高考数学一轮复习：导数中的新定义问题 专项练习（学生版+解析）

第11讲导数中的新定义问题（核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题结合新定义载体而定，难度一般或较大，分值为5分

【备考策略】1熟练掌握导数的定义及基本运算

2能结合实际题目理解导数新定义的概念及运算

3能结合导数知识进行综合求解

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一，而导数新定义更加考查学生的

数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，需综合复习

知识讲解

新定义问题的解决策略

第一步，读懂定义，如果有几何意义可以考虑图象，如果考虑不了就按照定义转化为代数式，并进行化简;

第二步，数形结合借助图象解决问题，如果不能借助图像就用代数的方法求解，可以考虑转化思想，将新

定义问题和自己所学的知识结合起来转化为自己熟悉的知识进而求解

考点一、导数中的新定义问题

典例引领

1.（2023・云南•校联考模拟预测）定义方程〃x）=/'（x）的实数根x叫做函数的“奋斗点”.若函数

g（x）=lnx,〃（了）=丁-2的“奋斗点”分别为加，〃，则机，〃的大小关系为（）

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

2.（2023•辽宁辽阳・统考二模）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲

率，曲线的曲率定义如下：若尸（x）是的导函数，/⑺是/'（X）的导函数，则曲线y=在点

处的曲率*=函数〃x）=31nx的图象在（I"⑴）处的曲率为（）

A3R3c而n3历

1000100100100

3.（2022.湖北武汉.统考模拟预测）函数〃x）,g（x）的定义域都是直线尤=玄（』©。）与丁="力，

y=g（x）的图象分别交于A,8两点，若线段A3的长度是不为。的常数，则称曲线y=〃x）,y=g（x）为“平

行曲线”设/（'=/_4山彳+°3>0,0*0）,且9=/（尤）,y=g（x）为区间（0,+8）的“平行曲线”其中g（l）=e,

g（同在区间（2,3）上的零点唯一，则。的取值范围是（）

即时检测

1.（2022•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）我们把形如/■（x,y,y'）=0的方程称为微分方程，符合

方程的函数y=称为微分方程的解，下列函数为微分方程对+y-孙'=0的解的是（）

A.y=e'B.y=xex

C.y=XQX+1D.y=C-X-QX（CeR）

2.（2023•浙江温州・统考模拟预测）（多选）若函数>=/0）的图象上存在两个不同的点尸，。，使得〃尤）在

这两点处的切线重合，则称函数>=/（%）为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（）

A.y=sin%+cosxB.y=sin（cosx）

C.y=x+sinxD.y=x2+sinx

3.（2023•重庆沙坪坝•重庆一中校考模拟预测）定义一个可导函数/（无）在定义域内一点处％的弹性为

请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为&的可导函数

〃尤o)

4.（2022•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数/■（%）可导，我们通常把导函

数尸（X）的导数叫做“X）的二阶导数，记作尸（X）.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作尸（力,

三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n-l阶导数的导数叫做w阶导数，记作

/（"）3=，1）（%）］,〃24亳若77右1<,定义加=一2）x…x3x2xl.③若函数在包含%的

某个开区间（。⑼上具有n阶的导数，那么对于任一xe.力）有

g（x）=〃x°）+甲（XT°）+与12%）2+?12"+...+£1耍（>%）",我们将8（力称为函

数/（X）在点X=X。处的”阶泰勒展开式.例如，y=e，在点尤=0处的〃阶泰勒展开式为l+x+1x2+...+1/.

2n\

根据以上三段材料，完成下面的题目：

⑴求出工（x）=sinx在点X=0处的3阶泰勒展开式&（X）,并直接写出力（X）=cosx在点x=0处的3阶泰勒展

开式g2（x）；

（2）比较⑴中工（尤）与&（力的大小.

（3）证明：ex+sinx+cosx>2+2%.

k

8.(2022.河北石家庄.统考一模)已知函数/(力=2X-1-伏+l)lnx,k>0.

