广东省某中学2023-2024学年高二年级下册数学期末模拟试题（含答案解析）

广东省南执高级中学2023-2024学年高二下学期数学期末模拟

（一）试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.一质点/沿直线运动，位移》（单位：m）与时间/（单位：S）之间的关系为了（，）=r+2,

则质点4在f=3s时的瞬时速度为（）

A.-m/sB.5m/sC.6m/sD.8m/s

3

2.某体育场的看台有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位,

则该看台第一排的座位数为（）

A.15B.16C.17D.18

3.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中

摸出2个球，其中白球的个数为X,则X的数学期望是（）.

4r3c2_1

A.-B.-C.-D.一

5555

4.已知］、石分别为随机事件/、B的对立事件，尸（/）>0,尸（0>0,则下列等式错误

的是（）

A.尸（可/）+尸（同4）=尸（/）B.尸（8⑷+尸（同2）=1

C.若/、8独立，则"（/忸）=尸（/）D.若4、8互斥，则尸（/⑻=尸（叫Z）

5.数列｛4｝满足％=2,对=%匕，其前〃项的积为1,则心切=（）

an+i+1

A.1B.-6C.2D.3

6.5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计

试卷第1页，共6页

B.线性回归方程，=0.24x+&中&=0.26

C.x=5时，残差为0.02

D.可以预测x=6时该商场5G手机销量约为1.72（千只）

7.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现

有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有（）种

C.300D.420

8.若存在实数K,对任意xe/,/⑺上后⑺成立，则称/（可是g（x）在区间/上的“K倍

函数三知函数/（x）=（21nx+l）x和g（x）=lnx,若/（尤）是g（x）在（l,e］的“K倍函数”,

则K的取值范围是（）

二、多选题

9.已知函数/（无）=，T+lnx,则（）

A./（“在x=l处的切线为无轴B.f（x）是（0,+动上的减函数

C.x=l为/'（x）的极值点D.〃尤）最小值为0

10.2024年5月南海区统考中，南执高级中学高二年级各班数学单科状元及分数如下表：

班

1班2班3班4班5班6班7班8班9班10班

级

姓邓声曾文陈永廖欣郭庆邓志伍志黄锦邓俊

邓恒

名扬睿森仪琛彬聪国壕

分

113104103104818986998196

数

试卷第2页，共6页

班

11班12班13班14班15班16班17班18班19班

级

姓赵若邹如钟浩郑思董景梁美罗煜梁芷

尹铠

名冰玉原凡兆诗琳甄

分

917694757579698289

数

已知1-14班为文化班（其中1-9班为物理类，10-14班为历史类），15-19班为艺术班，且这

19位状元分数的平均分约为88.74分，标准差约为12.12,假设他们的分数服从正态分布

NJ。?），则下列说法正确的是（）附：若随机变量X服从正态分布则

P^/n-<y<X<〃+0.6827,P^/n-2<y<X<〃+2cr）氐0.9545,

A.P（76.62<X<\12.98）»0.8186

B.现有2份不同的奖品，分给文化班和艺术班各1人，共有70种情况

C.宣传部想给这些同学拍照，要求100分以上的同学须站在一起，则有种情况

D.从中抽取2位同学发言，在都来自文化班的前提下，物理类和历史类各1人的概率

为竺

91

11.已知数列｛%｝,S.为｛4｝的前"项和，其中q=T010,则下

为偶数

列结论正确的是（）

A.｛。“+。用｝是等差数列B.｛0,-｝是等差数列

C.5*2021=2021D.&=3033

三、填空题

12.展开式中的常数项为.

13.已知函数f（x）=（x+a）eX的最小值为-e?,则a的值为.

14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空

试卷第3页，共6页

间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下

一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个

口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,

重复进行"(”eN*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X“，恰有1个黑球的概率为

贝1Pi=;P„=-

四、解答题

15.公比不为1的正项等比数列｛%｝中，%%=3,且3%，2%,%成等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若，=2〃-1,令C"=ah，求｛c,｝的前〃项和S,.

16.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对

角线折叠后使用.如图所示，N3CD(43>4D)为长方形薄板，沿/C折叠后，AB，交DC于

点、P,当凹多边形/CB'PD的面积最大时制冷效果最好.

⑴设AB=x米，用x表示图中。尸的长度，并写出x的取值范围；

(2)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

17.疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传

染病最经济、有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比

试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在100名受访者中，60名接种灭活疫苗，剩

余40名接种核酸疫苗，根据临床试验数据绘制等高条形图如图所示.已知在接种灭活疫苗的

受访者中有6人抗体为阴性.

