高考数学冲刺押题密卷-解答题（数列）详细解析

高考数学押题大赛--解答题（数列）

对于给定数列｛q,）,如果存在实常数p,夕使得%+i=pc+q对于任意nGN”都成立，我们称数列｛%｝是'M类数列”.

数列tl

1、在平面直角坐标系中，已知三个点列｛4｝,｛纥｝,｛。“｝,其中璃5也）,C,（〃T，O），（1）若勺=2/2,勿=3,2".〃GN”,数列｛q［、（"｝是否为类数列”？若是，指出它对应的

满足向量可不与向量瓦Z匚平行，并且点列仍“｝在斜率为6的同一克线上，"=1,2,3,…。实常数，若不是，请说明理由；

<!>证明：数列仇｝是等差数列;（2）证明：若数列｛g｝是类数列”，则数列｛。“+%+］｝也是类数列”：

（3）若数列｛%｝满足4=2,可+为川=3,2"（〃GN'）,/为常数.求数列｛《,｝前2013项的和.

<2）试用%,瓦与n表示a„（n>2）；

并判断｛《,｝是否为“M类数列”，说明理由；

（3）设4=a,4=-。，是否存在这样的实数a,使得在。6与的两项中至少有一项是数列W的

最小项？若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由：（4）根据对（2〉（3）问题的研究,对数列｛《,｝的相邻两项a“、an+i.提出一个条件或结论

⑷若％="=3,对于区间［0,1］上的任意入，总存在不小于2的自然数匕当n次时，％之（1一；1）（9〃-6）恒成立，求k的最小值.与类数列”概念相关的真命题,并探究其逆命题的真假.

解：⑴因为点列｛3J在斜率为6,［解］（I）因为a”=2〃，则有a"+］=a“+2,nwN"

故数列｛a“｝是“M类数列”，对应的实常数分别为1,2.......................2分

所以=6即”向一久=6,所以.数列也”｝是等差数列.3分

（〃+1）一〃

因为仇=3•2",则有b*i=2bn??GM

⑵44+广。，勺浦一4），41c=（*幻，因为〃瓦c〃，所以5分

故数列｛2｝是“M类数列”，对应的实常数分别为2,0.......................4分

又2=bj+6(/i-l),an^-an=7?,+6(/i-l).

（2）证明：若数列｛《』是“M类数列”，则存在实常数.

a2—ay=b].%—%=A+6x1,a4-a3=b]+6x2......an—an_t=bx+6(/2—2).

使得凡+1=pa”+q对于任患nGN”都成立，

将以上等式相加得an-67)=(〃-1)4+6x―——―,

且有41+2=P。7+q对于任意nwN’都成立....................................6分

所以a”=q+(n-1)^+3(n2-3〃+2).8分

因此（必+［+an+2）=p（atl+%）+2q对于任意weAT都成立.

22

(3)an=a-(n-l)a+3(zz-3〃+2)=3n-(a+9)〃+2a+610分

故数列｛4+4+1｝也是“M类数列”..................................8分

若存在这样的实数。,使得在生,与由两项中至少有一项是数列MJ的最小项，

对应的实常数分别为〃，24................................................9分

a+9

则5.5<----<7.5,解得24Va«36.13分

6n4

⑶因为an+an+[=3t-2(ne/V*)则有%+%=3fN?,a4+a5=3t-2,

22

(4)an=3+3(z?-1)+3(n-3n+2)=3(n-2n+2)

々2006+^2007=3f•2~.”2008+“2009=3f,2^2010+^2011=3/-2.。刈2+“2013=3t

由a“之(1一4)(9〃-6),3(/72-2AZ+2)>(1-2)(9w-6),即(3〃-2)之+〃2—5〃+420.15分

故数列｛4｝前2013项的和S2QI3=a)+(a2+«3)+(tz4+tz5)+-+(«2OI2+^2013)

/(0)^0即卜2—5〃+420

记/(%)=(3/?—2)4+n~—5〃+4，则有

/(1)>0''|/r-2n+2>0=2+3r22+3r24+---+3/-220,2=2+fQ20"-4)...........11分

解得n>4或nMl,但由于n>2.所以nN4,kmin=4.18分若数列｛4｝是类数列”，则存在实常数P、q使得q+|=pa„+q对于任意neN、都成立,

2、（满分20分）本题共4小题，第I题满分4分，第2题满分5分，笫3题满分5分，第4题满分6分.