(1)当上=1时，过坐标原点。作曲线y=f(x)的切线，求切线方程；

⑵设定义在/上的函数》=力口)在点尸(%,%)处的切线方程为y=/(x),对任意XNX。，若

小(尤)-/(尤))(%-5)>。在/上恒成立，则称点尸为函数y=/z(x)的“好点”，求函数y=/(x)在(0,+8)上所

有“好点”的横坐标(结果用人表示).

【基础过关】

一、单选题

1.(2023春•辽宁大连•高三瓦房店市高级中学校考开学考试)在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信

息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公

式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：

ex=l+—x+—x2+—x3+—x4H--\--xnH—；sinx=—+—^--x1H---l-(-l)"1TZH—.

1!2!3!4!nl3!5!7!(2M-1)!

则利用泰勒公式估计cosl的近似值为()(精确到0.001)

A.0.536B.0.540C.0.544D.0.549

2.(2023・全国•高三专题练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它

可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数/(尤),

存在一个点%,使得/(毛)=/，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()

A./(x)=lnxB./(x)=x2-3sin2x+l

c./(%)=eAD./(x)=x+-

二、多选题

3.(2022秋・河北•高三校联考阶段练习)给出定义：若函数在。上可导，即广(x)存在，且导函数尸(x)

在。上也可导，则称〃x)在。上存在二阶导函数，记〃(x)=(r(x))',若F"(x)<0在。上恒成立，则称〃力

在。上为凸函数，以下四个函数在(0,?上是凸函数的是()

A./(x)=sinx-cosxB./(x)=lnx-3x

C./(X)=-X3+3X-1D./(x)=xe-x

4.(2022秋.广东深圳.高三深圳中学校考阶段练习)已知定义在区间［。回上的函数产“力，-⑺是〃％)

的导函数,若存在欠(。⑼,使得/伍)-/(〃)=/解)0-0).则称J为函数“力在句上的“中值点”.下

列函数，其中在区间［-2,2］上至少有两个“中值点”的函数为()

A./(x)=sinxB./(x)=ex

C./(x)=ln(x+3)D./(x)=x3-x+1

5.(2022秋・福建厦门•高三校联考阶段练习)已知函数A©的导函数为/(元)，若存在/使得了'(%)=/(九0),

则称与是〃尤)的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是()

A./(x)=sinxB./(x)=x3

C./(x)=lnxD.f(x)=xex

6.(2023•全国•高三专题练习)记尸(x)、g'(x)分别为函数/(X)、g(x)的导函数，若存在x°eR,满足

=且尸(%)=g，(x0),则称％为函数与g(x)的一个“S点”，则下列说法正确的为()

A.函数_f(x)=e，与g(x)=x+l存在唯一“S点”

B.函数〃x)=lnx与g(x)=_r-2存在两个“S点”

C.函数〃力=》与8(力=炉+2%-2不存在"5点”

D.若函数〃力=62-1与g(x)=lnx存在“S点"，贝(I"］

7.(2023・全国•高三专题练习)定义广⑺是y=f(x)的导函数y=/'(x)的导函数，若方程尸")=0有实数

解％,则称点&,/(尤0))为函数y=/(x)的“拐点”.可以证明，任意三次函数〃力=加+凉+cx+d(aw0)都

有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心,请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是(

A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数

jr

B.函数/(x)=x3-3x2-3x+5的对称中心也是函数y=tan—x的一个对称中心

C.存在三次函数/7(力，方程〃(x)=0有实数解与,且点(毛,〃伍))为函数y=/z(x)的对称中心

D.若函数g(x)崇-#/则｛击4(嘉卜g(亮＞一+g［黑卜-1。1。

三、填空题

8.(2023.全国.高三专题练习)给出定义：设尸(X)是函数y=/(x)的导函数,一(尤)是函数y=/'(x)的导

函数，若方程/(》)=0有实数解%,则称［,〃七))为函数y=F(x)的“拐点”，经研究发现所有的三次函

数〃尤)=加+芯+cx+d(a^0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=f(x)的图像的对称中心，若函数

，⑺-+#,则/盛卜岛卜岛卜小麟〉〔黑卜一

9.(2023•广东惠州・统考模拟预测)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲

线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若尸(x)是“X)的导函数，

尸(X)是尸⑺的导函数,则曲线y=/8在点G,/(x))处的曲率I,贝域线〃x）=6

{i+[r（x）]2}

在(1,1)处的曲率为；正弦曲线g(x)=sinx(x£R)曲率的平方K2的最大值为.

