专题03分式及其运算（4大考点）

第一部分数与式专题03分式及其运算核心考点核心考点一分式的概念核心考点二分式的基本性质核心考点三分式的运算核心考点四分式的化简求值新题速递核心考点一分式的概念例1（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．例2（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．【答案】且【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．例3（2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：，从3，1，2中选择合适的a的值代入求值．【答案】；【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．【详解】解：∵且，∴且，∴，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．知识点：分式的概念注意1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母注意1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区别分式和整式的重要依据。3.在任何情况下，分式的分母的值都不为0，否则分式无意义。分式有意义的条件:分母不为零，即分式值为零：分子为零，且分母不为零。即（且）【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M=，下列说法正确的是（

）A．当x=1时，M的值为0 B．当x=﹣1时，M的值为﹣C．当M=1时，x的值为0 D．当M=﹣1时，x的值为0【答案】D【分析】先通分、因式分解，然后计算乘法运算，可得化简结果，由分式有意义的条件可知，，进而可判断A、B的正误；分别令，，求解此时的的值，进而可判断C、D的正误．【详解】解：∵，故A、B错误，不符合题意；当时，则，解得故C错误，不符合题意；当时，则，解得故D正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．解题的关键在于正确的化简计算．【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若（m为正整数），且、互为相反数，、互为倒数，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据分母不为的原则可知为奇数，即可求得、、的值，分别代入即可求得其值．【详解】解：根据分母不为的原则可知为奇数，，、互为相反数，、互为倒数，，，，故选：C．【点睛】本题考查了分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的定义，有理数的乘方运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的关系是解决本题的关键．【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式分解因式，结果正确的是___________；若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式可化为，则的值是___________．【答案】

无解

5【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可；（2）根据使分式的值为0的条件进行解答即可；（3）根据求出a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：（1）（2）∵，∴的值不可能等于0，∴没有x的值能使分式的值为零；（3）∵，又∵代数式可化为，∴，∴，解得：，∴．故答案为：（1）；（2）无解；（3）5．【点睛】本题主要考查了因式分解，分式值为零的条件，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，使分式的值为零的条件，是解题的关键．【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式分解因式，结果正确的是___________；若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式可化为，则的值是___________．【答案】

无解

5【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可；（2）根据使分式的值为0的条件进行解答即可；（3）根据求出a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：（1）（2）∵，∴的值不可能等于0，∴没有x的值能使分式的值为零；（3）∵，又∵代数式可化为，∴，∴，解得：，∴．故答案为：（1）；（2）无解；（3）5．【点睛】本题主要考查了因式分解，分式值为零的条件，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，使分式的值为零的条件，是解题的关键．【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数，，其中的图象与轴交点的横坐标为2且经过点，．(1)求函数的关系式；(2)当的图象经过两点和时，求的值；(3)当时，对于的每一个值，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据一次函数图象上点的坐标特点得到，由此代入所求式子求解即可；（3）先求出时，，然后分别讨论的符号，结合当时，对于的每一个值，都有进行求解即可．(1)解：设一次函数的解析式为，∵的图象与轴交点的横坐标为2，即的图象经过点（2，0），∴，∴，∴函数的解析式为；(2)解：∵的图象经过两点和，∴，∴，∴；(3)解：∵，∴，∴，当时，即不符合题意，当时，即，∵对于时，对于的每一个值，都有，∴，∴；当时，即，∵对于时，对于的每一个值，都有，∴此时不存在m满足条件，综上所述，当时，当时，对于的每一个值，都有．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的应用，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．核心考点二分式的基本性质例1（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵a≠b，∴，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．例2（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．【答案】

x=4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【详解】解：∵，∴分式与的最简公分母是，方程，去分母得：，去括号得：，移项合并得：，变形得：，解得：x=2或4，∵当x=2时，=0，当x=4时，≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．例3（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．【答案】【分析】首先将原式第三项约分，再把前两项括号展开，最后合并同类项即可得到结果．【详解】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）==．【点睛】此题主要考查了乘法公式和分式的约分，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．知识点：分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。,（），其中A、B、C是整式。利用分式的基本性质可以进行约分、通分。根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的约去，叫做分式的约分，约分通常是把分式化成最简分式或整式。利用分式的基本性质，把异分母分式化成分式，叫做分式的通分。符号法则：改变分子、分母及整个分式三者中任意两个的符号，分式的值不变，即【变式1】（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案．【详解】解：因为，所以，，A．，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项不符合题意；D．，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．【变式2】（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（

