数学同步优化训练：6三角函数模型的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.6三角函数模型的简单应用5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.函数y=sin|x｜的图象()A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于y轴对称D。不具有对称性解析:∵sin｜—x｜=sin｜x｜，∴y=sin｜x|为偶函数,故y=sin｜x｜的图象关于y轴对称.答案:C2.初速度为v0，发射角为θ,则炮弹水平移动的距离s与v0之间的关系式(t是飞行时间)为（)A。s=|v0t｜B.s=｜v0｜·sinθ·tC.s=｜v0|·sinθ·t|g｜·t2D。s=｜v0|·cosθ·t解析：由速度的分解可知炮弹水平移动的速度为v0·cosθ，如图,故炮弹水平移动的距离为｜v0｜·cosθ·t。答案:D3。在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为(）A.米B。米C。米D。米解析：如图，设塔高为h米，则200tan30°=(200—h）tan60°,∴h=米。答案：A10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1。图1—图1解析:由物理知识可知,当斜面倾斜角θ比较小时，物体处于静止状态，加速度为0。故排除选项A、B。根据受力分析,受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ.∴a=g(sinθ-μcosθ）=sin（θ—φ）（其中tanφ=μ）.故选D项。答案：D2.如图1-6—图1-6-2A.70cmB.86cmC。102cmD.118cm解析：1°=.在Rt△ACD中，AC=.在Rt△ABC中,AC=.∴=。∴BC==3××≈86.答案：B3。图1-6-图1-6解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，则A=2,由图象可知T=2×（0。5-0.1)=，∴ω==，∴×0。1+φ=.∴φ=。∴函数的解析式为y=2sin(x+)。答案：y=2sin（x+)4.甲、乙两楼相距60米,从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________________________。解析:如图，甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE中,DE=CE·tan30°=60×。∴乙楼的高度为BD=BE—DE=米。答案：5。一树干被台风折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米,树干原来的高度为_______。解析:如图，BC=20tan30°=，AB=，所以树干原来的高度为AB+BC=（米）。答案：米6.如图1—6-图1解:设黄浦江的宽为b米，则b·tanα=h—a,b·tanβ=h+a。消去b得h=·a=·a。当α=75.5°，β=75。6°，a=1.77米时，h=490。1米。30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.一剪刀剪出一条正弦曲线.把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断,再把卷着的纸展开，你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线。你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！请你来证明这一事实.证明：如图（1)，设纸筒底面半径为1单位长，截面（椭圆面）与底面所成的二面角为θ(定值）,截口的中心为O′。(1)过O′作圆柱的直截面,交截口曲线于两点.取其中一点为O，在过点O且与圆柱侧面相切的平面内,以点O为坐标原点建立直角坐标系，使得Oy轴是圆柱的一条母线.设点P是截口曲线上任意一点,点Q是点P在⊙O′所在平面内的射影，过Q作QH⊥O′O，垂足为H，连结PH，则∠PHQ是截面与底面所成二面角的平面角，所以∠PHQ=θ。又设∠QO′O=α（变量).在图(2）中，设P点坐标为(x,y），以下分别计算P点的横坐标和纵坐标.（2）x=OQ′==α，y=Q′P=QP=QH·tanθ，而在Rt△QHQ′中，QH=sinα，所以y=tanθ·sinα.令A=tanθ(定值），则有y=Asinα.这就证明了截口曲线是一条正弦曲线.2。水车问题.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图1-6—5是一个水车的示意图，它的直径为首先，设法用解析式表示出这个函数关系,并用“五点法"作出这个函数在一个周期内的简图。图1其次，我们讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？解：不妨设水面的高度为0，当P点旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.如图，设水车的半径为R，R=1。5m,水车中心到水面的距离为b,b=1。2m；∠QOP为α；水车旋转一圈所需的时间为T；单位时间（s）旋转的角度(rad）为。过P点向水面作垂线，交水面于M点，PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线，交PM于N点，∠QON为φ。从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α—φ）+b.①用ω表示单位时间(s）内水车转动的角度（rad）,这样，在t时刻水车转动的角度为：α=ωt.因为单位时间内水车转动的角度是ω,所以转一圈所用的时间T=。又由于水车轮每4min转3圈，水车旋转一圈所需时间为T=80s，可求出ω=rad/s.从图中可以看出：sinφ=，所以φ≈53。1°≈0。295πrad.把这些参数代入①,我们就可以得到h=1。5sin（t-0.295π)+1.2（m)，②这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数关系式.因为当P点旋转到53.1°时,P点到水面的距离恰好是1.2（m),此时t=≈11。8(s）。故可列表、描点，画出函数在区间［11.8，918.］上的简图：t11。831。851。871.891.8h=1。5sin(t—0。295π)+1。2（m)1.22。71.2—0.31.2如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心O与水面之间的距离发生改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时,参数b减小；水面回落时，参数b增大。如果水车轮转速加快,将使周期T减小；转速减慢,则使周期T增大.3.三角函数的叠加问题.在交流电、简谐振动及各种“波”等问题的研究中，三角函数发挥了重要的作用。在这些实际问题中，经常会涉及“波”的叠加，在数学上常常可以归结为三角函数的叠加问题.设y1=3sin(2t+)，y2=4sin2t表示两个不同的正弦“波”,试求它们叠加后的振幅、周期。解：它们叠加后的函数是：y=y1+y2=3sin(2t+）+4sin2t=3cos2t+4sin2t=（cos2t+sin2t)=5sin(2t+φ)(其中tanφ=）。所以,叠加后的函数的振幅为5，周期仍为π，即叠加后的“波”的振幅为5，周期仍为π.4。电流I随时间t变化的关系式是I=Asinωt,t∈[0，+∞).设ω=10πrad/s，A=5.（1)求电流I变化的周期；(2)当t=0，，(单位s)时，求电流I。解：（1）周期为==。(2)把t、A值分别代入，求出I值。当t=0时，I=0;当t=时，I=5sin；当t=时，I=5sin；当t=时，I=5sin;当t=时，I=5sin.5.弹簧振子的振动是简谐运动，下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t与位移s之间的对应数据,根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式。t0t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0s-20。0-17。8-10.10.110。317。720.017.710.30.1—10.1—17.8-20.0解:根据已知数据作出散点图：由散点图的形状可知：弹簧振子的位移与时间的关系可用s=Asin(ωt+φ）来刻画.由图知A=20。=6t0.∴T=12t0.∴ω=.于是s=20sin（+φ).又图象过（6t0,20)点，∴+φ=.∴φ=—.∴s=20sin(—）.t∈［0,+∞）。6.某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化。(1）画出种群数量关于时间变化的图象；(2)求出种群数量关于时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位).解：（1)种群数量关于时间变化的图象如图所示：（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+k，由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A==100,即ω==，k=800.又7月1日种群数量达到最高,∴×6+φ=.∴φ=-.∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin(t—3）+800。快乐时光聪明的乡下人一个城里人与一个乡下人同坐火车．城里人说