2025届高三数学一轮总复习 第六章 第四讲 直线、平面平行的判定与性质配套课件

第四讲直线、平面平行的判定与性质2025年高考一轮总复习第六章

立体几何表示方法文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

⇒l∥α1.直线与平面平行的判定定理和性质定理表示方法文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⇒a∥b(续表)表示方法文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⇒α∥β2.平面与平面平行的判定定理和性质定理表示方法文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⇒a∥b(续表)【名师点睛】平行关系中的重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)垂直于同一平面的两个平面不一定平行，平行于同一直线的两个平面不一定平行.

考点一与线、面平行相关命题的判定1.(多选题)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若m∥α，m∥β，则α∥βB.若m∥α，n∥α，则m∥nC.若m⊥α，n⊥α，则m∥nD.若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交

解析：若α∩β＝n，m∥n，且m

α，m

β，则m∥α，m∥β，故A错误.若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线、相交直线或平行直线，故B错误.若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，故C正确.若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，D正确.故选CD.答案：CD2.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，下列直线或平面与平面ACD1

平行的是(

) A.直线A1B

C.平面A1DC1B.直线BB1

D.平面A1BC1解析：如图D43所示，由A1B∥D1C，且A1B

平面ACD1，D1C⊂平面ACD1，图D43故直线A1B与平面ACD1

平行，故A正确.BB1∥DD1，DD1与平面ACD1相交，故直线BB1

与平面ACD1相交，故B错误.平面A1DC1

与平面ACD1

相交，故C错误.由A1B∥D1C，AC∥A1C1，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C＝C，故平面A1BC1

与平面ACD1

平行，故D正确.故选AD.答案：AD【题后反思】

(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项进行确定或排除，再逐步判断其余选项.(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；

②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.考点二直线与平面平行的判定与性质[例1]如图6-4-1所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；

(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.图6-4-1(1)证明：如图

6-4-2，记AC与BD的交点为O，连接OE.图6-4-2因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM

平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解：l∥m，证明如下.由(1)知AM∥平面BDE，又因为AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM.同理，AM∥平面BDE，又因为AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.【题后反思】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点.

(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段等，出现平行线或过已知直线作一平面找其交线.

(3)面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a

α，a

β，a∥α⇒a∥β.【变式训练】

1.如图6-4-3，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，点G为线段DM上不与D，M重合的一点，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.图6-4-3证明：如图D44，平面PAG交BD于点H，连接AC交BD于点O，连接MO，图D44因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点.又M是PC的中点，所以AP∥OM.又知OM⊂平面BMD，AP

平面BMD.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA⊂平面PAHG.根据直线和平面平行的性质定理，所以PA∥GH.因为GH

平面PAD，PA⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.

2.如图6-4-4，四边形ABCD是矩形，P

平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.图6-4-4证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，BC

平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形.考点三平面与平面平行的判定与性质[例2]如图6-4-5所示，在三棱柱ABC-A1B1C1

中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1

的中点，求证：(1)GH∥平面ABC；(2)平面EFA1∥平面BCHG.图6-4-5证明：(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1

中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC.∵GH

平面ABC，BC⊂平面ABC，∴GH∥平面ABC.(2)∵在三棱柱ABC-A1B1C1

中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1

的中点，∴EF∥BC，A1G

BE，∴四边形BGA1E是平行四边形，∴A1E∥BG.∵A1E

平面BCHG，BG⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.同理EF∥平面BCHG.又A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【题后反思】证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.

【变式训练】

1.如图6-4-6所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点.(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；图6-4-6(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存(1)证明：∵底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ∥AB，MQ∥PC.∵AB∥CD，∴NQ∥CD.∵MQ

平面PCD，PC⊂平面PCD，∴MQ∥平面PCD.同理NQ∥平面PCD.又MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PCD.取PD中点E，连接NE，CE，AE，如图D45所示.图D45∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，且BC

AD，∴NE

MC.∴四边形MCEN是平行四边形.∴MN∥CE.∵MN

平面ACE，CE⊂平面ACE，∴MN∥平面ACE，且

2.如图6-4-7，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M是AD的中点.过点M且平行于平面PCD的平面交棱PB于图6-4-7解：设过点M且平行于平面PCD的平面交棱BC于点N，连接MN，NE，ME，如图D46所示.图D46

因为平面MNE∥平面PCD，平面MNE∩平面ABCD＝MN，平面PCD∩平面ABCD＝CD，所以MN∥CD.同理可证EN∥CP.因为M是AD的中点，AB∥CD，所以N是BC的中点.所以E是BP的中点.⊙平行关系的综合应用三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意他们之间的灵活转化.[例3]如图6-4-8所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形.图6-4-8(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF

平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.又∵AB

平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.【题后反思】

利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.【高分训练】

如图6-4-9所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；

(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.图6-4-9

(1)证明：①当

AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，知AC∥BD.∵AE∶EB＝