管道运输优化

附件2

《运筹学》最短路、最小费用最大流经典作品

关于钢管订购和运输的优化模型

队员：陈显健

陈瑜斌

陈振松

2007年6月5日

摘要：本文首先运用图论知识中的最短路算法求出s,到4的最优路径。然后将模型转

化为最小费用最大流的网络优化H题，从而求出近似最优解。

在分析出求解该网络优化模型的解法后，运用Lingo软件包求出了该问题的近似最优

解。对问题一而言，求出了较优的订购和运输计划（见表三），其最小费用为1291630万元。

对于第二个问题而言，可得出钢厂S6的钢管销价的变化对购运计划和总费用的影响最大；

钢管厂的钢管产量的上限的变化对总费用的影响最大，钢管厂S3的产量上限的变化对购

运计划的影响最大。对问题三，给出了•般解，求出了较优的订购和运输计划（见表四），

其最小费用为1396099万元，

最后对模型进行了综合评价并提出了改进方向。

关键词：网络流最小费用最大流

一、问题重述

要铺设一条AfA2―…fA/的输送天然气的主管道，如图一所示，经筛选后可以

生产这种主管道的钢厂有…,S,。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示

要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段

铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位女机）。

为了方便，"机主管道称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂S,在指定期限内能

生产该钢管的最大生产数量为Sj个单位，钢厂出厂销价为P,万元，如下表：

表一

i1234567

80080010002000200020003000

S'

160155155160155150160

Pi

1单位钢管的铁路运价如下表:

（表二）

里程(km)<300301~350351〜400401〜450451-500

运价（万元）2023262932

里程(km)501~600601~700701~800801〜900901~1000

运价（万元）3744505560

lOOOhn以上每增加1至lOOhn运价增加5万元。

公路运输费用为1单位管道每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）。

管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点4'A2,而是管道

全线）。

要求：

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小，并给出总费用。

（2）请就（1）的模型进行分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用

影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最

大，并给出相应的数字结果。

（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图。铁路、公路和管道购成网络,

请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出数学

模型和结果。

II

图一

二、基本假设

1.沿管道铺设路线上有公路，在计算运费时.，与其它普通公路相同；

2.订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量；

3.公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）；

4.1km主管道钢管称为1单位钢管；

5.一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位；

6.1单位钢管的铁路运价如（表二）所示，1000人机以上每增加1至100M”运价增加

5万元；

7.管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点3，42,…，45,而是管道全线）;

8.本问题只考虑在铁路和公路上一运输的问题，而不考虑在其它路径上的情况；

9.每个钢管厂生产的钢管均满足铺设要求；

10.模型只考虑钢管销价费用和钢管从钢管厂运送到铺设点的钢管运费，而不考虑其它

费用，如转运费用等；

11.在公路上卸货，按铺路的要求卸车；

12.销售价和运输价不受后场价格变化的影响。

三、符号说明

S,第i钢管厂

S,.表示S,的最大生产能力

A.表示需要铺设管道路径上的车站

X”从所有S,运往4的钢管用于铺设A,点前后侧的钢管数

Fi单位产品从5,.到4地的运费

fp表示单位钢管从S,地运往4地的最小费用

4/+1表示4和AN两车站之间需要铺设的管道长度

pi从S,订购钢管的单位价格

z用于订购和运输的总费用

四、模型的建立与求解

问题一

1、模型的建立

对本问题而言，实际上是一个要求制定订购和运输计划，使总费用最小的优化问题。本

模型的总费用包括钢管的销价和运输总的费用。首先，向某厂订购钢管，然后将在每个厂订

购的钢管运往需要铺设的全路段。由本题的要求可以知道在铺设管道时必须经过

儿,42,…As点。欲解决本问题可以按以下方案进行思考：首先，需要确定将货物从i地运

往/地的最优路线；然后，求出向每个钢管厂的订购计划，并确定出运输计划；最后计算将

运往，地的钢管铺到各个管道上的运输费用，我们不妨假设运往以，为终点的钢管只铺到与

/点相邻的两段管道上。因此，本问题可以按以下步骤求解。

第一步：确定从i地到，地的最优路径，从而确定出单位钢管从i地运往/地的最小运

费。

设5,(/=1,2,…7)表示钢管厂，s,(i=1,2,…7)表示S,的最大生产能力，

A.(j=1,2,…,15)表示需要铺设钢管路径上的车站。假设从S,.运往A,的钢管用于铺设4

点前后侧的钢管数为A,单位，单位产品从S,到A,地的运费为5.)万元，用/,；表示单位

钢管从S,地运往A,地的最小费用，则：

力j=min%(1)