试卷第4页，共6页

(1)求等高条形图中。的值；

(2)根据所给数据，完成下面的列联表:

抗体情况灭活疫苗核酸疫苗总计

抗体为阳性

抗体为阴性

总计100

2

P(k>k0)0.150.100.05

左02.0722.7063.841

(3)依据小概率值a=0.01的独立性检验，判断两种疫苗的预防效果存在差异?

参考公式：AT2=-n-a+b+c+d

[a+b)[c+d)[a+c)(b+d)

18.已知函数f(x)=alnx-x+l(aeR).

⑴求函数/(x)的单调区间；

⑵对任意的X]、X2e(O,l],当看</时都有〃占)-/(与)<4,求实数。的取值范

围.

19.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着

若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡

有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块

碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块

试卷第5页，共6页

中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第

2层中间的小木块碰撞，以g的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉

入编号为1,2...,7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3

次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以1的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右

2

4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以工的概率向右滚下.

2

①②③④⑤⑥⑦

(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；

(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽

奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为J元，其中

^=|20-5X|.

(i)求X的分布列：

(ii)高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案CAAACBDBACDAD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】求导，再根据导数的定义即可得出答案.

【详解】解：由〉(。=产+2,

得V⑺=%，

则了⑶=6,

即质点/在I=3s时的瞬时速度为6m/s.

故选：C.

2.A

【分析】利用等差数列前n项和公式有20(%；的(>)=680求%,即得答案.

【详解】若第一排座位数为q,则%o=%+19x2=q+38,

20x(2^4-38)

所c以——[----=680,可得7%=15.

故选：A

3.A

【分析】由题意可知X可取01,2,然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出

期望.

【详解】由题意知X=0,l,2,

则尸(X=0)=|b；，尸(X=l)=兽=1,P(X=2)=K=g

CqoJ^10jo

1o24

所以E(X)=0x§+1x百+2xw.故A正确.

故选：A.

4.A

【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率性质，逐个判断.

答案第1页，共11页

【详解】由尸（叫勾+尸（同勾=丑篝=£*=1,故选项A错误，选项B正确;

若43独立，则尸（/3）=尸（/）尸（0，P（/忸）=甘胃=尸（/）,故选项C正确；

,、/,、P（AB）/।、P（AB）

若4B互斥,则P（/3）=0,尸（/同=避『=0,尸01）=胃［=0,故选项D正确.

故选：A.

5.C

【分析】由递推关系计算数列的前几项，得出数列的周期性，从而易得结论.

67,,—11+

【详解】由题意q=2,%=——，«„+1=-~~

%+i+l1-册

1+211

a2==-3，%=%,。5=2

因此数列S.｝是周期数列，且周期是4,而％。2。3。4=1，

所以^2021=^2020X。2021=4=2.

故选：C.

6.B

【分析】对于A,利用表中的数据分析即可求解；对于B,利用平均数的定义及样本中心,

结合样本中心在回归直线上即可求解；对于C,利用预测值和残差的定义即可求解；对于D,

利用回归方程即可求出预测值.

【详解】对于A,从数据看＞随x的增加而增加，所以变量y与x正相关，故A正确;

-1+2+3+4+5,-0.5+0.8+1+1.2+1.5,

对于B,由表中数据知,x=-----------------=5,y—----------------------------=1,

55

所以样本中心点为（3,1）,

将样本中心点（3』）代入夕=0.24尤+&中得力=1-3x0.24=0.28,故B错误；

对于C,线性回归方程为步=0.24X+0.28,

所以&=0.24x5+0.28=1.48,£=1.5-1.48=0.02，故C正确;

对于D,当x=6时该商场5G手机销量约为3=0.24x6+0.28=1.72（千只），故D正确.

故选：B.

7.D

答案第2页，共11页

【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可.

【详解】分两种情况讨论即可：

⑴②和④涂同种颜色时，

从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法,

，此时有5x4x1x3x3=180种涂法；

(ii)②和④涂不同种颜色时，

从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法,

此时有5x4x3x2x2=240种涂法；

，总共有180+240=420种涂色方法.

故选：D.

8.B

【分析】由题意，存在实数K,对任意xe(l,e],(21nx+l)xNKInx恒成立，再参变分离

构造g(x)=2》+丁匚，求导分析g(x)=2尤+:匚的单调性与最小值即可

InxInx

【详解】由题意，存在实数K,对任意xe(l,e],(21nx+l)xNKlnx恒成立，即2》+三学K

Inx

在xe(l,e]上恒成立.设g(x)=2x+高，则g'(x)=2+瑞=(2-,故当

xe(l,八)时，g,(x)<0,当时，gf(x)>0,故g(x)=2x+在在》=八处取得最

小值g(遂)=2人+/=46,故2x+^24左，所以K的取值范围是卜哈4正]

故选：B

9.ACD

【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A；结合函数的单调性与导数的关系,

判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D.

