数学同步训练：余弦函数、正切函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.3。2余弦函数、知识点一：余弦函数的图象和性质1．函数f（x）＝sin（eq\f(5π,2)－2x）是A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数2．要得到函数y＝cos（eq\f（x，2）－eq\f(π，4））的图象，只需将y＝sineq\f（x,2）的图象A．向左平移eq\f(π，2）B．向右平移eq\f(π,2）C．向左平移eq\f（π，4）D．向右平移eq\f（π，4）3．函数f(x）＝eq\r(3）cos（2x－eq\f(π，3))＋1的最小正周期是__________．4．函数y＝eq\r(cosx)的单调增区间是__________，单调减区间是__________．5．若函数y＝acosx＋b(a、b为常数）的最大值为1，最小值为－7,求y＝3＋absinx的最大值．知识点二：正切函数的图象及性质6．正切函数y＝tan（2x－eq\f(π,4)）的定义域是A．｛x｜x∈R且x≠eq\f（kπ，2)－eq\f（π，4），k∈Z}B．{x|x∈R且x≠eq\f（kπ,2）＋eq\f(3π,8)，k∈Z}C．{x|x∈R且x≠eq\f(kπ，2)＋eq\f(π，4），k∈Z｝D．｛x｜x∈R且x≠eq\f（kπ,2）＋eq\f（π,8)，k∈Z｝7．函数y＝2tan(3x＋eq\f(π，4)）的一个对称中心是A．(eq\f(π，2），0）B．（eq\f(π，4),0)C．（eq\f(π,6），0)D．（π，0)8．函数y＝tan（eq\f(k，4)x＋eq\f(π,3))（k>0）的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是__________．9．比较大小：tan1__________tan4（填“>”或“〈"）.10．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y＝｜sinx｜、y＝｜tanx｜的周期分别为π、eq\f(π,2)；③若x1〉x2，则sinx1>sinx2；④若f（x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－eq\f(T,2)）＝0。其中正确命题的序号是__________．能力点一：函数图象的应用11．下列图形分别是①y＝|tanx｜，②y＝tanx，③y＝tan（－x），④y＝tan|x｜在x∈（－eq\f(3π,2)，eq\f（3π,2）)内的大致图象．那么，由上到下由左到右对应的函数关系式应是A．①②③④B．①③④②C．③②④①D．①②④③12．函数y＝lncosx(－eq\f（π，2)<x〈eq\f（π,2)）的图象是13．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是A．4B．8C．2π14．已知函数f(x）＝eq\f(\r(2)sinx，\r（1＋cos2x－sin2x））.(1）求函数的定义域；(2)用定义判断f(x）的奇偶性；（3)在[－π，π］上作出f（x)的图象．能力点二:函数性质的应用15．函数y＝eq\r（sinx）＋eq\r（tanx）的定义域为A．｛x｜2kπ≤x<2kπ＋eq\f（π,2)，k∈Z｝B．｛x｜2kπ〈x≤2kπ＋eq\f（π,2)，k∈Z｝C．{x｜2kπ≤x<2kπ＋eq\f（π,2),k∈Z｝∪｛x｜x＝2kπ＋π,k∈Z}D．｛x｜2kπ≤x〈2kπ＋eq\f(π，2)且x≠2kπ＋π，k∈Z｝16．已知函数f（x）＝sin（x－eq\f（π，2）)(x∈R），下列结论错误的是A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间［0，eq\f（π,2）]上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数17．一个大风车的半径为8m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2m，则风车翼片的一个端点离地面距离h(米)与时间t(分钟）之间(h(0)＝18．若f(x）＝tan（x＋eq\f（π，4）)，试比较f(－1），f（0)，f（1），并按从小到大的顺序排列：__________.19．（2010江苏高考,10）设定义在区间（0，eq\f(π,2))上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线,垂足为P1,直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为__________．20．有两个函数f（x)＝asin（ωx＋eq\f(π，3）)，g（x)＝btan(ωx－eq\f(π,3)）(其中ω>0）．已知它们的周期之和为eq\f(3π，2)，且f（eq\f(π，2)）＝g(eq\f(π，2））,f(eq\f(π，4））＝－eq\r(3)g(eq\f(π,4）)＋1，你能确定a、b、ω的值吗？21．求下列函数的最值,并求取得最值时x取值的集合：(1)y＝eq\f（3－cosx，3＋cosx）;（2)y＝2cos(x－eq\f（π,3）)．22．已知函数y＝10lg（eq\r（3）tan2x）．(1）分别求出函数的定义域与值域；(2)判断函数是否为周期函数,若是，求出周期；(3）讨论这个函数的单调性．答案与解析基础巩固1．B2．Ay＝sineq\f（x，2）sineq\f(1，2)(x＋eq\f(π,2)）＝sin［eq\f（π，2)＋(eq\f(x,2)－eq\f（π,4))]＝y＝cos（eq\f(x，2)－eq\f（π，4）)3．π4．［2kπ－eq\f（π，2）,2kπ］，k∈Z[2kπ，2kπ＋eq\f(π，2）］，k∈Z由cosx≥0得2kπ－eq\f（π，2）≤x≤2kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z.当2kπ－eq\f(π，2)≤x≤0时,函数y为增函数，当0≤x≤2kπ＋eq\f（π,2)时，函数y为减函数．5．解：若a＞0,当cosx＝1时，ymax＝a＋b;当cosx＝－1时，ymin＝b－a，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＋b＝1，，－a＋b＝－7.）)