四、双空题

10.(2022秋.云南曲靖.高三校联考阶段练习)对于三次函数/(同=加+加+cx+d(awO),给出定义：设

「(无)是函数的导数，/⑺是尸(无)的导数，若方程—(力=。有实数解与,则称点(如〃1))为函数

y=/(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐

点”就是对称中心.设函数=#+3x-5,则〃x)的拐点为

［七/—卜——.

【能力提升】

一、单选题

1.(2023・全国•高三专题练习)设函数y=/〃(x)是y=「(x)的导数，经过探究发现，任意一个三次函数

〃尤)=加+凉+ex+d(aN0)的图象都有对称中心(M，/(%)),其中为满足伍)=0,已知函数

f(x)=2x3-3x2+9x--,贝词，］+/(二-1+/(2-卜一+/(理当=()

‘''2U022；y2,022)1^2022)y2022)

2.(2022秋•山东青岛.高三校考阶段练习)设函数y=/(x)在区间。上的导函数为7'(x),/'(X)在区间D上

的导函数为g(x).若在区间。上，g。)＜。恒成立，则称函数/(无)在区间。上为“凸函数已知实数机是常数，

/(X)=二一%L一”.若对满足MV2的任何一个实数"Z,函数f(x)在区间"上都为“凸函数”，则6-。的

1262

最大为()

A.3B.2C.1D.-1

二、多选题

3.(2022.全国•高三专题练习)拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，定理如下：如果函数“X)在闭

区间［a,可上连续，在开区间(a,6)内可导，则在区间(a,6)内至少存在一个点％e(a,6),使得

f(b)-f(a)=f'^)(b-a),x=%称为函数y=〃x)在闭区间［a,可上的中值点，若关于函数

〃x)=sinx+百cosx在区间［0,句上“中值点”的个数为m,函数g(x)=e*在区间［0,1］上“中值点”个数为〃,

则有()

(参考数据：72«1.41,右々1.73,万b3.14,取2.72.)

A.m=lB.m=2C.n=lD.〃=2

4.(2023秋・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)定义：如果函数/(尤)在可上存在毛，巧

(。<见<%<6),满足:(占)=广(%)=:⑷一’⑶,则称天，巧为目上的“对望数”.已知函数f(x)为

目上的“对望函数”.下列结论正确的是()

A.函数〃x)=/+m-在任意区间［a,国上都不可能是“对望函数”

B.函数/(x)=g/一/+2是［0,可上的“对望函数”

jr11TT

C.函数/(x)=x+sin尤是—上的“对望函数”

D.若函数〃力为可上的“对望函数"，则"%)在［。回上单调

5.(2022秋•湖南长沙•高三统考阶段练习)若lim"%+始?)一"％，%)存在,则称

小+AX,R-7(%,%)为二元函数z=f(x,y)在点。,%)处对X的偏导数,记为力(%,%)；若

lim"/，%+?)一"/，为)存在，则称f(xo,yo+Ay)-f(Xo,yo)为二元函数z=f«,y)在点(％%)处

Ay->+0AyAy-»+0v7\u，u/

对y的偏导数，记为4(七,%).

若二元函数Z=〃尤,耳二%2-2孙+/(尤>0,y>0),则下列结论正确的是()

A.工。,2)=-2

B.力(1,2)=10

C.£(加,〃)+人(正”)的最小值为-1

D./(%y)的最小值为-捺

6.(2023•安徽淮北•高三校考开学考试)经研究发现：任意一个三次多项式函数/(尤)=ax3+bx2+cx+d(a*0)

的图象都只有一个对称中心点(1,/(%)),其中/是/'(》)=0的根，/(x)是/(x)的导数，/"(X)是/(X)的

导数.若函数f(x)-x3+ax2+x+b图象的对称点为(T2),且不等式e*-m"lnx+1)-3x2+ejxe

对任意xe(l,+oo)恒成立，则()