【详解】由题意知/(x)=』7+lnx,(x>0),故/(耳=一4+1=二，

XXJCX

故;■(“在X=1处的切线的斜率为尸(1)=0,而〃l)=l-l+lnl=0,

故/(x)在x=l处的切线方程为y-0=0(x-l),即y=0,

所以/"(X)在X=1处的切线为无轴，A正确;

答案第3页，共11页

当0<尤<1时，/f(x)<0,当x>l时，/f(x)>0,

故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，B错误；

由此可得x=l为/'(x)的极小值点，C正确；

由于在(0,+e)上/(无)只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，

最小值为〃1)=0,D正确,

故选：ACD

10.AD

【分析】对于A,由正态分布的对称性即可；对于B,分别从文化班和艺术班个选1人全排

即可；对于C,先排100分以上的4人，再将这4人捆绑与另外15人全排即可；对于D,

先计算两位同学都来自文化班的情况，再计算物理类和历史类各1人的情况即可.

【详解】对于A,由题意知，〃=88.74。=12.12,

所以

尸(76.62VXV112.98)=尸(〃一bVXV〃+2cr)

11

=一「尸r(〃-+R〃-2crVXV〃+20=-x(0.6827+0.9545)=0.8186,故A

2L-2

正确.

对于B,文化班14个，艺术班5个，即共有14仓62=140种，故B错误.

对于C,把100分以上的4人看成一个整体有A：种情况，

再和另外的15人一起有种情况，故有AbA［种情况，故C错误.

对于D,两位同学都来自文化班有C：种情况，而物理类和历史类各1人有CjC；,

C1C145

故概率为0P故D正确.

CM"1

故选：AD.

11.ABD

【分析】由题可得%+2+。用=。m+。"+2,进而可得｛&｝的奇数项是首项为%=-1010,公

差为2的等差数列，｛。“｝的偶数项是首项为。2=-W07,公差为2的等差数列，可判断AB,

然后通过求和公式计算可判断CD.

答案第4页，共11页

【详解】设〃为奇数，贝！1〃+1是偶数，"+2是奇数，贝1］0用=%+3,①

%+2=。“+1-1，②

a+aa

①+②得：„+2„+l=n+\+%+2,即an+2=。"+2,

所以｛%｝的奇数项是首项为%=7010,公差为2的等差数列,

同理｛。J的偶数项是首项为出=-1007,公差为2的等差数列,

故A,B正确；

所以邑021=(%++。5+…+/021)+(。2+。4+Q+…+fl2020)

1011x(1011-1)/△101041010-1

=-1010x1011+-------------x2-i(-1007)X1010H-------------x2=202i,

故C错误；

(2022A

又％022=%+2--1=1013,

S7nzi=82021+%)22=2020+1013=3033,故D正确.

故选：ABD.

12.---/—10.5

2

【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.

【详解】二项式(«一］］展开式的通项&|=C；x〒(-£|x-.C；x^

(0<r<9MreN),

令等=0,解得厂=3,所以展开式中常数项为=

故答案为：-当21

13.-3

【分析】利用导数求出最小值，列方程即可求出。

【详解】函数〃x)=(x+a户的定义域为R,/(x)=(x+a+l)e1

所以当xe(fo,-a-l)时,r(x)<0,y=f(x)单调递减;

答案第5页，共11页

当xe(-a-l,+oo)时，/(%)>0,y寸(x)单调递增，

所以函数/(%)=@+。)行的最小值为/(-0-1)=(-0-1+。)尸7=-e2,

解得：。=-3.

故答案为：-3.

【分析】由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得B，由全概率公式得递推

公式，构造等比数列即可求解P“.

C；C；+C；C；_5

【详解】由题意,Pi=

C；C；9

当“22(”N*)时，％=Pi+治产国i=0)+制居-=2)

=।Pn-1+।■［尸('I=0)+尸(X“_|=2)］=|Pi+g(1-P“-l)=-gPl+।，

日31(3、3532

故可知卜“-(］是以q为首项，以为公比的等比数列，所以p,=：(令+:•

故答案为：I";+|

15.⑴%=3"T

(2电=(1)3"+1

【分析】(1)设正项等比数列｛%｝的公比为q,利用基本量代换列方程组求出首项和公比,

即可求出通项公式；(2)利用错位相减法求和.

【详解】(1)设正项等比数列｛%｝的公比为q(4*1).