第二步：建立从S,.厂运送X,j单位钢管到4,点的运费的模型：

用Z1表示订购的所有钢管全部运到Aj点的总运费，则:

157

Z>=EEX--，7

j=\Z=1

15

"Yxi.j-i

j=l

15

Zz/50(U,.

；=i(2)

.f1当Sj生产时

/t.=<

'[0当S,.不生产时

7

力+万=2>，”

i=l

y；+%=A3i

xi.jN0

其中：y；和y；分别表示运到为地钢管用于铺A,点前边和后边的钢管长度;

4评表示4和A,”之间需要铺设的管道长度

第三步：将运到4处的钢管铺到相邻两段路上的运输费用

根据假设，在铺设钢管时，dx单位钢管从第左点运到上+1点的运费为:

(*■+1

[0.1dx=0.1(3)

由(3)式可得如下模型

(1)当力和力+1均为整单位数时，设其运费用Z21表示，则：

15

E01x（+y；）・y；+（i+y；+J・y；+i

j=l2

(2)当y；和万+1均为非整单位数时，设其运费用Z22表示，则：

（1+[y；]）・U；]+2（y；-[y；]）.（1+[y；]）

Z22=20.1X

2

n,（1+y；+1）*[y；+I]+2（y；-|y；+1]）.（l+[y；+J）

2

=0.05x｛（1+[y；]）.（2y；-[）.；]）+（1+y；+1）•（2y；+l-[y；+1]）｝

其中：[y；]表示y；的整数部分;

[万+J表示万+i的整数部分；

综合上述两式可得：

15

Z2=Z（）.05x｛（l+[y；]）・（2y；-[y"）+（l+yW）・（2%-[%]）｝（4）

j=l

15

S工£xp<5,2i

j=l

15

Vx..>5010/1.

■，J

7=1

,[1当与生产时

A.=<

'[0当’不生产时

7

y；+%=Z&j

/=1

A

y；+X+i=j,j+i

□"+[%]=A"1

Xp20

其中：马表示运到4处的钢管铺到相邻两段路上的运输费用

第四步：建立订购费用的模型

设Z3表示订购管道的总费用，则可建立如下模型：

715

Z3=ZZP"Zj⑸

/=1j=l

用Z表示订购和运输的总费用，由（2）、（4）、（5）可得本问题的优化模型如下：

minz=z｛+z2+z3

即：

minz=次0.05x｛（1+[y；]）・（2y；-[y；]）+（1+）・（2%-J）｝

>1

157715

+E£xp.九+E±Pi

j=\i=li=l>1

15

S/.Z&j—i

六1

£Z/50(U,.

>1

.[1当s,生产时

/t.=V

[0当与不生产时

7

/=!

