数学同步优化训练：平面向量共线的坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3.4平面向量共线的坐标表示5分钟训练(预习类训练,可用于课前）1.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是(）A.a=(-1，2)，b=（0，5)B.a=（1,2),b=（2,1）C。a=（2，-1），b=(3,4）D.a=(—2,1)，b=（4，-2)解析：我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，而D中两个向量共线,故不能作为一组基底。答案:D2。以下命题错误的是（）A.若i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量,则｜i+j｜=｜i—j|B。若a∥b,a=（x1，y1),b=（x2,y2），则必有C。零向量的坐标表示为(0，0)D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标解析:对B选项，两个向量中，若有与坐标轴共线的或有零向量，则坐标不应写成比例式。答案：B3.与a=（12,5)平行的单位向量为（）A.（，）B。（，)C.(，)或(，)D.(±,±)解析:设与a平行的单位向量为e=（x,y),则x2+y2=1.∵e∥a,∴设e=λa,即（x，y）=λ（12，5)。x=12λ，y=5λ，代入x2+y2=1，得λ=±13。答案：C10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1。已知a=（-1，3),b=（x,-1),且a∥b,则x等于()A。3B.—C。D。-3解析:因为a∥b，所以(—1）·（—1）—3x=0，解得x=.答案：C2。已知｜a｜=10,b=(3,4)，a∥b，则向量a=__________________________。解析:设a=（x,y）,然后利用|a|=10,a∥b，列出含x，y的两个等式，解出x，y.答案：（6,8)或(-6,-8）3。如果向量=i—2j,=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。解法一：∵A、B、C三点共线，即、共线，∴存在实数λ使得=λBC，即i—2j=λ(i+mj).∴∴m=—2,即m=—2时,A、B、C三点共线.解法二：依题意知i=（1，0)，j=(0，1），则=（1，0）-2（0，1)=(1,—2)，=（1，0）+m（0,1）=（1，m）,而，共线，∴1×m+2=0.故当m=—2时，A、B、C三点共线.4。如图2—图2-3解法一：设=t(4，4）=(4t，4t),∴=（4t—4,4t),=(2，6）—（4，0）=（—2,6）.∵与共线，∴(4t—4)×6—4t×（-2）=0，得t=.∴=(4t，4t)=(3，3）,即P(3，3)。解法二：设P（x,y),则=(x，y），=(4，4）。∵与共线，∴4x-4y=0.①又=（x—2,y—6),=(2，-6）且与共线，∴—6（x-2)+2（6-y)=0。②由①②解方程组可得x=3,y=3，即P（3，3）。5。平面内给定三个向量：a=（3，2)，b=(—1，2),c=(4，1)。（1）求3a+b—2(2)求满足a=mb+nc的实数m和n;（3）若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(4）设d=（x，y)满足(d—c)∥(a+b）且｜d-c|=1，求d。解：(1)3a+b—2c=3(3,2)+（—1,2）—2（4,1）=(9,6）+(-1，2）-(8，2)=（(2)∵a=mb+nc，m、n∈R，∴(3,2）=m(—1，2)+n(4,1)=（—m+4n,2m+n)。∴解得(3)∵(a+kc)∥(2b-a)且a+kc=(3+4k,2+k)2b—a=(—5,2），∴(3+4k)×2—（-5）×（2+k）=0。∴k=。（4）∵d-c=(x-4，y—1),a+b=(2,4),且（d—c)∥（a+b)且｜d-c｜=1，∴解得或∴d=（)或d=(）.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。已知A，B，C三点共线，且A(3，-6），B(-5，2），若C点横坐标为6，则C点的纵坐标为（）A.—13B。9C解析：设C（6，y），则∥.又=(-8，8)，=(3,y+6），∴—8（y+6)-3×8=0。∴y=—9。答案:C2.与a=(-5,4）平行的向量是()A。（-5k，4k)B。()C.（-10，2）D.(5k，—4k）解析：∵-5×4k-（-5k)×4=0,∴a与（-5k,4k）平行。答案：A3。若a=(3，4），b∥a且b的起点为(1，2)，终点为(x，3x），则b=________________.解析：∵b=(x,3x）-（1，2）=(x—1，3x—2)，且b∥a,∴3（3x—2）—4（x-1)=0.∴x=.∴b=（—,)。答案：（—，）4。已知点M（x，y）在向量=(1，2)所在的直线上,则x,y所满足的条件为__________。解析:∵M在所在的直线上，∴∥.又=(x，y），=（1，2），∴2x-y=0,即y=2x.答案:y=2x5.已知向量a、b不共线，实数x，y满足向量等式3xa+(10—y）b=2xb+（4y+7）a，则x=___________，y=____________________.解析：由解得答案：6.已知向量=(6，1),=(x，y），=(-2，-3)，当∥时，求实数x、y应满足的关系。解:=—［(6，1）+（x，y)+（-2,—3)］=（-x-4，-y+2），=(x，y).当∥时，x(-y+2）—y（—x-4)=0，化简得y=x。所以当∥时，x、y应满足y=x.7.已知a=（2,-1），b=(x，2）,c=(—3，y），且a∥b∥c,求x、y的值。解：由a∥b，得4+x=0。∴x=—4。由a∥c,得2y—3=0.∴y=.∴x=—4，y=.8.已知a=(1,2)，b=（-3，2），当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向?解法一：ka+b=k（1，2）+（-3，2)=(k—3，2k+2），a—3b=（1，2）-3(-3，2)=（10，-4)。当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，使ka+b=λ(a-3b)。由（k-3，2k+2）=λ（10，—4),∴解得k=—，λ=-.当k=—时，ka+b与a—3b平行，这时ka+b=—a+b.∵λ=—＜0,∴—a+b与a—3b反向。解法二:由解法一知ka+b=(k-3，2k+2），a—3b=（10,—4)，因(ka+b）∥(a-3b），∴（k-3）×（—4）-10×（2k+2）=0.解得k=-，此时ka+b=(-—3，+2)=（）=—（10，—4）=—（a—3b）。∴当k=—时,ka+b与a—3b平行并且反向。9.已知a=（3，2），b=(2，—1），若λa+b与a+λb(λ∈R)平行，求λ的值.解：λa+b=λ(3，2)+（2，-1)=(3λ+2，2λ-1)，a+λb=（3，2）+λ(2，—1)=(3+2λ,2—λ)。由题意知(3λ+2)（2-λ）—（3+2λ)（2λ—1）=0,化简得λ2=1，即λ=±1。10。已知A、B、C三点坐标分别为（-1,0）、（3，-1）、(1，2)，=，=,求证：∥.证明：设E、F两点坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2).∵=（2，2)，=(