2025版新教材高考数学一轮复习56基本计数原理排列与组合训练含解析新人教B版

五十六基本计数原理、排列与组合(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A．8 B．24C．48 D．120C解析：末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字随意排列，故这样的偶数共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＝4×3×2×2＝48个．故选C.2．已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为()A．7 B．9C．12 D．16C解析：得到圆的方程分两步：第一步，确定a有3种选法；其次步，确定b有4种选法．由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)不同的圆．3．(2024·石景山区高三一模)将4位志愿者安排到“糖酒会”的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的安排方案有()A．72种 B．36种C．64种 D．81种B解析：因为将4位志愿者安排到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，所以先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)安排方案．4．(2024·昆明模拟)现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数为()A．30 B．40C．60 D．90B解析：依据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，所以A，B，C相互调整座位有2种状况．故不同的调整方案有20×2＝40(种)．故选B.5．将甲、乙等5名交警安排到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的安排方案共有()A．18种 B．24种C．36种 D．72种C解析：1个路口3人，其余路口各1人的安排方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种，1个路口1人，2个路口各2人的安排方法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种．由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的安排方案为Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36种．6．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徽、羽，假如用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有()A．20种 B．24种C．32种 D．48种C解析：若角排在一或五的位置，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(种)；若角排在二或四的位置，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝8(种)．依据分类加法计数原理可得，共有24＋8＝32(种)排法．故选C.7．(2024·珠海市高三三模)甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有()A．210种 B．252种C．343种 D．336种D解析：分两种状况探讨：①每个楼层下1人，则3人下电梯的方法种数为Aeq\o\al(3,7)＝210；②3人中有2人从一个楼层下，另1人从其他楼层选一个楼层下，此时，3人下电梯的方法种数为Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,7)＝126.由分类加法计数原理可知，3人下电梯的方法有210＋126＝336(种)．故选D.8．从某校4个班级的学生中选出7名学生参与志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)20解析：由题意知，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有1名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成4份，共有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)不同的选法．9．(2024·哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场依次要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场依次共________种．36解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场依次要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有Aeq\o\al(2,2)种方法，然后插入1名男演员，有Aeq\o\al(1,3)种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法．依据分步乘法计数原理，可得不同的出场依次共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(种)．10．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空隙中插入无区分的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置支配隔板，故共有Ceq\o\al(3,10)＝120(种)放入方式．B组新高考培优练11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包嬉戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元、1个8元、1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的状况有()A．18种 B．24种C．36种 D．48种C解析：若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(种)；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(种)；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6(种)；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,3)＝6(种)．依据分类加法计数原理可得，共有36种状况．故选C.12．某小学6名教职工的私家车中有3辆为黑色、2辆为白色、1辆为红色，学校刚好备有6个并排的停车位，上班期间这6辆私家车每天都停在这6个车位上，则红色私家车不停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数为()A．144 B．288C．432 D．720B解析：(方法一)①当白色私家车停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻时，先排3辆黑色私家车，有Aeq\o\al(3,3)种状况，再将1辆红色私家车插入黑色私家车中间的2个空位中的任1个，有Ceq\o\al(1,2)种状况，最终将2辆白色私家车停在两端，有Aeq\o\al(2,2)种状况，此时不同的停车种数为Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝24；②当黑色私家车停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻时，先排3辆黑色私家车，有Aeq\o\al(3,3)种状况，再将剩下的3辆车作为整体插入黑色私家车中间的2个空位中的任1个，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)种状况，此时不同的停车种数为Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝72；③当车位两端一端停白色私家车、一端停黑色私家车时，先排3辆黑色私家车，有Aeq\o\al(3,3)种状况，(i)当红色私家车排在黑色私家车两边时，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种状况，(ii)当红色私家车排在黑色私家车中间时，有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2))种状况，此时不同的停车种数有Aeq\o\al(3,3)[Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2))]＝192(种)．综上，不同的停车种数共有24＋72＋192＝288(种)．故选B.(方法二)不考虑红色私家车的停靠位置，则3辆黑色私家车只有2辆相邻时，考虑从3辆黑色私家车中选出2辆捆在一起当作一个元素，与另一辆黑色私家车插入由2辆白色私家车、1辆红色私家车的全排列形成的4个空位中，停车种数有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝432(种)，而两端停靠红色私家车的种数有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝144(种)，所以红色私家车不停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数有432－144＝288(种)．故选B.13．(多选题)(2024·南京师大附中期中)有四名男生、三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有()A．假如四名男生必需连排在一起，那么有720种不同排法B．假如三名女生必需连排在一起，那么有576种不同排法C．假如女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D．假如三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法CD解析：A中，假如四名男生必需连排在一起，将这四名男生捆绑，作为一个“元素”，此时，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝576(种)不同的排法，A选项错误；B中，假如三名女生必需连排在一起，将这三名女生捆绑，作为一个“元素”，此时，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝6×120＝720(种)不同的排法，B选项错误；C中，假如女生不能站在两端，则两端支配男生，其他位置的支配没有限制，此时，共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝12×120＝1440(种)不同的排法，C选项正确；D中，假如三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此时，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝24×60＝1440(种)不同的排法，D选项正确．故选CD.14．(多选题)(2024·赣榆区期中)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中随意抽出3件，则()A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)种B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98))种C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98))种D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98))种ACD解析：由题意知，抽出的3件产品恰好有一件不合格品，则抽出的3件产品包括1件不合格品和2件合格品，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)种结果，则选项A正确，B不正确；依据题意，“至少有1件不合格品”可分为“有1件不合格品”与“有2件不合格品”两种状况，“有1件不合格品”的抽取方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)种，“有2件不合格品”的抽取方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)种，则共有(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98))种不同的抽取方法，选项C正确；“至少有1件不合格品”的对立事务是“3件都是合格品”，“3件都是合格品”的抽取方法有Ceq\o\al(3,98)种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98))种，选项D正确．故选ACD.15．(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是()A．假如甲、乙必需相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲、乙不相邻的排法种数为72D．甲、乙、丙按从左到右的依次排列的排法有20种ABCD解析：对于选项A，甲、乙必需相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)，故A正确；对于选项B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝42(种)，故B正确；对于选项C，甲、乙不相邻的排法种数为Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72，故C正确；对于选项D，甲、乙、丙按从左到右的依次排列的排法有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))＝20(种)，故D正确．故选ABCD.16．(2024·上饶联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为____．10解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将