数学同步训练：三角函数的积化和差与和差化积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.3三角函数的积化和差与和差化积知识点一：积化和差1．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin（α＋β）sin（α－β)等于A．－mB．mC．－eq\f（m,2)D。eq\f（m,2）2．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为A.eq\f（1，4）B。eq\f（\r（3)，2)C。eq\f(1,2)D。eq\f（\r（3），4）3．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是A．[－1,1］B．［－eq\f（1，2），eq\f（1,2）］C．［－eq\f（1，4),eq\f（3,4）]D．[－eq\f(3,4),eq\f（1，4）］4．计算sin105°cos75°的值是A.eq\f（1,2)B。eq\f（1,4)C．－eq\f(1,4）D．－eq\f(1,2)5．函数y＝sin（x＋eq\f(π,3））sin(x＋eq\f（π,2）)的最小正周期T＝__________。知识点二：和差化积6．将cos2x－sin2y化为积的形式,结果是A．－sin（x＋y）sin(x－y）B．cos（x＋y）cos（x－y）C．sin(x＋y)cos(x－y）D．－cos（x＋y)sin（x－y）7．函数y＝cos2(x－eq\f(π，12))＋sin2（x＋eq\f（π,12)）－1是A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数8．化简sin（θ＋eq\f(2π,3））＋sin（θ＋eq\f(4π,3））的结果是__________．9．把cosx＋cos2x＋cos3x＋cos4x化成积的形式．10．把下列各式化为积的形式:(1）sin122°＋sin36°；(2）sin75°－sin15°；(3)cos75°－cos23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式:①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－eq\f(1，2)cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ;⑤sinxsiny＝eq\f（1,2)[cos(x－y)－cos(x＋y）]．其中正确等式的个数是A．0B．1C．212．函数f（x）＝asinx＋acos（x－eq\f（π,6）)(x∈R）的最大值是eq\r(6)，则实数a等于A.eq\r（2）B．－eq\r(2)C。eq\r(3)D．－eq\r(3)13．化简coseq\f（2π，7)＋coseq\f（4π，7）＋coseq\f（6π，7)所得结果为A．sineq\f（π，7)B。eq\f（1,2)sineq\f(π，7)C．－eq\f（1，2）D．－eq\f(1,2）coseq\f(π,7)14．函数y＝eq\f(sin2x＋sin2x＋\f（π，3)，cos2x＋cos2x＋\f（π,3）)的最小正周期是__________．15．求证：sinαsin（60°＋α）sin（60°－α)＝eq\f（1，4）sin3α.能力点二:公式的综合应用16.在△ABC中，若sinBsinC＝cos2eq\f（A，2)，则△ABC是A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形17．如果向量a＝(cosα＋sinα,2009），b＝（cosα－sinα,1),且a∥b，那么eq\f(1，cos2α）＋tan2α＋1的值是__________．18．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：(1）A＋C＝2B；(2)eq\f（1,cosA)＋eq\f（1,cosC）＝－eq\f（\r（2），cosB),求coseq\f（A－C，2）的值．19．已知sin(eq\f(π，4）＋2α)sin（eq\f（π,4)－2α)＝eq\f(1，4）,α∈（eq\f（π,4)，eq\f(π,2)），求：2sin2α＋tanα－cotα－1的值．20．已知△ABC的面积为3，且满足0≤eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)）≤6，设〈eq\o（AB，\s\up6(→）)，eq\o（AC，\s\up6（→）)〉＝θ.(1）求θ的取值范围；(2）求函数f（θ）＝2sin2(eq\f（π,6）＋θ）－cos2θ的最大值与最小值．答案与解析1．Asin(α＋β)sin（α－β）＝－eq\f（1,2）(cos2α－cos2β)＝－eq\f(1,2)［(2cos2α－1）－(2cos2β－1）]＝－（cos2α－cos2β）＝－m.2．A原式＝eq\f(1，2）［sin90°＋sin(－50°）］＋eq\f（1，2)（－cos60°＋cos40°)＝eq\f（1,2)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f（1，2)cos40°－eq\f(1，4）＝eq\f（1，4）.3．CcosAsinC＝eq\f（1，2)［sin(A＋C)－sin（A－C)］＝eq\f（1,4）－eq\f(1,2）sin(A－C），∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈［－eq\f(1，4),eq\f（3，4)]．4．B5．π6．B7．Cy＝eq\f（1＋cos2x＋\f(π,6），2)＋eq\f(1－cos2x＋\f(π，6),2）－1＝eq\f（1，2)［cos(2x－eq\f（π,6）)－cos（2x＋eq\f(π，6）)]＝－sin2x·sin（－eq\f（π，6)）＝eq\f(1,2）sin2x，∴函数是周期为π的奇函数．8．－sinθ9．