数学同步优化训练：弧度制

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1.2弧度制5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（）A。所对的弧长相等B.所对的弦长相等C.所对弧长等于各自的半径D。所对的弧长为解析：由弧度制的定义,半径为R的圆上,其1弧度的圆心角所对的弧长等于半径R。答案：C2。在半径为2cm的圆中，有一条弧长为cm,它所对的圆心角为（)A。B.C.D.解析:设圆心角为θ，则θ=.答案:A3。求图1—1-2中公路弯道处弧图1-1-2解析：∵60°=，l=αr，∴l=×45≈47(m)。4。将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式。（1）；（2）—.解：(1)=+6π=+3·2π；（2）-=—8π=+（-4)·2π。10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1。α=—2rad，则α的终边在（)A.第一象限B。第二象限C.第三象限D。第四象限解析：-2∈（—,-π），所以—2rad属于第三象限角.答案：C2.下列各角中与终边相同的角为（)A.435°B。465°C.225°D.-435°解析：=7×=7×15°=105°。435°=360°+75°；465°=360°+105°；225°=360°-135°;-435°=—360°+(—75°)。答案:B3.如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20cmA.40πcm2B.80πcm2C。40cm2解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可求出结果.72°=，S=｜α｜r2=××202=80π（cm2）。答案：B4.已知下列各个角：α1=，α2=，α3=9，α4=—855°。(1)其中是第三象限角的是_______________________；(2）将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？解：（1)α1==—2π+，它是第一象限角;α2===84π+，它是第三象限角;α3=9=（9-2π）+2π，它是第二象限角;α4=-855°=-3×360°+225°，它也是第三象限角.（1)α2和α4（2）α1==×180°≈-282.86°;α2==×180°=15330°；α3=9=9×≈516.66°;α4=—855°=-855×=.5.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度.解析：设圆的半径为r，则圆内接正三角形的边长为r,即弧长为r，所以所求圆心角的弧度数为｜α|=.6。在直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒５弧度的角速度旋转，求经过５秒钟后，点P转过的弧长.解析:P到圆心O的距离PO==4（cm）,即为点P所在新圆的半径.又点P转过的角的弧度数为α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）。7。用弧度制表示下列终边落在阴影内部分的角的集合(图1—图1解：（1）按逆时针方向，在区间［—π，0]上与终边相同的角是-，故所求集合为S={α｜—+2kπ＜α＜+2kπ,k∈Z};(2）S=｛α|+kπ＜α＜+kπ,k∈Z}；（3）S={α｜2kπ＜α＜+2kπ或+2kπ＜α＜（2k+1）π，k∈Z}。30分钟训练（巩固类训练,可用于课后)1。角化为α+2kπ（k∈Z，0＜α＜2π）的形式是(）A。5π+B.4π+C。6π—D。3π+解析:=+2×2π=4π+.答案：B2.已知α=9rad，β=10rad，下面关于α和β的说法中正确的是()A。都是第一象限角B。都是第二象限角C.分别是第二象限和第三象限角D。分别是第三象限和第四象限角解析：由1rad≈57°18′,故57°＜1rad＜58°.所以513°＜9rad＜522°，即360°+153°＜9rad＜360°+162°。因此9rad是第二象限角。同理，570°＜10rad＜580°，360°+210°＜10rad＜360°+220°。因此10rad是第三象限角。答案：C3。下列各式不正确的是(）A。终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}B.终边在y轴上角的集合是｛α｜α=+kπ，k∈Z｝C.终边在坐标轴上角的集合是｛α｜α=k·，k∈Z}D。终边在直线y=x上角的集合是｛α｜α=+2kπ，k∈Z}解析：终边在直线y=x上的角包括终边在第一象限和第三象限两部分，所以正确表示为｛α|α=+kπ,k∈Z}.答案:D4.在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为,则弦AB所对圆心角α是（)A。α=B.α＜C。α=D。α=120解析：sin=，所以=，α=。答案：C5。若θ角的终边与的终边相同，在[0，2π］内哪些角的终边与角的终边相同?解:∵θ=+2kπ,k∈Z，∴=+,k∈Z.在[0，2π］内与终边相同的角有3个：，,。6。已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6,求此扇形面积和它所含弓形面积.解：设扇形面积为S扇,所含弓形面积为S弓，半径为R，圆心角为α,弧长为l。因为120°=，所以有l=αR=·6=4π。则S扇=lR=·4π·6=12π。所含三角形面积为×6·sin60°·6·cos60°·2=。所以S弓=12π-.7.已知两角的和为1弧度，且两角的差为1°,试求这两个角各是多少弧度？解：设两个角的弧度数分别为x、y,因为1°=rad，依题意得解之,得即所求角的弧度数分别为+、—。8.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时,扇形的面积最大?并求出扇形面积的最大值。解：∵l+2R=30，∴S=lR=（30-2R)R=-R2+15R=-（R-）2+.∴当R=时,扇形有最大面积。此时，l=30—2R=15，α==2。答：当扇形半径为，圆心角为2时,扇形有最大面积.9.如图1-图1解：因为0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π。又因为2θ在第三象限,所以π＜2θ＜。由14θ=2kπ（k∈Z)，可得2θ=(k∈Z），所以π＜＜，即＜k＜.所以k=4或5，即θ=或θ=。答：θ角的弧度数是或.快乐时光同理可证爸爸：“小明，考你