2025届陕西省西安市第七十中学数学高一上期末达标检测试题含解析

2025届陕西省西安市第七十中学数学高一上期末达标检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在底面为正方形的四棱锥中，侧面底面，，，则异面直线与所成的角为（）A. B.C. D.2．一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是A.400 B.40C.4 D.6003．点直线中，被圆截得的最长弦所在的直线方程为（）A. B.C. D.4．函数y=|x2-1|与y=a的图象有4个交点，则实数a的取值范围是A.(0，) B.(-1，1)C.(0，1) D.(1，)5．已知全集，集合，则（）A. B.C. D.6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，）A. B.C. D.7．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（）A. B.C. D.8．设函数的图象为，关于点A（2，1）的对称图象为，若直线y=b与有且仅有一个公共点，则b的值为A.0 B.-4C.0或4 D.0或-49．函数f(x)＝，的图象大致是（）A. B.C. D.10．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知幂函数的图像过点，则___________.12．给出下列命题：①函数是偶函数；②方程是函数的图象的一条对称轴方程；③在锐角中，；④函数的最小正周期为；⑤函数的对称中心是，，其中正确命题的序号是________.13．已知函数在区间上恰有个最大值，则的取值范围是_____14．已知函数(，且)的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则__________.15．已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为______，方差为______16．已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时，__________，函数在区间上的零点个数为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数的最值并写出取最值时自变量的值；（3）若函数为偶函数，求的值.18．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于的方程有两个相等的实数根.（1）的值域；（2）若函数且在上有最小值，最大值，求的值.19．已知函数，且（1）求a的值；（2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断20．已知函数（1）判断并说明函数的奇偶性；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围21．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点（Ⅰ）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（Ⅱ）A1C⊥平面EFG

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由已知可得PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以ACM就是异面直线PB与AC所成的角,再求解即可.【详解】由题意：底面ABCD为正方形，侧面底面，，面面，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，∵PM∥AD，AD∥BC，PM＝AD，AD＝BC∴PBCM是平行四边形，∴PB∥CM，所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角设PA＝AB＝a，在三角形ACM中，，∴三角形ACM是等边三角形所以∠ACM等于60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°故选：C.【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，得到∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角2、A【解析】频数为考点：频率频数的关系3、A【解析】要使得直线被圆截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，结合点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，要使得直线被圆截得的弦长最长，则直线必过圆心，可得直线的斜率为，所以直线的方程为，即所求直线的方程为.故选：A.4、C【解析】作函数图象，根据函数图像确定实数a的取值范围.【详解】作函数图象，根据函数图像得实数a的取值范围为（0，1），选C.【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.5、B【解析】首先确定全集，而后由补集定义可得结果【详解】解：，又，.故选B【点睛】本题考查了集合的补集，熟练掌握补集的定义是解决本题的关键，属于基础题型.6、D【解析】根据题意可得不等式，解不等式可求得，由此可得结论.【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则，即，，则，，次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾.故选：D.7、D【解析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.故选D.【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题8、C【解析】先设图像上任一点以及P关于点的对称点，根据点关于点对称的性质，用p的坐标表示的坐标，再把的坐标代入f(x)的解析式进行整理，求出图象的解析式，通过对解析式值域的分析，再结合直线y=b与有且仅有一个公共点，来确定未知量b的值。