）A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍【答案】B【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．【详解】A.a扩大2倍，b扩大3倍,，故该选项不正确，不符合题意；

B.a，b同时扩大3倍，，故该选项正确，符合题意；C.a扩大2倍，b缩小3倍，，故该选项不正确，不符合题意；D.a缩小2倍，b缩小3倍，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．【变式3】（2022·湖北襄阳·一模）已知，则分式的值为______．【答案】【分析】先根据题意得出xy=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．【详解】∵，∴xy=4xy，∴原式=，故答案为：．【点睛】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．【变式4】（2021·湖南·一模）已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则＝1；②若a＝3，则b＋c＝9；③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)【答案】①③④【详解】试题分析：在a+b=ab的两边同时除以ab（ab=c≠0）即可得，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c，可得b=，c=，所以b+c=6，故②错误；把a=b=c代入得，所以可得c=0，故③正确；当a=b时，由a+b=ab可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；当a=c时，由c=a+b可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a、b、c中只有两个数相等相矛盾，故a=c这种情况不存在；当b=c时，情况同a=c，故b=c这种情况也不存在，所以④正确．所以本题正确的是①③④．考点：分式的基本性质；分类讨论．【变式5】（2020·浙江杭州·模拟预测）（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________．（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数_______．（3）若分式的值是整数，求整数x的值．（4）已知，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）0，2，6，4；（4）【分析】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以1即可；（2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10即可；（3）将分式变形得，要使结果是整数，x1=±1，或x1=±5，进而求出x的整数值即可；（4）倒数法，先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可．【详解】解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以1得，；（2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得，；（3）===，要使分式的值为整数，∴x1=±1，或x1=±5，解得，x1=0，x2=2，x3=6，x4=4，答：整数x的值为0，2，6，4．（4）∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提．核心考点三分式的运算例1（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（

）A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】D【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（mn），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：原式•＝2（mn），当mn＝2时，原式＝2×2＝4．故选：D．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．例2（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．【答案】15【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a22a=15，整体代入即可．【详解】解：==a(a2)=a22a，∵a22a15=0,∴a22a=15，∴原式=15．故答案为：15．【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．例3（2022·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的数求值．【答案】，3【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a的值并代入原式即可求出答案．【详解】解：，，解不等式①得：解不等式②得：，∴，∵a为整数，∴a取0，1，2，∵，∴a=1，当a=1时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．知识点：分式的运算1、分式的运算法则分式乘法分子的积作积的，用分母的积作积的分母分式除法将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式分式乘方分子、分母分别同分母分式加减分母不变,分子异分母分式加减先，变为同分母的分式后再相加减。分式的混合运算：分式的混合运算，有多项式的，一般先因式分解，能约分的进行约分；有括号的先算括号，有乘方的先算乘方；先乘除后加减。异分母相加减，先通分，化为同分母，再加减。分式化简中的误区1.注意分式混合运算顺序分式化简中的误区1.注意分式混合运算顺序2.分式化简不同于解分式方程,化简过程中不能去分母.3.分数线有除号和括号两重作用,同分母分式相加减(分子是多项式),分子应整体加括号.4.分式运算中含有整式，应视其分母为1的式子，然后按分式四则运算法则计算。【变式1】（2022·云南·开远市教育科学研究所二模）化简的正确结果是（