解：原式＝(cosx＋cos4x)＋(cos2x＋cos3x)＝2coseq\f(5,2）xcoseq\f(3，2）x＋2coseq\f（5，2）xcoseq\f(x，2）＝2coseq\f(5，2)x（coseq\f(3,2)x＋coseq\f（x,2））＝4coseq\f(5，2）x·cosx·coseq\f（x,2)。10．解:（1)sin122°＋sin36°＝2sineq\f(122°＋36°，2)·coseq\f(122°－36°，2）＝2sin79°·cos43°；（2）sin75°－sin15°＝2coseq\f（75°＋15°，2)·sineq\f(75°－15°，2）＝2cos45°·sin30°＝eq\f（\r（2），2）；(3)cos75°－cos23°＝－2sineq\f(75°＋23°,2)sineq\f（75°－23°，2)＝－2sin49°·sin26°.能力提升11．B根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．12．Af(x）＝asinx＋asin[eq\f（π，2)－（x－eq\f（π,6）)]＝a［sinx＋sin（－x＋eq\f(2π，3))］＝2asineq\f(π，3)cos(x－eq\f(π，3））＝eq\r（3）acos(x－eq\f（π，3）），∴eq\r(3)a＝eq\r（6)，a＝eq\r(2).13．C原式＝eq\f（cos\f(2π，7）＋cos\f(4π,7）＋cos\f(6π,7）sin\f（π，7），sin\f（π，7))＝eq\f(\f（1，2)sin\f（3π，7）－sin\f(π，7）＋sin\f(5π，7)－sin\f(3π,7）＋sinπ－sin\f（5π，7),sin\f(π,7）)＝eq\f(－\f（1，2）sin\f（π，7）,sin\f(π,7))＝－eq\f(1,2)。14.eq\f(π,2)eq\f(sin2x＋sin2x＋\f(π,3),cos2x＋cos2x＋\f(π,3)）＝eq\f（sin2x＋\f（1，2）sin2x＋\f（\r（3)，2）cos2x，cos2x＋\f（1,2)cos2x－\f(\r（3），2)sin2x）＝eq\f(\r（3)\f(\r（3)，2）sin2x＋\f(1，2）cos2x，\r(3）\f（\r（3）,2）cos2x－\f（1,2）sin2x)＝eq\f(sin2x＋\f（π,6）,cos2x＋\f（π,6）)＝tan（2x＋eq\f（π，6)），∴y＝tan（2x＋eq\f（π，6）），T＝eq\f（π，2）.15．证明：左边＝sinα·(－eq\f(1，2)）（cos120°－cos2α）＝eq\f（1,4）sinα＋eq\f(1,2)sinαcos2α＝eq\f(1,4）sinα＋eq\f（1，4）[sin3α＋sin(－α）]＝eq\f(1,4）sinα＋eq\f(1,4）sin3α－eq\f(1，4）sinα＝eq\f（1,4)sin3α。∴左边＝右边，原等式成立．16．B在△ABC中，∵sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，∴sinBsinC＝eq\f(1＋cosA，2），即2sinBsinC＝1－cos（B＋C）．∴cos（B－C）＝1.∴B－C＝0,即B＝C.17．2010∵a∥b，∴cosα＋sinα－2009（cosα－sinα)＝0，即eq\f（cosα＋sinα,cosα－sinα）＝2009.又eq\f（1,cos2α）＋tan2α＋1＝eq\f（1,cos2α）＋eq\f(sin2α,cos2α）＋1＝eq\f（1＋sin2α，cos2α)＋1＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＋1＝eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＋1＝2009＋1＝2010.18．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∵eq\f(－\r（2），cos60°）＝－2eq\r(2)，∴eq\f(1，cosA）＋eq\f（1，cosC）＝－2eq\r（2）.∴cosA＋cosC＝－2eq\r(2)cosAcosC。利用和差化积及积化和差公式得2coseq\f(A＋C,2）coseq\f（A－C，2）＝－eq\r(2）[cos(A＋C）＋cos(A－C)］，∴coseq\f(A－C，2)＝－eq\r(2)（－eq\f(1,2）＋2cos2eq\f（A－C,2)－1)，化简得4eq\r（2）cos2eq\f(A－C,2）＋2coseq\f(A－C,2）－3eq\r(2)＝0,又(2coseq\f(A－C,2）－eq\r(2）)（2eq\r(2）coseq\f（A－C,2)＋3）＝0，∵2eq\r(2）coseq\f（A－C，2)＋3≠0，∴coseq\f(A－C，2)＝eq\f(\r（2),2).19．解：由已知,得－eq\f（1，2)（coseq\f(π,2）－cos4α）＝eq\f(1，4），∴cos4α＝eq\f(1，2）。∵α∈（eq\f(π，4），eq\f(π,2))，∴4α∈（π,2π)．∴4α＝eq\f（5π，3）.∴2α＝eq\f（5π，6).∴2sin2α＋tanα－cotα－1＝2sin2α＋eq\f（sinα，cosα)－eq\f（cosα,sinα）－1＝1－cos2α＋eq\f(sin2α－cos2α，sinαcosα)－1＝－cos2α－eq\f(cos2α,\f(1,2)sin2α)＝－coseq\f(5π,6）－eq\f(2cos\f（5π，6）,sin\f(5π，6)）＝eq\f（\r（3）,2)＋eq\f（2×\f(\r（3),2),\f(1，2））＝eq\f(5\r（3），2).拓展探究20．解：（1）设△ABC的角A、B、C所对应的边的边长分别为a、b、c。则S△ABC＝eq\f（1,2）bcsinθ＝3。∴bc＝eq\f(6,sinθ).①由已知：0≤eq\o(AB,\s\up6(→)）·eq\o(AC，\s\up6（→））≤6，得0≤bccosθ≤6，②将①代入②得0≤eq\f（6cosθ，sinθ)≤6,即0≤cotθ≤1,又θ为△ABC的内角，∴θ∈［eq\f(π,4)，eq\f(π,2）]．(2)f(θ)＝1－cos（eq\f(π,3)＋2θ)－cos2θ＝1－2cos（2θ＋eq\f(π，6）)