意在考查学生的计算

能力和综合应用能力.

12.已知函数/(x)是定义在彳上的奇函数，当x<0时，f(x)=e'(x+l),则下列命题正确

的是()

A.当x>()时，f(x)=-e~'(x-1)

B.函数/(X)有3个零点

Cf(x)<0的解集为(一8,-1)。(0,1)

D.Vxpx2e/?,都有|/(玉)_/(电)|<2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

设x>0,则一x<0,则由题意得/(一£)="*(一%+1),根据奇函数/(-x)=-/(x)即可

求出解析式，即可判断A选项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导,

得单调性，从而求出值域，进而判断D选项.

【详解】解：⑴当x>()时，—x<(),则由题意得〃—x)=e7(T+l),

函数/(x)是奇函数，

/./(())=(),且x>0时，/(x)=—/(—x)=—e-、(一x+l)=e-*(x—1),A错；

e*(x+l),x<0

/./(%)=<0,x=0,

e-I(x-l),x>0

(2)当x<0时，由/(x)=e、(x+l)=O得x=-l,

当x>()时:由〃x)=e7(x-l)=0得％=1,

二函数/(x)有3个零点一1,0,1,B对；

(3)当x<0时，由./■(》)=0*(%+1)<0得％<-1,

当x>()时，由/(x)=e-*(x-l)<0得0cx<1,

f(x)<0的解集为(-oo,T)u(0,l),C对；

(4)当x<0时，由/(x)=e、(x+l)得尸(x)=e*(x+2),

由,f'(x)=e'(x+2)<()得％<—2,由/'(x)=e"(x+2)»0得一2Kx<0,

二函数/(元)在(—8,—2］上单调递减，在［—2,0)上单调递增，

...函数在(F,0)上有最小值/(-2)=-肉2,且“X)=，(X+1)<e°•(0+1)=1,

又当x<0时，/(x)=e'(x+l)=0时x=—1,函数在(F,0)上只有一个零点，

.•.当x<0时，函数“X)的值域为［一］,1),

由奇函数的图象关于原点对称得函数“X)在R的值域为

对7和々€宠，都有|/(芭)一/(々)|<2,口对；

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上

解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最

值、求函数值域的方法，属于较难题.

三、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在对应题号后面的横线

上)

13.已知i为虚数单位，复数z满足==i,则卜|.

1+z

【答案】1

【解析】

【分析】

利用复数的四则运算求出Z,再求其模.

1-7J-/(I-/)2

【详解】因为——=i，所以l-z=(l+z)inz=——=」一二—=—i,则

1+Z1+Z(l+l)(l-z)

|Z|=J()2+(_1)2=1.

故答案为：L

【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题.

14.函数“X)=3在(042］上的最大值是—.

【答案】-

e

【解析】

【分析】

求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可.

【详解】函数/(%)=」，1(x)=二丁，令/(x)=0,解得X=e.

因为Owe?,函数在xc((),e]上单调递增，在相上/]单调递减；

x=e时，/(x)取得最大值，f(e]=~.

e

故答案为一.

e

【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是

解题的关键.

15.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已

知某种盆栽植物每株成活的概率为P,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此

种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差OX=2.1,P(X=3)<P(X=7),

则〃=.

【答案】0.7

【解析】

【分析】

由题意可知：X~B(10,p),且<'乙丫_h，从而可得?值・

【详解】由题意可知：X~B(10,p)

10/?(1-/?)=2.1fl00p2-100p+21=0

1P(X=3)<P(X=7)[p>0.5

二p=0.7

故答案为：0.7

【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属

于中档题.

16.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,11，3443,94249等，显然

2位回文数有9个：11，22.33,…，99,3位回文数有90个：101,111,121,…，

191,202,…，999.

(1)4位回文数有个.

(2)2"+l(〃eN+)位回文数有个.

【答案】(1).90(2).9x10"

【解析】

(1)4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，

第一步，选千位和个位数字，共有9种选法，

第二步，选中间两位数字，有10种选法，

故4位回文数有9x10=90个.

(2)第一步，选左边第一个数字，有9种选法，

第二步，分别选左边第2、3、4、…、〃、〃+1个数字，共有10xl0