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝4，,b＝－3。)）∴ab＝－12＜0。∴当sinx＝－1时，3－12sinx取得最大值为15。若a＜0，当cosx＝1时,ymin＝a＋b，当cosx＝－1时，ymax＝b－a.∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＋b＝－7,,－a＋b＝1。）)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－4，，b＝－3.)）∴ab＝12＞0，∴当sinx＝1时，3＋absinx取最大值为15。6．B由2x－eq\f（π，4）≠kπ＋eq\f（π，2)得x≠eq\f(kπ，2）＋eq\f（3π,8)(k∈Z）．∴定义域为｛x｜x∈R且x≠eq\f（kπ,2）＋eq\f(3π,8)，k∈Z}．7．B由3x＋eq\f(π，4）＝kπ得x＝eq\f(kπ，3)－eq\f（π,12),∴函数y的对称中心为(eq\f(kπ,3）－eq\f(π，12)，0)，k∈Z。当k＝1时，中心为（eq\f（π，4),0）．8．79．>∵tan4＝tan（4－π），y＝tanx在(－eq\f（π,2)，eq\f(π，2）)内为增函数，且1>4－π，∴tan1>tan（4－π)＝tan4.10．④对于④，因为f(x)是奇函数，所以f（－eq\f(T,2))＝－f(eq\f(T，2）)．又因为f（x）的最小正周期为T，所以f(－eq\f（T,2))＝f(T－eq\f(T，2))＝f（eq\f（T,2)）．由此可得－f（eq\f(T,2）)＝f（eq\f(T,2）)，即f(eq\f(T,2)）＝0，所以f（－eq\f(T，2))＝－f（eq\f(T，2））＝0,故④正确．观察图象知，①②③均错．能力提升11．D12.A13．D作出函数y＝2cosx,x∈[0,2π］的图象，函数y＝2cosx，x∈［0，2π］的图象与直线y＝2围成的平面图形,如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π。14．解:将f（x）的解析式化简，然后用定义求解．(1)∵f(x）＝eq\f(\r(2)sinx,\r（2cos2x））＝eq\f（sinx,|cosx|），∴函数的定义域是｛x｜x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z｝．（2）∵f(－x）＝eq\f(\r（2）sin－x,\r（1＋cos2－x－sin2－x)）＝－eq\f(\r(2)sinx,\r（1＋cos2x－sin2x)）＝－f（x），∴f(x）是奇函数．（3）f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(tanx，－\f(π,2)<x〈\f（π，2)，，－tanx，－π≤x〈－\f(π，2）或\f（π，2）〈x≤π.））f（x）的图象如图．15．C16。D17．h(t)＝－8coseq\f（π，6)t＋10首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点，建立如图直角坐标系．那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y（t）来刻画，而且h（t）＝y（t)＋2。所以，只需要考虑y（t)的解析式．又设P的初始位置在最低点即y（0)＝0，在Rt△O1PQ中,cosθ＝eq\f（8－yt，8)，y（t)＝－8cosθ＋8，而eq\f（2π，12）＝eq\f（θ，t)，所以θ＝eq\f(π，6)t，y(t）＝－8coseq\f(π,6)t＋8,h（t）＝－8coseq\f（π,6）t＋10。18．f(1）<f(－1）<f(0）函数f（x）＝tan(x＋eq\f（π，4））在(－eq\f(3π，4)，eq\f(π，4))上递增，且T＝π，则有f(1)＝f（1－π）．∵－eq\f（3π,4）〈1－π<－1<0<eq\f（π,4)，∴f（1－π)<f(－1)〈f(0)，即f（1）〈f（－1)<f(0)．19。eq\f(2，3）如图，由题意得：6cosx＝5tanx，即6cosx＝eq\f（5sinx,cosx）,6cos2x＝5sinx，6(1－sin2x)＝5sinx，6sin2x＋5sinx－6＝0,得sinx＝eq\f(2,3），或sinx＝－eq\f（3，2)（舍去)．结合图象得：sinx＝P1P2＝eq\f(2,3）。20．解：∵f（x)的周期为eq\f(2π，ω)，g(x）的周期为eq\f（π，ω）,∴eq\f（2π，ω)＋eq\f（π，ω）＝eq\f（3π,2）,得ω＝2.∴函数解析式为f（x)＝asin(2x＋eq\f（π,3)），g(x）＝btan（2x－eq\f（π,3))．由已知，得方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（asinπ＋\f(π,3）＝btanπ－\f（π，3）,,asin2×\f(π，4)＋\f(π,3)＝－\r（3）btan2×\f(π，4)－，\f(π，3)＋1，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3)，2）a＝－\r（3）b，，\f(a，2）＝－b＋1,）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝\f（1,2），))∴a＝1,b＝eq\f（1,2)，ω＝2.21．解：（1)∵y＝eq\f(3－cosx,3＋cosx）＝－1＋eq\f(6,3＋cosx)，∴当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π（k∈Z)时，ymax＝2；当cosx＝1,即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝eq\f（1,2）。∴y取得最大值2时，x取值的集合是｛x｜x＝2kπ＋π，k∈Z};y取得最小值eq\f（1，2）时，x取值的集合是｛x|x＝2kπ，k∈Z}．(2）令x－eq\f(π，3)＝z,则y＝2cosz,当z＝2kπ（k∈Z),即x＝2kπ＋eq\f（π，3)（k∈Z）时，ymax＝2；当z＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝2kπ＋eq\f(4π,3)（k∈Z)时,ymin＝－2。∴y取得最大值2时，x取值的集合是｛x｜x＝2kπ＋eq\f（π,3)，k∈Z｝；y取得最小