A.a=3B.b=lC."?的值可能是-eD.加的值可能是

e

7.(2022•全国•高三专题练习)定义：在区间/上，若函数y=/(x)是减函数，且y=犷(x)是增函数，则称

y=/(x)在区间/上是“弱减函数”.根据定义可得()

A.〃耳=：在(0,+8)上是“弱减函数”

B./(x)=F在(1,2)上是“弱减函数”

C.若〃x)=(在(办")上是“弱减函数"，贝打">e

D.若/(x)=cosx+近2在(0国上是“弱减函数"，则=<上<1

V273K71

三、填空题

8.(2023・全国•高三专题练习)丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的

凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数/(x)在(a,。)上的导函数为了'(X),/'(X)在(。方)上

的导函数为尸(X),若在(。，6)上广(x)<0恒成立，则称函数Ax)是上的“严格凸函数”，称区间(a,。)

为函数AM的“严格凸区间则下列正确命题的序号为.

①函数/⑴=3+3/+2在(1,+8)上为“严格凸函数”；

②函数/(0=叱的“严格凸区间”为0，e］；

X

③函数/(x)=e，-xlnx-*在(1,4)为“严格凸函数”，则机的取值范围为［e-1,+8).

四、解答题

9.(2022.湖南.模拟预测)设g'(x)为g(x)的导函数，若g'(无)是定义域为D的增函数，则称g(x)为D上的

“凹函数”，已知函数/(》)=屁、+加+。为R上的凹函数.

(1)求a的取值范围；

(2)设函数/z(x)=e*-gx2-尤-1,证明：当天>0时，力(x)>0,当x<0时，/z(x)<0.

⑶证明：f(x^>—x+—x'+x+—.

24444

10.(2022•全国•高三专题练习)给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数广(x)的导数

叫做“X)的二阶导数，记作尸(X).类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作〃(X),三阶导数的导

数叫做四阶导数……一般地，n-1阶导数的导数叫做”阶导数，记作/⑺(无)=.②若"eN*,

定义”!=ax(〃-1)x(〃-2)x…x3x2xl.③若函数〃x)在包含%的某个开区间(a,6)上具有”阶的导数，那

么对于任一xe(a,。)有

g(X)="X°)+q^(X70)+勺)"7)+*1"7"+-+勺2(》7。)〃，我们将g(x)称为函

数〃x)在点X=x。处的〃阶泰勒展开式.例如，y=e，在点x=0处的”阶泰勒展开式为1+X+1

2n\

根据以上三段材料，完成下面的题目：

(1)求出力(x)=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式&(力，并直接写出力(x)=cosx在点元=0处的3阶泰

勒展开式g2(x)；

(2)比较⑴中工(%)与占(%)的大小.

(3)已知y=/不小于其在点x=0处的3阶泰勒展开式，证明：e*+sinx+cosx22+2x.

第11讲导数中的新定义问题(核心考点精讲精练)

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题结合新定义载体而定，难度一般或较大，分值为5分

【备考策略】1熟练掌握导数的定义及基本运算

2能结合实际题目理解导数新定义的概念及运算

3能结合导数知识进行综合求解

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一，而导数新定义更加考查学生的

数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，需综合复习

知识讲解

新定义问题的解决策略

第一步，读懂定义，如果有几何意义可以考虑图象，如果考虑不了就按照定义转化为代数式，并进行化简;

第二步，数形结合借助图象解决问题，如果不能借助图像就用代数的方法求解，可以考虑转化思想，将新

定义问题和自己所学的知识结合起来转化为自己熟悉的知识进而求解

考点一、导数中的新定义问题

☆典例引领

1.(2023.云南・校联考模拟预测)定义方程〃力=(⑺的实数根x叫做函数〃尤)的“奋斗点”.若函数

g(x)=lnx,，2(X)=_?_2的“奋斗点”分别为机，n,则加，"的大小关系为()

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

【答案】D

【分析】求导，根据“奋斗点”的定义可得L=ln〃z,〃3_2=3〃2,构造函数，利用导数及零点存在定理求出

m

2

小的范围，由"=3+=求出〃的范围，从而可比较大小.

n

【详解】函数g(x)=lnx,得，(x)=J

由题意可得，=即

m

设“(%)=--Inx,H，(x)=---,

因为x>0,所以

易得“（X）在（0,+巧上单调递减且H⑴=1>0,H（2）=|-ln2=ln^<0,

故1＜机＜2.