且有%+2=P。e+q对于任意neN♦都成立,

(3)设(2)中的数列的前〃项和为S”，试研究：是否存在实数〃，使得数列｛S〃｝有连续的两项

因此(an+l+4+2)=P(4+4+i)+2夕对于任意〃wM都成立，

都等于50.若存在,请求出a的值；若不存在，请说明理由.

解.⑴丁_(3+35)X5(17+41)X4

而a,,+禺+i=3r-2"(〃eN,).且a”+a=3t-2"(neN*)

n+l22

(2)a”+a”+i=2〃(〃eN*)①a+a=2(n+1)②

则有31-2"+i=3/・〃2"+2夕对于任意〃都成立，可以得到«〃-2)=0,4=0.ll+lll+2

②•①得。〃+2一。”=2<weN*>.所以，｛a“｝为公差为2的准等差数列.

(I)当p=2,q=0时，q向=2凡.4=2",/=1,经检验满足条件.

当n为偶数时，an=2—a+—1)x2=〃-a,

n-1

(2)当1=0,夕=0时，为“二一可，an=2(-l).p=-\经检验满足条件。

行〃为奇数时,解法一：an=a+x2=w+«-1：

因此尚且仅”"=1或，=0,时，数列｛。“｝也是'川类数列”。

解法二：ra„=2(n-1)-an_｝=2(〃-1)-[(//-1)-«]=n+a-1；,

解法三：先求〃为奇数时的a”，再用①求〃为偶数时的a”同样给分.

对应的实常数分别为2,0,或一1,0.............14分

_1〃+a-l,(〃为奇数)

(4)命题一：若数列｛6，｝是类数列”，则数列｛4,-4+1｝也是类数列'、.=1〃—©5为偶数)

逆命题：若数列｝是“M类数列”，则数列｛〃“｝也是类数列(3)解一：

平一1)

当〃为偶数时，S,,=小2+丝_22+(2-a).-+-^—^X2=-H2：

当且仅当数列卜1“一4+1｝是常数列、等比数列时，逆命题是正确的.x

22222

当〃为奇数时，•四+22

命题二：若数列｛%｝是等比数列，则数列｛4+《南卜｛为一凡+1｝、｛4,“向｝、S”=a2I2——2x2+(2-fl).—+——^x2

2222

是类数列”

逆命题：若数列可、-«｝>｛。屋。川｝、[詈)是:"类教到二则数列｛凡｝

｛4+3｝｛an,H1

当上为偶数时，S*=50,得k=10.

2

由题意，有S9=4x9?+々一』=50=a=10；或S”=1『+4-_1=50=〃=-io.

是等比数列.逆命题是正确的.2222

所以，4=±10.

n

命题三：若数列｛〃“｝是“M类数列"，则有an+a,^=k-A+B或a”+an+l=An+B.2

解二：当〃的偶数时，van+an^=2/?.=2x(1+3+•--+n-1)=^/i

逆命题：若〃或+。,川=〃.则数列｛%｝是类数列”

a+a““=hA"+8a”A+8当n为奇数时.S”=S“_i+。”=gx(〃一+〃+a—1=^n2+a-.

(1)若a,+a,』=An+B,当且仅当a1=)[20时逆命题是正确的.以下与解法一相同.

4.本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分

LAB

设数列｛《,｝与｛"｝满足：对任意〃GNL都有皿一〃一，l

(2)若。“+a”+i=A〃+8,当且仅当A+1工0,且4=----^+不时逆命题是正确的.2"=(l)S“bn=an-n'2"~.

其中S”为数列｛%｝的前〃项和.

(1)当匕=2时，求数列｛q｝与｛2｝的通项公式：

(2)当。工2时，求数列｛6｝的前〃项和S“.