）A．m－n B．m+n C． D．【答案】A【分析】先将括号里的异分母分式相加减化为同分母分式相加减，再算分式的乘除即可．【详解】原式，故选：A．【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2】（2022·河北保定·一模）已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】设被污染的部分为p，然后根据等式的性质解关于p的方程，求出p的表达式即可．【详解】解：设被污染的部分为p，则，∴，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则．【变式3】（2022·贵州遵义·模拟预测）已知a为范围的整数，则的值是______．【答案】1【分析】根据分式的混合运算法则先将所求分式化简，再根据分式有意义的条件，确定a的值，最后代入求值即可．【详解】解：，根据题意有：，，，即，，，∵，且为整数，∴，将代入，有原式，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．【变式4】（2022·山东·临清市教育和体育局教科研中心一模）已知，则______．【答案】6【分析】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，求得A与B的值，即可得到答案．【详解】，∴，∴，即．∴，解得：∴的值为4，的值为．∴故答案为6．【点睛】本题考查了分式、整式加减运算、二元一次方程组的知识；熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质是解答本题的关键．【变式5】（2022·浙江舟山·二模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁(2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，2”中选择一个合适的数求值．【答案】(1)D(2)，【分析】（1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．（2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可．【详解】（1）出现错误是在乙和丁，故选：D．（2），根据分式有意义的条件可得且，即只能从和中选择一个，代入，得出结果为．【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．核心考点四分式的化简求值例1（2020·湖北孝感·中考真题）已知，，那么代数式的值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将x、y的值代入计算即可．【详解】解：==x+y=+=2．故答案为D．【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键．例2（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．（1）若a，b是整数，则的长是___________；（2）若代数式的值为零，则的值是___________．【答案】

【分析】（1）根据图象表示出PQ即可；（2）根据分解因式可得，继而求得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解．【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，，故答案为：；（2），，或，即（负舍）或这四个矩形的面积都是5，，，，．【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．例3（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；____________________________________________________________________________．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．【答案】（1）④tan30°=；⑤(2)2=，⑥(2)0=1；28；（2），．【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x22x3=0得到x1=3，x2=1，则利用分式有意义的条件把x=1代入计算即可．【详解】（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(2)2=，⑥(2)0=1，正确的计算过程：解：=28；（2）=，∵x22x3=0，∴（x3）（x+1）=0，x3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=1，∵x=3分式没有意义，∴x的值为1，当x=1时，原式==．【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．知识点：分式化简求值的一般步骤(1)按运算顺序对所给分式进行化简，化为最简分式或整式；(2)代入求值(代入求值时要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义)。【变式1】（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）若，则代数式的值为（

）A． B． C．2 D．－2【答案】D【分析】根据a+b=2，可以求得题目中所求式子的值，本题得以解决．【详解】解：∵a+b=2，∴=（a+b）=2，故选：D．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【变式2】（2022·山东·昌乐县教学研究室一模）如果，那么代数式的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先通分，然后进行除法运算得化简结果，由，可得，代入求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴原式，故选：D．【点睛】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式混合运算的运算顺序及相关运算法则是解题的关键．【变式3】（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．【答案】#0.5【分析】把已知代入分式，根据分式运算法则进行化简求值即可得解．【详解】解：∵，∴＝＝＝＝＝故答案为：．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式4】（2022·湖北黄冈·模拟预测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为，，，，…，那么的值是______．【答案】##【分析】首先根据题意得出an的关系式，然后用“裂项法”将裂成2(−)，即可求出结果．【详解】解：由题意得a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查规律型：数字的变化规律．找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键．【变式5】．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：先化简（1），再将x＝5代入求值．解：原式1……第1步第2步第3步第4步第5步第6步当x＝5时，原式第7步(1)以上步骤中，第步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是；(2)请你把正确的解答过程写出来；(3)请你提出一条解答这类题目的建议．【答案】(1)一、没按照正确的运算顺序计算(2)，当x＝5时，原式(3)要正确应用运算律【分析】（1）根据分式混合运算法则分析解答；（2）根据分式混合运算法则计算即可；（3）根据错误的原因提出建议即可．【详解】（1）解：第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算，故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算；（2）原式[1]（）•，当x＝5时，原式；（3）解题反思（不唯一）：要正确应用运算律．【点睛】此题考查了分式的混合运算，正确掌握分式混合运算法则及运算顺序是解题的关键．【新题速递】1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【详解】解：====故选：A【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则．2．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如果，且，那么代数式的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．【详解】解：原式，，，原式，故选：B．【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．3．（2022·北京昌平·二模）若，则代数式的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】先将代数式进行化简，再将代入化简之后的式子求解即可．【详解】解：将代入上式可得：原式，故选：C．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是根据分式运算法则先将式子正确化简，再将代入计算．4．（2022·广东深圳·二模）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先因式分解，再把除法转化为乘法计算即可．【详解】解：==，故选：D．【点睛】本题考查了分式的乘除计算，解题的关键是除法转化为乘法．5．（2022·河北·育华中学三模）要比较与中的大小（x是正数），知道的正负就可以判断，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将进行化简得到，利用x是正数，可得出，即可判断A和B的大小，进而可得答案．【详解】解：由题意可知：∵，∴，，∴，即，故选：C．【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简．6．（2021·云南普洱·一模）若x＜0，，则的值为（