由/z(x)=d_2,//(%)=3九2,

2

由题意得：n3—2=3n2,易知〃w0,所以〃=3+=＞3,

n

因为1<机<2,所以机<〃.

故选:D.

2.（2023•辽宁辽阳・统考二模）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲

率，曲线的曲率定义如下：若尸（%）是/（力的导函数，率（九）是「（%）的导函数,则曲线y=/（力在点

K『'⑸

处的曲率—点.函数〃x）=31nx的图象在处的曲率为（）

（1+（小））『

A,上B•高c730

V-.-----

1000100

【答案】D

【分析】求出「（力、代值计算可得出函数〃x）=31nx的图象在（1,〃功处的曲率.

33

【详解】因为〃%)=31nx,所以尸(%)=—,rW=--,

XX

所以「（i）=3,r（i）=-3,

故选：D.

3.（2022.湖北武汉.统考模拟预测）函数“力，g（x）的定义域都是。，直线尤与y=〃x）,

y=g（x）的图象分别交于A,8两点，若线段A3的长度是不为o的常数，则称曲线y=/（x）,y=g（x）为“平

行曲线”设/（%）=6工-alnx+c（a>0,cw0）,且y=,y=g（x）为区间（0,+功的“平行曲线”其中g（l）=e,

g（x）在区间（2,3）上的零点唯一，则。的取值范围是（）

fe2e4^fe2e3^fe32e1<2e3e4

A，［而而JB-［记而JC-［而而J［而，而J

【答案】B

【分析】首先根据题意可知函数函数g（x）是由函数八X）的图象经过上下平移得到，设

=f(x)+h=ex-a\wc+c+h,结合g(D=e,求出c+/z=O,即可得到。=——,构造函数，利用导数判

Inx

断函数的单调性，可得，的取值范围.

【详解】解：・・,」=/(Wy=g⑺为区间的“平行曲线”,

・•・函数g(x)是由函数/(%)的图象经过上下平移得到，

BPg(x)=/(%)+h=ex—alnx+c+h,

,/g(l)=e—alnl+c+/z=e+c+0=e,

.c+fi=0,

即g(%)=e"—alnx,

由g(x)=0,

・・♦gQ)在区间(2,3)上的零点唯一，

.・>=久刈与函数,=，在区间(2,3)内有唯一的交点,

ex(lnx--)

vhXx)=------

(liu)2

当%>2时,〃(X)>0,

.•・函数依%)在(2,3)上单调递增，

h(2)<a<h(3),

即更<a<且，

ln2ln3

23

故。的取值范围是(J,J),

ln2ln3

故选：B.

【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的创新能力，转化与化归能力.解题关键是把问题转化为函数图

象与直线有唯一交点，从而转化为利用导数确定函数的性质.

即时检测

...........

1.(2022•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测)(多选)我们把形如/(无。。')=。的方程称为微分方程，符合

方程的函数y=/(x)称为微分方程的解，下列函数为微分方程孙+丫-孙'=。的解的是()

A.y=eB.y=xe

C.y=xex+1D.y=c-x-ex(cGR)

【答案】CD

【分析】根据导数的运算求得导函数y',代入微分方程检验即可.

【详解】选项A,y=ex,则了=^,xy+y-xy'=xex+ex-xex=e%^0,不是解；

选项B,y=xex,y'=ex+xex,xy+y-xyr=x2ex+xex-xex-x2ex=0,是方程的解；

选项C,y=xex+1,y'=e"+xe",xy+y-xy'=x2ex+x+xex+1-xex-x2ex=x+10,不是方程的解；

选项D,y=c-X'Qx(cGR),y'=cex+cxex,xy+y-xy'=cx2ex+cxex-cxcx-cx2ex=0,是方程的解.