因为3%,2a%成等差数列，所以4%=3。2+。4，即4出夕=3?+七八

因为出力。，所以夕2一40+3=0,解得：q=3(1=1舍去).

又4。2=3,所以q21=3,解得：“1=1(%=—1舍去).

答案第6页，共11页

所以a”=%qi=3i.

（2）由（1）可知，。"=。也=（2〃-1）3"7.

所以E,=c1+c2+---+c„.1+c„

=l-3°+3-31+---+（2n-3）3^+①

①x3得：

2-1

3Sn=l-3*+3-3+•••+（2n-3）3"-^2n-l）3"②

②-①得:2S"=-L3°-2-3i-242-------2-3"-1+（2«-1）3"

所以工=（"一1）3"+1

16.⑴y=21-：（l<x<2）

（2）长为次米，宽为2-超■米时，制冷效果最好

【分析】⑴根据“0尸―CS'P可得尸/=PC=x-y,由勾股定理可得％x的关系，再根据

AB>ADnTWx的取值范围；

（2）设/CB'PD的面积为S,计算可得5=3-；12+|j（l<x<2）,利用导函数判断单调性

可得何时取最大值.

【详解】（1）由题意，AB=x,BC=2-x.

因x〉2—x,故l<x<2.

设。尸二贝l」PC=x—九因尸物△C3P,故尸4=PC=x—y.

由P/2=/£）2+Dp2,得（x-y）2=（2-x）2+y2ny=2，-：｝<x<2）.

（2）记凹多边形的面积为S,则

S=1X（2-X）+^1--J（2-X）=3-1|^X2+-^（1<X<2）,

求导得及=一；卜一［卜

当xw（l,3）时，S'>0；当xe（痣,2）时，s<0.

故函数S在（1,次）上递增，在（痣,2）上递减.

答案第7页，共11页

所以当X=④时，s取得最大值.

故当薄板长为啦米，宽为2-狙米时，制冷效果最好.

17.(1)0.9

(2)答案见解析

(3)没有证据认为两种疫苗的预防效果存在差异

【分析】(1)因为有6人抗体为阴性，故抗体阳性发生的概率为"暮=0.9,可得等高条

60

形图中a的值；

(2)由60名接种灭活疫的受访者中，有6人抗体为阴性，则有54人抗体为阳性，40名接

种核酸疫苗的受访者中，抗体阳性的为40x0.85=34人，则有6人抗体为阴性，即可完成列

联表；

(3)由列联表中的数据代入K?=___十算，结果和2.706比较，即

7[a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

可得到答案.

【详解】(1)由题意，在接种灭活疫苗的受访者中有6人抗体为阴性，

故抗体阳性发生的概率为里/=0.9,

6。

所以等高条形图中a的值为0.9.

(2)由等高条形图知注射核酸疫苗的40人中，抗体阳性的为40x0.85=34,

故可列联表如下：

抗体情况灭活疫苗核酸疫苗总计

抗体为阳性543488

抗体为阴性6612

总计6040100

⑶片」0°X(54X6-34X6)2

X0.568<2.706，

60x40x12x88

所以没有证据认为两种疫苗的预防效果存在差异.

答案第8页，共11页

18.（1）答案见解析

⑵［-3,+功

【分析】（1）求出函数/（X）的定义域与导数，对实数。的取值进行分类讨论，分析导数的

符号变化，由此可得出函数/（x）的增区间和减区间；

（2）设g（x）=〃x）-，，分析可知函数g（x）在（0』上为增函数，则g'（x）20在（0,1］上恒

成立，结合参变量分离法可得出。上［尤-士］，求出函数了=x-3在（0』上的最大值，即可

得出实数。的取值范围.

【详解】（1）解：函数〃x）定义域为（o,+8）,r（x）=1-i=^.

当aVO时，对任意的x>0,所以，函数/（无）的减区间为（0,+/）,无增区间；

当a>0时，由/'（x）<0得x>a,由/'（x）>0得0<x<a.

此时函数/（x）的增区间为（0,。），减区间为（见+<»）.

综上所述，当aVO时，函数“X）的减区间为（0,+功，无增区间；

当a>0时，函数/（x）的增区间为（0,。），减区间为（。,+℃）.

<1］\44

（2）解：由/（工1）一/（%2）<4------,即/（再）</（X2）.

二玉x2J再“2

因为王</，则g（xJ<g（X2）,所以，函数g（x）在（0,1］上单调递增,

所以，g，（x）=q_i+_420在（0』上恒成立，即aNx-3在（0,1］上恒成立，

XXX

只需3］，

IX人ax

44