）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】A【分析】结合题意，根据完全平方公式的性质计算，得x2的值；再结合完全平方公式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵x，∴（x）2=5，∴x2﹣2=5，∴x2=7，∴x2+2=9，∴（x）2=9，∴x=±3，∵x＜0，∴∴x<0，∴x=3，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式的性质，从而完成求解．7．（2022·山东济南·一模）若，则，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】等式左边通分并利用同分母分式的减法法则化简，然后根据系数相等求出m和n．【详解】解：∵，∴∴3M2N=5，2M+N=8，解得：M=3，N=2，故选：C．【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．8．（2021·河南周口·二模）已知函数，其中表示时的函数值，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．4040 D．4041【答案】D【分析】根据题意可得：，利用这种规律即可求解．【详解】解：有题意可得：，故选：D．【点睛】本题考查函数值求和问题，解题的关键是：通过题意找到多项函数值中两项之和为常数，然后两两分为一组求和．9．（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.【答案】【分析】根据可得到，将代入求解即可得到答案．【详解】解：，，将代入得，故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值，根据条件用一个未知数表示另一个未知数代入求值是解决问题的关键．10．（2022·湖北黄石·模拟预测）关于x的方程的解是负数，则m的取值范围是______．【答案】且【分析】由分式方程有意义可知，由方程的解是负数可知，表示出方程的解代入其满足的条件即可确定m的取值范围.【详解】解：方程两边同乘以得，解得，由分式方程有意义可知，即，可得，即，由方程的解是负数可知，可得，即，所以m的取值范围是且．故答案为：且．【点睛】本题考查了分式方程，已知解的情况求参数，灵活的表示出分式方程的解是解题的关键，解题过程中不要忽视分母不等于0这一条件．11．（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且，则______．【答案】【分析】利用a与b互为相反数，，求解再整体代入求值即可．【详解】解：a与b互为相反数，当则当则故答案为：【点睛】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，绝对值方程的解法，分式的化简求值，熟练的求解是解本题的关键．12．（2022·北京密云·二模）已知，则代数式的值为______．【答案】【分析】先计算除法，再计算加法即可化简，然后把变形为a2+2a=2，代入化简式计算即可．【详解】解：=====，∵∴a2+2a=2，∴原式=．【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．13．（2022·湖北·广水市教学研究室二模）对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是______．【答案】．【分析】根据条件中的运算规律，可得到，从而有，然后将原式利用加法交换律和结合律进行变形，将f(x)与的项结合在一起，从而可得出结果．【详解】解：∵，∵，∴，∴．∴==1×2019+=．故答案为：．