故选：CD.

2.(2023•浙江温州・统考模拟预测)(多选)若函数>=/(%)的图象上存在两个不同的点尸，。，使得〃无)在

这两点处的切线重合，则称函数>=/(%)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是()

A.y=sinx+cosxy=sin(cosx)

C.y=x+sinxy=x-2+s•inx

【答案】ABC

【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB,过图象最高点(或最低点)处的切线是同一条直线，可判

断，选项C,由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，选项

D,导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论.

【详解】对A,〃x)=sinx+cosx==A/2sin[X+(

尸(尤)=&cos［无+：J,x=2E+：,%eZ时，f\x)=0,『3取得最大值垃,

直线>=四是函数图象的切线，且过点「也+%④)左eZ,所以函数是“切线重合函数”；

对B,f(x)=sin(cosx),f\x)=-sinxcos(sinx),%=2丘,左wZ时,ff(x)=0,cosx=l,-sinl</(x)<sinl,

此时〃x)=sinl是函数的最大值，直线y=sinl是函数图象的切线，且过点(2E,sinl),左eZ,函数是“切线重

合函数”；

对C,f(x)=x+sinx,f\x)=1+cosx,

x=2fal+—,keZH'J*,f(x)=1,f12E+—=2fal+—,

过点^2fai+—,2far+—+eZ的切线方程是y—12E+万+1J=x—+耳)，即y=x+l,

因此该切线过/(x)图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；

对D,/(x)=x2+sinx,/,(x)=2x+cosx,令g(x)=/'(x)=2尤+cos尤，

则，(x)=2-sinx>0,所以g(x)即/'(x)是R上增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相

也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”.

故选：ABC.

【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是

要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与

三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的.

3.（2023•重庆沙坪坝•重庆一中校考模拟预测）定义一个可导函数/（X）在定义域内一点处％的弹性为

,请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为0的可导函数.

【答案】=（答案不唯一）

【分析】由号寸=0整理得婚（x）-扃（x）=0,可构造函数g（x）="，可得/（£）=0,可得

JX

g（x）=$=C，可得〃x）.

【详解】由题意，当天＞0,磔W=应，

〃尤)

整理得矿(x)-&〃x)=0

X®f(x)-航x®T于(x)_:

贝！Jg，⑺=

故g（x）=C,C为常数,

由8（司=翌=。

得=应

故答案为：/•（无）=x拒（答案不唯一）

4.（2022•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数/■（%）可导，我们通常把导函

数广⑺的导数叫做的二阶导数，记作尸（%）.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作尸（力，

三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n-1阶导数的导数叫做"阶导数，记作

泮（同=[/（1）（耳],〃24②若〃右底，定义加=2）x…x3x2xl.③若函数在包含%的

某个开区间（〃,6）上具有”阶的导数，那么对于任一有

g（x）=/（x0）+华+为1—/+号1—*3+...+£1善（尤』）"，我们将8（力称为函

数/（X）在点苫=无。处的〃阶泰勒展开式.例如，y=e'在点x=o处的〃阶泰勒展开式为1+%+1/+...+々尤”.

2n\

根据以上三段材料，完成下面的题目：

⑴求出工(x)=sinX在点X=0处的3阶泰勒展开式&(%),并直接写出右(X)=COSx在点X=0处的3阶泰勒展

开式g?(x);

(2)比较(1)中工(x)与&(x)的大小.

(3)证明：e^+sin尤+cos尤22+2尤.

【答案】(1)80=彳一工了3,82(司=1-彳彳2；

Oz

(2)答案见解析；

(3)证明过程见解析.

【分析】(1)根据/(尤)在点x=x0处的"阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；

(2)令&(冷=/(同一)(知,利用导数可求得/?(x)在R上单调递增，结合刈0)=0可得力⑴的正负，由此

可得力(X)与&(X)的大小关系；

(3)令9(x)=加(x)—g2(x),利用导数可求得。(x)⑼=0,即cosxNl-g尤2；①当xzO时，由

ex>l+x+-x2+-x3,sinx>x--x3,可直接证得不等式成立；②当x<0时，分类讨论，由此可证得不等

266

式成立.