[y；]+[y；+1]=^.7+l-i

xi.j20

2、模型的求解

(I)首先求解力.j

此问题相当于求解最小费用流问题，即求出从S,点运送单位钢管到4点的最小费用。

按常规，本问题可以按求最短路的常规方法求解。但由于本问题中沿铁路的单位运费由它前

边经过的铁路长度而变化。根据问题的需要，我们不妨假设如果从S,点到A,点的钢管经过

铁路后，一旦走公路，那么，该钢管将不会再通过铁路运输。则假设沿铁路行走，直到走到

与公路相连为止。那么，我们可以将已知图中铁路的费用直接表示出。因此从S,•点到Aj点

（图三）

现在需要求出每个钢管厂s,到每条公路上的节点4的最优路径，即：如果需要从s’点运钢

管到4.点，则需要找HI从该点到目的点间的最优路线。现在从每个钢厂出发，求出每个钢

厂到需要铺设管道的路径上的每个节点的单位钢管量的最小费用。

那么，我们以s,,4以及铁路的端点等为点，以钢管的可能运输路线为边，以单位钢管的

运输费用为权建立形如（图三）所示的加权图。（其中，边上的权的确定的具体方案参见文

献[2],本题中，以S,.为起点，以需铺设管道的路上的节点为终点，那么从Sj到A,的路程

中根据铁路和公路的运费特点不难得出形如图三所示的赋权图）,根据Dijkstra标号法⑵可以

求出每个钢管厂S,.到各个节点A.的最小单位运输费用。

现在我们以§2点为起点，以每个铺设管道的节点为终点，通过观察与简单运算得出

图三的加权图，则以图三为基础，运用Lingo软件包中的求最短路问题的程序DYNAMB.LG4

（见附录一）可求得单位钢管的最小运输费用如下：

F(j)单位钢管的运输费F(j)单位钢管的运输费

F(1)215.7000F(2)205.3000

F(3)190.2000F(4)171.6000

F(5)111.0000F(6)95.50000

F(7)86.00000F(8)71.20000

F(9)114.2000F(10)142.0000

F(11)146.0000F(12)156.0000

F(13)171.2000F(14)178.0000

F(15)192.0000

其中：F（j）=表示从$2到A,.的最小单位钢管运费。

同理可得酬，S3,S4,S5,S6,S7各点到目的点的最优单位运费如下

点到需要铺设管道的路上的各节点的单位运输费

F(1)170.7000F(2)160.3000

F(3)140.2000F(4)98.60000

F(5)38.00000F(6)20.50000

F(7)3.100000F(8)21.20000

F(9)64.20000F(10)92.00000

F(11)96.00000F(12)106.0000

F(13)121.2000F(14)128.0000

F(15)142.0000

s3点到需要铺设管道的路上的各节点的单位运输费

F(1)230.7000F(2)220.3000

F(3)200.2000F(4)181.6000

F(5)121.0000F(6)105.5000

F(7)96.00000F(8)86.20000

F(9)48.20000F(10)82.00000

F(11)86.00000F(12)96.00000

F(13)111.2000F(14)118.0000

F(15)132.0000

s4点到需要铺设管道的路上的各节点的单位运输费

F(1)260.7000F(2)250.3000

F(3)235.2000F(4)216.6000

F(5)156.0000F(6)140.5000

F(7)131.0000F(8)116.2000

F(9)84.20000F(10)62.00000

F(ID51.00000F(12)61.00000

F(13)76.20000F(14)83.00000

F(15)97.00000

s5点到需要铺设管道的路上的各节点的单位运输费

F(1)255.7000F(2)245.3000

F(3)225.2000F(4)206.6000

F(5)146.0000F(6)130.5000

F(7)121.0000F(8)111.2000

F(9)79.20000F(10)57.00000

F(ID33.00000F(12)51.00000

F(13)71.20000F(14)73.00000

F(15)87.00000

$6点到需要铺设管道的路上的各节点的单位运输费