【点睛】本题属于规律探究题，运用归纳得出的结论将所求式子进行变形，再求值是解题的关键．14．（2022·重庆市育才中学二模）临近端午，某粽子销售商向市场推出白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子套餐．推出市场的第一周，白粽套餐的销量等于蛋黄粽套餐的销量，豆沙粽套餐的销量占白粽套餐销量的，三种粽子套餐的销量之和不少于380份，不多于475份．每份蛋黄粽套餐的成本是每份白粽套餐与每份豆沙粽套餐的成本之和，粽子销售商准备这三种套餐成本一共6132元，且准备的套餐全部售出三种粽子套餐在第一周推出后，广受大众欢迎，在第一周销量的基础上第二周三种粽子套餐销量都有所增加，其中豆沙粽套餐增加的销量占总增加销量的，豆沙粽套餐的总销量达到三种粽子套餐总量的，此时白粽与豆沙粽总销量之比为5：2，已知第二周每份白粽套餐的成本不变，白粽套餐每份售价为10元，而每份豆沙粽套餐的成本下降了3元，每份蛋黄粽套餐的成本是第一周的倍，且准备的套餐全部卖完，最后三种粽子套餐的总利润率为20%．则第二周销售时豆沙粽套餐销售额与蛋黄粽套餐的销售额之和为_________元．（三种粽子套餐的成本和售价均为正整数，售价大于成本）【答案】5796【分析】设白粽套餐的销量和蛋黄粽套餐的销量都为x份，则有豆沙粽套餐的销量为，每份白粽套餐的成本为a元，每份豆沙粽套餐的成本为b元，则每份蛋黄粽套餐的成本为（a+b）元，由题意易得，，则有，然后可得，进而可求x的值，设三种粽子的总增加销量为y份，三种粽子的套餐总量为z份，则有豆沙粽套餐增加的销量为，则白粽与蛋黄粽套餐增加的销量为，豆沙粽套餐的总销售量为，然后可求z的值，最后问题可求解．【详解】解：设白粽套餐的销量和蛋黄粽套餐的销量都为x份，则有豆沙粽套餐的销量为，每份白粽套餐的成本为a元，每份豆沙粽套餐的成本为b元，则每份蛋黄粽套餐的成本为（a+b）元，由题意可得：，解得：，，∴，∴，解得：，∵三种粽子套餐的成本和售价都为正整数，∴，∵，∴，∴，，∴是5的倍数，∴当时，；当时，；当时，；∵每份蛋黄粽套餐的成本是第一周的倍，∴当，时，则蛋黄粽套餐的成本为22元，符合是11的倍数，∴第一周白粽套餐的销售量为189份，成本为9元；豆沙粽套餐的销售量为21份，成本为13元；蛋黄粽套餐的销售量为189份，成本为22元；而第二周白粽的成本为9元，豆沙粽的成本为133=10元，蛋黄粽的成本为元，设三种粽子的总增加销量为y份，三种粽子的套餐总量为z份，则有：豆沙粽套餐增加的销量为，则白粽与蛋黄粽套餐增加的销量为，豆沙粽套餐的总销售量为，∴白粽套餐的总销量为，蛋黄粽套餐的总销售量为，∴，解得：，∴第二周白粽套餐的销售量为份，豆沙粽套餐的销售量为份，蛋黄粽套餐的销售量为份，设第二周豆沙粽套餐每份的售价为m元，蛋黄粽套餐每份的售价为n元，则有：，整理得：，∴第二周销售时豆沙粽套餐销售额与蛋黄粽套餐的销售额之和为5796元；故答案为：5796．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用、“不定方程”、分式及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系及“不定方程”的用法．15．（2022·福建省泉州实验中学三模）先化简后求值，其中．【答案】，【分析】先根据异分母分式加法法则化简，再把代入化简式计算即可．【详解】解：原式，，原式．【点睛】本题考查化式化简求值，二次根式的运算，熟练掌握分式加法法则和二次根式运算法则是解题的关键．16．（2022·山东·济南育英中学模拟预测）先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式==当时，原式==．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关