2025届安徽省合肥八中、马鞍山二中、阜阳一中数学高一上期末经典试题含解析

2025届安徽省合肥八中、马鞍山二中、阜阳一中数学高一上期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点仍在函数的图象上，则的最小值为（）A. B.C. D.2．若是的一个内角，且，则的值为A. B.C. D.3．已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.4．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.5．设，若，则的最小值为A. B.C. D.6．下列函数中与函数相等的是A. B.C. D.7．已知函数y＝a＋sinbx(b＞0且b≠1)的图象如图所示，那么函数y＝logb(x－a)的图象可能是()A. B.C. D.8．若，则的值为A. B.C. D.9．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（）A. B.C. D.10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，___________.12．在中，，，则面积的最大值为___________.13．已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是___________14．函数的递减区间是__________.15．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为__________16．若函数在区间内为减函数，则实数a的取值范围为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.（1）求的值；（2）若且，求sin2α－cosα的值18．已知函数（其中，，）图象上两相邻最高点之间距离为，且点是该函数图象上的一个最高点（1）求函数的解析式；（2）把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若恒有，求实数的最小值.19．如图，正方体的棱长为1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO与A′C′所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC垂直.20．如图所示，一块形状为四棱柱的木料，分别为的中点.（1）要经过和将木料锯开，在木料上底面内应怎样画线？请说明理由；（2）若底面是边长为2菱形，，平面，且，求几何体的体积.21．在①；②关于x的不等式的解集是这两个条件中任选一个，补充在下面的问题（1）中并解答，若同时选择两个条件作答，以第一个作答计分（1）已知______，求关于的不等式的解集；（2）在（1）的条件下，若非空集合，，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】作出函数和直线图象，根据图象，利用数形结合方法可以得到的最小值.【详解】画出函数和直线的图象如图所示，是它们的三个相邻的交点.由图可知，当在点，在点时，的值最小，易知的横坐标分别为,所以的最小值为，故选：B.2、D【解析】是的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.考点：三角函数诱导公式的运用.3、B【解析】根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，在区间上是单调增函数，区间在对称轴的右面，即，实数的取值范围为.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.4、A【解析】先通过观察图像可得A和周期，根据周期公式可求出，再代入最高点坐标可得.【详解】由图像得，，则，，，得，又，.故选：A.5、D【解析】依题意，，根据基本不等式，有.6、C【解析】对于选项A,D对应的函数与函数的对应法则不同，对于选项B对应的函数与函数的定义域不同，对于选项C对应的函数与函数的定义域、对应法则相同，得解.【详解】解：对于选项A，等价于，即A不符合题意，对于选项B，等价于，即B不符合题意，对于选项C，等价于，即C符合题意，对于选项D，，显然不符合题意，即D不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了同一函数的判断、函数的对应法则及定义域，属基础题.7、C【解析】由三角函数的图象可得a＞1，且最小正周期T＝＜π，所以b＞2，则y＝logb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故选C.8、C【解析】由题意求得，化简得，再由三角函数的基本关系式，联立方程组，求得，代入即可求解.【详解】由，整理得，所以，又由三角函数的基本关系式，可得由解得，所以.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、A【解析】根据三角函数的定义计算可得结果.【详解】因为，，所以，所以.故选：A10、A【解析】先计算一名男同学都没有的概率，再求至少有一名男同学的概率即可.【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为，则2名同学中至少有一名男同学的概率是.故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】设，则，求出的表达式，再由即可求解.【详解】设，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以当时，故答案为：.12、【解析】利用诱导公式，两角和与差余弦公式、同角间的三角函数关系得，得均为锐角，设边上的高为，由表示出，利用基本不等式求得的最大值，即可得三角形面积最大值【详解】中，，所以，整理得，即，所以均为锐角，作于，如图，记，则，，所以，，当且仅当即时等号成立．所以，的最大值为故答案为：13、38##【解析】利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件概率计算公式即求.【详解】∵甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，∴甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是.故答案为：0.38.14、【解析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性“同增异减”原则求出函数的单调递减区间即可得出答案【详解】解：意可知，解得，所以的定义域是，令,对称轴是，在上是增函数，在是减函数，又在定义域上是增函数，是和的复合函数，的单调递减区间是，故答案为：【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调区间，属于基础题15、【解析】设与直线平行的直线，将点代入得.即所求方程为16、【解析】由复合函数单调性的判断法则及对数函数的真数大于0恒成立，列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：因为，函数在区间内为减函数，所以有，解得，所以实数a的取值范围为，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用诱导公式化简可得，代入数据，即可求得答案.（2）根据题意，可得，根据左右同时平方，利用的关系，结合的范围，即可求得和的值，即可求得答案.【详解】（1）利用诱导公式化简可得，.（2）因为，所以，即，两边平方得1＋2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－，1－2sinαcosα＝，即(sinα－cosα)2＝，因为2sinαcosα＝，，所以，所以sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝，结合cosα＋sinα＝，解得sinα＝，cosα＝－，故sin2α－cosα＝－(－)＝.18、（1）（2）最小值为4【解析】（1）由图象上两相邻最高点之间的距离为，可知周期,点是该函数图象上的一个最高点,可知,故，将点代入解析式即可得，函数解析式即可求得；（2）利用函数平移的性质即可求得平移后的函数，由恒有，可知函数在处取得最大值，即可求出实数取最小值.【小问1详解】根据题意得函数的周期为，即,故，∵点是该函数图象上的一个最高点，∴，即，将点代入函数解析式得，，即,则，又∵，∴,故.【小问2详解】∵函数，∴∵恒有成立，∴在处取得最大值,则，，得∵，，故当时，实数取最小值4.19、（1）30°（2）（3）见解析【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求AO与A′C′所成角的度数；（2）利用向量法求AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC的法向量垂直.【详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），设AO与A′C′所成角为θ，则cosθ，∴θ＝30°，∴AO与A′C′所成角为30°.（2）∵（），面ABCD的法向量为（0，0，1），设AO与平面ABCD所成角为α，则sinα＝|cos|，cosα，∴tanα.∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），设平面AOB的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，0，1），设平面AOC的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，1，﹣1），∵1+0﹣1＝0，∴平面AOB与平面AOC垂直.【点睛】本题主要考查空间角的求法和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、(1)见解析(2)3【解析】（1）根据面面平行的性质，两个平行平面，被第三个平面所截，截得的交线互相平行，故得到就是应画的线；（2）几何体是由三棱锥和四棱锥组成，分割成两个棱锥求体积即可解析：（1）连接,则就是应画的线；事实上，连接,在四棱柱中，因为分别为的中点，所以，，所以平行四边形,所以，又在四棱柱中，所以，所以点共面，又面，所以就是应画线.（2）几何体是由三棱锥和四棱锥组成.因为底面是边长为的菱形，，平面，连接，即为三棱锥的高，又，所以，连接，为四棱锥