F(1)265.7000F(2)255.3000

F(3)235.2000F(4)216.6000

F(5)156.0000F(6)140.5000

F(7)131.0000F(8)121.2000

F(9)84.20000F(10)62.00000

F(11)51.00000F(12)45.00000

F(13)53.00000F(14)11.00000

F(15)28.00000

57点到需要铺设管道的路上的各节点的单位运输费

F(1)280.7000F(2)270.3000

F(3)250.2000F(4)231.6000

F(5)171.0000F(6)155.5000

F(7)146.0000F(8)136.2000

F(9)104.2000F(10)77.00000

F(ID66.00000F(12)56.00000

F(13)38.20000F(14)26.00000

F(15)2.000000

(2)根据以上结果，继续求解最小总费用的模型

原问题属于非线性规划问题的最优解，但针对我们现在的情况来说，不能找到较好的方

法求解，我们可以根据线性(非线性)规划问题与网络流分析之间的密切联系，将原问题转

化为下面的网络流问题进行求解。

本问题在求出S1点到4点的单位最小运费后，可以转化为有，个钢管厂给j个铺设公路

点供钢管，然后第j个铺设点的钢管运往铺设处(管道全线)的网络流问题，假设用

=1,…,7)表示第i个钢管厂的最大生产量，力j表示从i地运往/地的单位运价，每单

位钢管的成本为P,万元，运往j点后的每个点输出的管道数为4,运费为4,用毛表示第i

地流出的钢管总数。我们可以构造源和汇，可建立如卜的网络流优化问题。其网络流如图四

所示

该网络中每段弧上的两个数字，前者是该段弧的容量，后者是与该段弧相应的费用。符

号8表示该段弧容量无限制。

图中：=1,…,S?)表示第i个钢厂的生产能力

p,(i=1,…,7)表示第i个钢厂生产钢管的销价

力j表示从i地运往，地的单位钢管的运费

c,„表示运往&的钢管运往铺道上的费用

4.(m=1,2,…15)表示运往4地的钢管数目

8,九

（图四）

网络求解的具体方法如下:

对网络G=（N,A）的每一段弧（%,丐），除了容量c（〃,,〃j）之外，还附有另一非负实

数/（〃，.，〃/）,称之为费用。要求构造一个从源到汇的最大网络流。，同时使流的

总费用，及

达到最小。

本问题的具体解法是

（1）任取一个取整数值的网络流。，设流的值为V,要求在所有值为V的流中，。的总费

用最小。显然/（。）20

（2）构造伴随增量网络G'（。），除容量外，对G'0）的每一段正向的弧，再按如下方式

定义一个费用，即：。）对G'（。）每一段正向的弧（％,%），定义费用为

厂（%,〃/=/（4,%）。（"）对G'（。）每一段正向的弧（％,%），定义费用为

1.（%,〃）=一1（%,%）

（3）在G'3）上求出从源到汇的所有路径，定义每一条路径〃的费用为

/（〃）=z，（%,%）

（勺，町）

从中选出费用最小的路径，记为M，如果G'（。）上不存在由源到汇的路径，转向步骤（5）,

否则继续。

（4）记£为〃的最小弧容量，/是G上与〃相应的链，在y每段向前的弧上将流值。增

加£,每段向后的弧上减少£,得到一个新的流，它的值为V+£的最小费用，转向

步骤（2）

（5）判断最优解是否满足生产时至少生产500单位的条件，如果不满足，则将该厂的流

增加至500或减少到0,然后返回步骤（1）,否则，此时所得到的流是最小费用最

大流，算法结束。

在上述网络中必须知道c”，这样必须在上述求解网络的基础上加上枚举法。但是，在

这样短的时间里不能编出求解此问题的全局最优解。现在只有运用求近似解的方法求解。否

则不能求解。我们可以运用现成的软件，比如说Ling。数学软件，但是，在用它求解的过程

中，不能将枚举法加在程序里，只有通过其他一些方法求出较好的初始值，然后求出前面一

部分的最优解。我们可以在确定4处的钢管数后，运用将钢管铺到整段路上的运输费最小

为目标确定出下一个局部的最优解。将上述两部分的解结合起来便可求出本问题的近似最优

解。

首先，根据以下准则，确定出求图（四）的最优解的初始解。

在未给定初始值的情况下,为了使我们的解尽可能地解接近其最优解，我们根据自身的特

点和工厂、铁路、公路以及铺设点分布情况，从而我们作出如下规则来确定模型的初始解域:

1）运输位置一旦离开铁路，而到达公路上后就不会再回到铁路上。

2）邻近原则：即将离工厂最近的铺设点为我们优先考虑定购点。

3）钢厂与铺设点之间的运输费用最少的优先考虑为我们的定购点。

4）一旦某工厂被定为定购点，它将尽最大的需求量去定购。

大致根据以上规则和其分布特点，我们得到如下较优的初始值，即：A/（J=1,2……14,15）

堆积点所定购的钢管量为0,26L482,515,571,153,373,212,574,330,317,170,

257,655,141。

将上述数据作为我们的初始可行解，由后面的程序即可求出其最小费用为：1291630万

元，其具体的订货、运输安排如下：

（表三）

订货安排运输安排

800

X\A~274

几6=153

7=373

800%22=261

52

x23=22

x2,5~305

X2,8-212

1000

S3X3.5=266

%=734

0

s4

1348以3=460

S5

&=241

X5.10=33°

X5,\1=317

=

1223X6.1217°

臬

x6,i3=257

%I4=655

人/5二141

0

Si

问题二

1.模型的建立

针对本问题来说，我们可以用拉格郎日算子法求出灵敏度的大小求解非线性问题的灵

敏度问题。同时也可转化为线性规划的方法求解，从而确定出该问题的灵敏度问题。

我们先根据其定义来求解。由灵敏度的定义可以知道，灵敏度是指系统中的参数或外

扰的微小摄动对系统某特性的影响程度，关于参数摄动的灵敏度公式为：

甲金由参数变化引起系统特性变化的百分数

灵敏度=--------------------------------------

参数变化的百分数

由上述可以知道，当参数变化时，对应的最优解将会发生变化，那么每个参数发生变

化的灵敏度就可以表示出来。对问题（1）的模型而言，当Pi表示订购费用时，对应有一个

最优解。

当p,.变化时，对应的最优费用为Z*+AZ*,时应的最优解为x'+ArJ,贝小

2_AZ*/Z*_8.AZ*

WJPiZ*Ap,

rAx*,/X*,n.Ax；i

।&J_____,，■/I_尸I.__i，J

△pjPix,>M

,一AZ*/Z'S’AZ*

s_AS,/5,._Z*A5,.

xAx,*,-/%*,.SAx,,；

-"

>AS,./5;<7

JJl，JJ

其中：

5；表示特性z关于参数p,的灵敏度

S〉表示特性x’j关于参数p,的灵敏度

S；表示特性z关于参数Pi的灵敏度

S”表示特性看j关于参数Pi的灵敏度

我们不妨仍以问题一-中的模型作为本问题的模型，只是〃,，*为变量而已。那么本问

题的模型如下：

minz=次0.05x{(l+[)-；]).(2y；-[y；])+(l+%)・(2%-[%])}

J=i

157715

j=\i=\/=!j=l

15

S.Lj«i

>1

15

ZZ户500"