【详解】(1)・・•/'(%)=cos],右”(九)=—sin%,—cos无，

.•/(0)=1,力〃(0)=。，^(0)=-1,

109—1a1

^(%)=8^0+-(%-0)+—(x-0)+—(X-0),即&(%)=%—

2

同理可得：g2(x)=l-1x；

(2)由(1)知:<(x)=sinx,&(尤)二九一与，

6

^/z(x)=^(x)-^(x)=sinx-x+—x3,贝|/zr(x)=cosx-1+—x2,

162

.../z"(x)=-sinx+x,/iw(x)=1-cosx>0,

・•・〃(%)在R上单调递增,又〃(0)=0,

.•・当尤«-o),0)时，^(%)<0,〃(%)单调递减；当x«0,y)时，^(%)>0,〃(%)单调递增；

二["(Minin=%。)=1T+0=0,二>0,

・•/(力在R上单调递增，又"0)=0,

二.当犬£(-00,0)时，/l(x)<o；当二£(。,+8)时,/i(x)>0；

综上所述：当％vO时，工(x)v&(x);当％=0时，/(尤)=&(%);当%>0时，<(%)>&(%)；

令夕(

(3)(x)=/(x)-g2%)=cosx—l+gf,贝ij^r(x)=-sinx+x,

/.^(x)=l-cosx>0,0(%)在R上单调递增，

又砥0)=0,.•.夕(％)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

/.^?(x)>^(0)=0,即cosxNl-；/；

y=e"在点％=0处的4阶泰勒展开式为：1+冗+7//，

2624

/.ex=l+x+-x2+-x3+—x4>l+x+-x2+-x3,当且仅当％=0时取等号,

①当尤20时，由(2)可知，sinx>x-^x3,当且仅当x=0时取等号，所以

e"+sinx+cos1+xH—H—j+1x—JC)|+11—]=2+2x•

I26JI6JI2J

②当％vO时，设尸(x)=e"+sinx+cosx—2—2x,F(0)=0,

F(x)=ex+cosx—sinx-2=ex+41cosx+—-2,F*(x)=ex—sinx—cosx,

当工£(-1,0),由⑵可知sinx<%-，%3,所以,

6

F"(x)=ex-sinx-cosx>l+x+—x2+—x3+—x3-x-cosx

V7266

=l-cosx+—x2(3+2x)>0,即有Fr(x)<b'(0)=0；

6

当兄w(-oo,_l]时，F(x)=ex+V2coslx+-^j-2<-+^-2<^+V2-2<0,

所以，％v0时，尸(%)单调递减,从而尸(%)>b(0)=0,即e"+sin%+cosx>2+2x.

综上所述：ev+sin+cosx>2+2x-

【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确〃阶泰勒展开式的具体定义；本题

在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在x=0处的3阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方

法将不等式进行转化.

k

8.(2022.河北石家庄.统考一模)已知函数〃尤)=2尤-1-(4+1)1叱，k>0.

(1)当人=1时，过坐标原点。作曲线y=〃x)的切线，求切线方程；

⑵设定义在/上的函数y=/?(x)在点尸(%,%)处的切线方程为y=/(无)，对任意X/%,若

(/z(x)-/(x》(x-%)>0在/上恒成立,则称点尸为函数y=/z(x)的“好点”,求函数y=/(x)在(0,+8)上所

有“好点”的横坐标(结果用女表示).

【答案】⑴y=x

⑵横坐标％=三

化+1

【分析】(1)根据导数的几何意义及斜率公式建立方程可求解;

(2)根据题中的新定义，表达出了(力-/(力，再通过研究其单调性得到最值，从而判断“好点”的横坐标.