3、若数列也)满足：对于〃eN*,都有"+2一2=d(常数)，则称数列历“｝是公差为d的准等差数歹九

答案:：由题意知4=2,且力q—2”=(8_1)S”，ba^-2w+,=(/?-1)5

当〃为奇数时；nn+I

[4/z-l,f1°

如：若a=tC*可加物I则匕｝是公差为8的准等票数列.两式相减得b(a,m一4,)-2”=(力-1)勺“即4+1=匕%+2"①(2分)

[4〃+9,当〃为偶数时.

n

(1)当b=2时,由①知a“+i=2an+2

<1)求上述准等差数列匕,｝的前9项的和T9：

于是一(〃+1)•2〃=2a+2”一(〃+1)•2"=2(a-n•)

(2)设数列｛%｝.满足：％=a,对于〃eN*,都有％+。向=2n.求证：｛%｝为准等差数列，nn

并求其通项公式：又4-1・21=1/0,所以｛a“一〃,2"T｝是首项为1.公比为2的等比数列.

nl求数列｛a”｝的通项及7；关于〃的表达式。

故知.bn=2~,(4分)

(川)记bT,求数列｛h｝的前n项之和S,并求使S>的n的最小值。

再由力〃=a〃一〃・2"“，得4=(〃+l)2"T.(2分)n=logx+lnnnn2008

答案:(I)由条件a»+i=2a/+2flk,得2a”.i+l=4a”2+4«"+l=(2a"+l)2.

另解：--77=%+-(2分)

2“+i2〃2:.｛如是“平方递推数列”.•••Igb»i=21班.

是首项为3:1,公差为'的等差数列，...与■=1+上4=巴里，〃为等比数列.

V|g(2«1+l)=lg5^O,」歌；；；=2.｛lg3+D)

[2n]2122"22

.也=(〃+1>2”7(4分)(II)Vlg(2«)4-1)=lg5,.,.lg(2fl„4-|)=2"'Ig5,.,.2o«4-l=52".,.a,=r(52"-1).

"=(〃+1)•2"“一n•2"T=2"T(2分)

E—1>")?»•—1

1£5(I

Vlg7；=lg(2a>4-l)4-|g(2a2-f-l)-f-...-f-|g(2f/H-H)=-=(2"-l)lg5.：.Tn=5^.

(2)当人工2时，由①得%——!―2M+,=ha+2n一一!—2w+,=b\a一一--2"|

fltl(2分)

向2-b"2-bI"2-bJ

IgT；_(2,,-l)lg5

lg(2a+l)=2"'ig5

若b=0・S0=2"(1分)fl

n

若b=l,an=2,S“=2"X-2(1分)

।Z|X2zlx/t—IL(5)

_(,")=方-2+2(9”.

.•.S”=2n-U+E+(e)+…+(菱)]=2〃一一^^-=2M-2[I

若bwOJ.数列，a“-JT，2""是以2"一")为首项,以力为公比的等比数列，

I2-bJ2-b15

故.二”笔"7,勺=心[2"+(2-乃)^](2分)

由S«>2008得2w—2+2(；)>2008,

2.—U2—。2—0

232

Sn=—(2+2+2+…+2”)+2(1_”+>+b+••.+〃"),$二2(2j")

当F1004时，<1005,当"N1005时，〃+(1)'>1005,的最小值为1005.

2-b')2-bl7,2-b

〃=1时，S“=2””-2符合上式所以，当力wO时，Sn=------■(2分)

2-b

n

当b=0时，Sn=2(i分)6、已知数列｛qj的首项为1,对任意的〃wN\定义=〃“.]-a”.

另解：

(I>若2=〃+1,①求4的值和数列｛4｝的通项公式；(ii)求数列｛」-｝的前〃项和s.：

当〃=1时，S[=4=2(1分)

%

当〃N2时一皿-2"=(人1电.・.。07,1)-2"=(。-1)5

(H)若%=bn+2bn(neN"),且J=2也=3,求数列电｝的前3〃项的和.

・二峪_分)

'•S“i+2"(2答案：(I)解：⑴4=I,生=4+济=1+2=3.%=%+&=3+3=6.

若8=0.S”=2"分)

(1由4+1一°“=〃+1得

若6工0,两边同除以2"得&*=2.辿+1

当时，4=4+(。2-4)+(4-生)++(凡一%.J=%+"+&++%="))

2"22”|

人bS,SbS,2+2ni

令」S,+/〃=——!nL±｝\即n切=一.(_±n^+-------)

++ftJi_21+而适合上式，所以a=

2n22n~'2n22n~lbq=1n，"〃："(〃wN")

2+2m2,Sn2,bb12〜11、

由，〃=—■—得加二二二TT+-----是以-----为首项，一为公比的等比数列(ii)由⑴得：一=--------=2(----------------)

bb-22nb-2b-2

2ann(w+1)nn+1

2nAr白铲

,八02(2"-F)

所以,当人工0时,S=----------(4分)

2-b

5、定义：若