j=i

_1当5：生产时

，-(0当S,不生产时

7

f=l

[y；]+[y；+l]=A..+1-1

儿/o

2.模型求解

当一些量变化时，我们可以运用问题一的解法求出变化后的最优解，然后运用上述灵

敏度的定义求出其最优解。

我没不妨以每个量变化10%来求解，当然能够求出最小费用，但很难求出每个Xr,

因此，我们以参数变化后，以引起X”的变化的多少来确定参数变化后对订货运输计划的影

响。

(1)我们不妨以上述两个变化来反映其变化的程度(单位：亿元)，由附录中的程序可

以得出如下解：

组=10%空■=]()%4L=IO%生=10%*0%缎=10%

PlPl。3P4P5P6

Z120.7259120.7659120.4559121.7378119.84

0859810

xi.J

变

化

个

数

1.05%1.02%1.27%0.22%1.78%2.28%

JP,

由上述表格可以知道，第6个钢管厂钢管的销价对总费用的影响最大，对购运计划的影响也

最大

(2)同理可得由于钢管厂生产能力发生变化对最优解的影响如下

对应的钢管厂生产能力变化10%最小费用的变化引起订购和运输变量变化的个数

0.68%7

Si

0.23%4

s2

0.20%8

邑

00

儿

00

Ss

00

S6

由上可得：钢管厂S1的钢管产量的上限的变化对购运计划的总费用影响最大，钢管厂S3的

产量上限的变化对购运计划影响最大。

问题三

1.模型建立

本问题比第一个问题更具有一般性，其主要目的与第i个问题相同。一种方案是找到

最优生成树，找到需要管道的点所在的最小Steiner树。另一方面，我们也可以运用问题」

的解决办法，先找出最优路径，然后求出所有费用的表达式，然后运用网络流的最小费用流

的算法。运用穷举法便可求出最优解。

与问题一相同的方法可以建立以下模型：

minz=^0.05x｛（1+[y；]）・（2y；-[y"）+（1+%）・（2“防』）｝

y=i

157715

j=\1=1/=1j=l

15

j=l

J=I

.f1当号生产时

Z.=5

I0当y不生产时

7

/=1

y；+x+i=Aj.j+i

1

2.模型的求解

按问题•的方法，运用附录中的程序，求出单位钢管从。运到A,的最小费用/二八然

后运用与问题一一样的准则求出，建立如下网络模型，并用类似的方法求出本问题的最优解

（图四）

运用问题一的解法可以建立如下的网络流问题进行穷举求解。

0S21

F(1)170.7000F(2)160.3000

F(3)140.2000F(4)98.60000

F(5)38.00000F(6)20.50000

F(7)3.100000F(8)21.20000

F(9)64.20000F(10)92.00000

F(11)96.00000F(12)106.0000

F(13)121.2000F(14)128.0000

F(15)142.0000F(16)60.00000

F(17)95.00000F(18)100.0000

F(19)105.0000F(20)115.0000

F(21)130.0000

0s22

F(1)215.7000F(2)205.3000

F(3)190.2000F(4)171.6000

F(5)111.0000F(6)95.50000

F(7)86.00000F(8)71.20000

F(9)114.2000F(10)142.0000

F(11)146.0000F(12)146.0000

F(13)171.2000F(14)178.0000

F(15)192.0000F(16)110.0000

F(17)145.0000F(18)150.0000

F(19)145.0000F(20)165.0000

F(21)180.0000

§23

F(1)230.7000F(2)220.3000

F(3)200.2000F(4)181.6000

F(5)121.0000F(6)105.5000

F(7)96.00000F(8)86.20000

F(9)48.20000F(10)82.00001

F(ID86.00000F(12)101.0000

F(13)Ill.2000F(14)118.0000

F(15)132.0000F(16)44.00000

F(17)85.00000F(18)90.00000

F(19)100.0000F(20)105.0000

F(21)115.0000

S24

F(1)260.7000F(2)250.3000

F(3)235.2000F(4)216.6000

F(5)156.0000F(6)140.5000

F(7)131.0000F(8)116.2000

F(9)84.20000F(10)62.00000

F(ID51.00000F(12)71.00000

F(13)76.20000F(14)83.00000

F(15)97.00000F(16)80.00000

F(17)50.00000F(18)55.00000

F(19)70.00000F(20)70.00000

F(21)80.00000

§25

F(1)200.7000F(2)190.3000

F(3)170.2000F(4)206.6000

F(5)146.0000F(6)130.5000

F(7)121.0000F(8)111.2000

F(9)79.20000F(10)57.00000

F(11)33.00000F(12)51.00000

F(13)71.20000F(14)73.00000

F(15)87.00000F(16)75.00000

F(17)32.00000F(18)50.00000

F(19)50.00000F(20)65.00000

F(21)75.00000

S26

F(1)265.7000F(2)255.3000

F(3)235.2000F(4)216.6000

F(5)156.0000F(6)140.5000

F(7)131.0000F(8)121.2000

F(9)84.20000F(10)62.00000

F(11)51.00000F(12)37.00000

F(13)16.20000F(14)11.00000

F(15)28.00000F(16)80.00000

F(17)50.00000F(18)37.00000

F(19)36.00000F(20)10.00000

F(21)0.0000000

s

021

F(1)280.7000F(2)270.3000

F(3)250.2000F(4)226.6000

F(5)166.0000F(6)155.5000

F(7)146.0000F(8)136.2000

F(9)104.2000F(10)82.00000

F(11)64.00000F(12)56.00000

F(13)38.20000F(14)26.00000

F(15)2.000000F(16)100.0000

F(17)63.00000F(18)50.00000

F(19)55.00000F(20)32.00000

F(21)26.00000

3.在确定出上述结果后，运用下列准则，确定下列初始解,再利用相同的方法编制附录

中的程序。

从而可得到如下最优解：

总的最小费用为1396099万元，具体的订货和运输计划详细见下表

（表四）

订货安排运输安排

800

匹5=274

再6=153

X,7=373

800x=515

S224

x2.5=73

X2,8=212

554

S3X3.5=224

X3.10=330

0

S4

2000

S5£=261

“3=482

x5,9=728

x5,n=322

X5,16=22

X5,17=185

1749

S6