(1)

112

当上=1时，f(x)=2x------21n%,/'(%)=2d-------,

设切点坐标为(X°J(X。))，则切线方程为：

心12、/、c1〜

y=\2+------(%一%o)+2%o---------21nx0

I玉)/

因为切线过原点，代入原点坐标可得：-工-lnx°+l=。

%

令g(尤)=-g-lnx+l,贝!]=,

当xe(O,l)时,g'(x)>0,即g(x)在无e(0,1)上单调递增，

当xe(,+oo)时,g,(x)<0,即g(x)在xw(l,+oo)上单调递减,

所以g(x)4g⑴=0,且当x=l时，g(l)=0,所以-’-lnx0+l=0的解唯一，即％=1,

所以切点坐标为(1,1),切线斜率为左=/")=i,切线方程为：y=x.

⑵

设点尸(%,%)是函数y=〃力上一点，且在点P(x。,%)处的切线为y=/(x),

贝2+-^■一—+1(%—x0)+2x0---(^+l)lnx0

I%0%0J玉)

令/(x)=〃x)-/(x),所以F5)=/(%)-/(%)=0

①当(左+1)天)一左40,即时，｛(Ji+Y)x0-k^x-kx0<0,

则xe(%,+oo)时,Ff(x)<0,所以尸(x)在xe(%,+oo)单调递减,故"%)<尸(%)=0,即：f(x)<l[x),

不满足（〃力-/（砌（X—飞）＞0,所以尤04二时，尸（无。,%）不是函数,="彳）在（0，+8）上的好点.

k（JQ—--------------------------

②当（左+i）x°-左＞0,即毛＞晨3时，/（尤）="+1卜。-力一°〔9+1反一与

kx「2k

D若y即不＜而,此时：

当xe],7华~时，F（x）＜0,所以尸（x）在xe_J单调递减，尸（同＜/（%）=0

I（k+l）x0-k）[（k+l）x0-k）

不满足（〃尤）-/（力）（尤一尤。）＞0,所以当占〈尤。〈片时，户（如儿）不是函数丫=〃力在（。，+8）上的好

/C।1fCI1

点

Xo＞

订）（k+l）xo-k（即天＞蓄’止匕时:

、

,尤0时，F,（x）＜0,所以尸（x）在xe--作_-

当xe7——”——，尤0单调递减，尸（x）＞尸®）=0

（左+）。_

1Xk,7

不满足（〃力-/（尤））（无-%）＞。，所以当X0＞g时，尸（知儿）不是函数y=〃X）在（0，+8）上的好点.

ft।1

iii）当％=所知,即V击，此时:

xe（O,+»）时，尸'（尤）20恒成立，所以尸（无）在尤w（0,+co）单调递增，

故当xe（O,x（,）时，F（x）＜F（^）=0,即/（x）＜/（x）,所以％«0,不）时：（/（x）-/（x））（j;-x0）＞0

当x«Xo,4＜o）时，F（X）＞F（A：O）=O,即所以xe（%,+co）时，（/（x）-/（x））（x-x0）＞0

即对任意x¥%o，（/（x）-/（%））（x-x0）＞0,所以当■时，尸（%,%）是函数,=/（同在（0，+8）上的好

点.

综上所述，^=〃力在（0，+8）上存在好点4/。，%）,横坐标无。=片.

【点睛】解决导数的几何意义的关键一是要看清是求在某点处的切线还是过某点求切线；解决恒成立的问

题的实质是解决单调性和最值，这一般要分类讨论.

【基础过关】

一、单选题

1.（2023春・辽宁大连•高三瓦房店市高级中学校考开学考试）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信

息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公

式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有:

ex=l+—x+—x2+—x3+—x4+•••+—ZH-----sinx=X--X3+—x5-—x7+---+（-l）n-1-~~-x2n-1+…

1!2!3!4!nl，3!5!7!（2n-l）!

则利用泰勒公式估计C0S1的近似值为(）（精确到0.001）

A.0.536B.0.540C.0.544D.0.549

【答案】B

【分析】根据题意，可得cosx=l-呆…+(一球志—+…，分别计算当尤=1时，前几项的计

算结果，可得答案.

【详解】根据题意，求导可得cosx=l-+(_叶册

因为1一2_=0.5,1--+—«0.5417,+-0.5403,1--+——»0.5403,

224!24!6!24!6!8!

所以cosl=l—Lxl+」xl--xl+...«0.540,

2!4!