【详解】设图像上任一点，且P关于点的对称点，则有，解得，又点在函数的图像上，则有，那么图像的函数为，当时，，，当且仅当时取到等号，此时取到最小值4，直线y=b与只有一个公共点，故b=4，同理当时，，，即，此时取到最大值0，当且仅当x=3时取到等号，直线y=b与只有一个公共点，故b=0.综上，b的值为0或4.故选：C【点睛】利用基本不等式求出函数最值时，要注意函数定义域是否包含取等点，本题是一道函数综合题9、A【解析】判断函数的奇偶性，以及函数在上的符号，利用排除法进行判断即可【详解】∵f(x)＝，∴，，∴函数是奇函数，排除D，当时，，则，排除B，C.故选：A10、A【解析】由题意结合辅助角公式可得，进而可得g(x)＝2sin，由三角函数的性质可得，化简即可得解.【详解】设f(x)＝cosx＋sinx＝2sin，向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin，∵g(x)的图象关于y轴对称，∴，∴m＝,由m>0可得m的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查了辅助角公式及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出的解析式，进而求得.【详解】设，幂函数的图像过点，，，，故答案为：12、①②③【解析】由诱导公式化简得函数，判断①正确；求出函数的图象的对称轴（），当时，，判断②正确；在锐角中，由化简得到，判断③正确；直接求出函数的最小正周期为，判断④错误；直接求出函数的对称中心是，判断⑤错误.【详解】①因为函数，所以函数是偶函数，故①正确；②因为函数，所以函数图象的对称轴（），即（），当时，，故②正确；③在锐角中，，即，所以，故③正确；④函数的最小正周期为，故④错误；⑤令，解得，所以函数的对称中心是，故⑤错误.故答案为：①②③【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、诱导公式与三角恒等变换，是中档题.13、【解析】将代入函数解析式，求出的取值范围，根据正弦取8次最大值，求出的取值范围【详解】因为，，所以，又函数在区间上恰有个最大值，所以，得【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由的取值范围推断的取值范围14、【解析】先求出定点的坐标，再代入幂函数，即可求出解析式.【详解】令可得，此时，所以函数(，且)的图象恒过定点，设幂函数，则，解得，所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用指数函数的性质和图象的特点得出，设幂函数，代入即可求得，.15、①.11②.54【解析】由平均数与方差的性质即可求解.【详解】解：由题意，数据，，…，的平均数为，方差为故答案：11，54.16、①.②.5【解析】（1）当时，，∴，又函数是奇函数，∴故当时，（2）当时，令，得，即，解得，即，又函数为奇函数，故可得，且∵函数是以3为周期的函数，∴，，又，∴综上可得函数在区间上的零点为，共5个答案：，5三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）当时，；当时，；（3）.【解析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求解作答.（2）利用（1）中函数，借助正弦函数的最值计算作答.（3）求出，再利用三角函数的奇偶性推理计算作答.【小问1详解】依题意，，由得：，所以函数的单调递减区间是.【小问2详解】由（1）知，当，即时，，当，即时，，所以，当时，，当时，.【小问3详解】由（1）知，，因函数为偶函数，于是得，化简整理得，而，则，所以的值是.18、（1）（2）或【解析】（1）由题意可得且，从而可求出的值，则得，然后求出的值域，进而可求出的值域，（2）函数，设，则，然后分和两种情况求的最值，列方程可求出的值【小问1详解】根据题意，二次函数的图象关于直线对称，则有，即，①又由方程即有两个相等的实数根，则有，②联立①②可得：，，则，则有，则，即函数的值域为；【小问2详解】根据题意，函数，设，则，当时，，则有，而，若函数在上有最小值，最大值，则有，解可得，即，当时，，则有，而，若函数在上有最小值，最大值，则有，解可得，即，综合可得：或19、（1）4（2）在区间上单调递减，证明见解析【解析】（1）直接根据即可得出答案；（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论.【小问1详解】解：由得，解得；【小问2详解】解：在区间内单调递减，证明：由（1）得，对任意，且，有，由，，得，，又由，得，于是，即，所以在区间上单调递减20、（1）为奇函数（2）【解析】（1）利用函数的奇偶性判断即可；（2）由（1）知为奇函数且单调递增，将不等式恒成立分离参数，利用基本不等式解得即可.【详解】（1）函数的定义域为，，所以为奇函数.（2）由（1）知奇函数且定义域为，易证在上单调递增，所以不等式恒成立，转化，即对恒成立，所以对恒成立，即，因，则，所以，即，所以，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，属于中档题.21、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）连接，推导出四边形是平行四边形，从而.再证出，.从而平面，同理平面，由此能证明平面平面（Ⅱ）推导出，，从而平面，，同理，由此能证明平面AB1D1，从而平面【详解】（Ⅰ）连接BC1，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1.又∵E，G分别是BC，CC1的中点，∴EG∥BC1，∴EG∥AD1.又∵EG⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴EG∥平面AB1D1.同理EF∥平面AB1D1，且EG∩EF=E，EG⊂平面EFG，EF⊂平面EFG，∴