（圆梦高考数学）专题9.2 圆的方程（含答案及解析）

专题9.2圆的方程题型一求圆的方程题型二二元二次方程表示的曲线与圆的关系题型三点与圆的位置关系题型四圆的对称的应用题型五直线与圆的位置关系题型六圆与圆的位置关系题型七圆的（公共）弦长问题题型八圆的（公）切线与切线长题型九距离的最值问题题型一 求圆的方程例1．（2022选修第一册北京名校同步练习册）圆的半径为（

）A．2 B．4 C．8 D．16例2．（2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知圆过点，，，则圆的方程为___．练习1．（2022·高三单元测试）已知为圆的直径，点的坐标为，则点的坐标为______．练习2．（2021春·河北·高二统考学业考试）若圆C：的半径为1，则实数（

）A． B． C． D．练习3．（2023·全国·高三对口高考）经过三点的圆的方程为________．练习4．（2022秋·高三校考课时练习）已知圆心的坐标为（2，-3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为________.练习5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．(1)求直线的方程；(2)求圆的标准方程．题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系例3．（2022-2023学年高二同步练习）设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.例4．（2023届甘肃省定西市高三下学期高考模拟考试文科数学试题）若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．练习6．（2023秋·甘肃天水·高三统考期末）若方程表示圆，则的取值范围是________．练习7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件练习8．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．练习9．（2022秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（

）A． B．2 C．0 D．练习10．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程表示的几何图形是（

）A．一点和一圆 B．两点 C．一圆 D．两圆题型三 点与圆的位置关系例5．（2023秋·福建三明·高三统考期末）（多选）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（

）A． B． C． D．例6．（2022秋·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．练习11．（2023·高三课时练习）直线与的交点在曲线上，则______．练习12．（2023春·湖南·高三校联考期中）若不同的四点共圆，则实数__________．练习13．（2022秋·高三单元测试）直线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定练习14．（2023·全国·高三专题练习）点与圆的位置关系是（

）．A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定练习15．（2023·浙江·高三专题练习）（多选）已知圆的方程为，对任意的，该圆（

）A．圆心在一条直线上 B．与坐标轴相切C．与直线不相交 D．不过点题型四 圆的对称的应用例7．（2022-2023学年广东省深圳中学高三上学期期中数学试题）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为__________．例8．（2023届江西省新八校高三第二次联考数学（理）试题）已知圆关于直线对称，则的最小值为（

）A．3 B． C．2 D．练习16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）（多选）已知圆，则下列说法正确的有（

）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称练习17．（2022·全国·高二专题练习）若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________．练习18．（2022秋·江苏南通·高三统考期末）已知A，B是圆的一条直径上的两个端点，则（）A．0 B．19 C． D．1练习19．（2022秋·广东广州·高三校考期末）已知圆关于直线对称，则___________.练习20．（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为题型五 直线与圆的位置关系例9．（2023届北京名校高三一轮总复习）若直线与圆相交，则点（

）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能例10．（2022北京名校同步练习册）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交练习21．（2023春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的取值范围______________．练习23．（2023·四川·校联考模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为__________.练习24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设集合，，则的真子集个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4练习25．（2023·江苏南通·三模）（多选）直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则(

).A．线段最短长度为 B．的面积最大值为C．无论为何值，与圆相交 D．不存在，使取得最大值题型六 圆与圆的位置关系例11．（2022北京名校同步练习册）当为何值时，两圆和.(1)外切；(2)相交；(3)外离.例12．（2022届深圳中学高三下学期）已知圆C过点且与圆切于点，则圆C的方程为__________.练习26．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________.练习27．（2023秋·高三课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或练习28．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4练习29．（2023春·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切练习30．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为______.题型七 圆的（公共）弦长问题例13．（2023届安徽省定远中学高三下学期考前押题数学试卷）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．例14．（2023届东莞定远中学高三下学期）与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（

）A．B．C．或D．或练习31．（2023·广东深圳·校考二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为___________.练习32．（2023·江西·统考模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为___________.练习33．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．练习34．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（

）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若分别是圆上的动点，则练习35．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则___________．题型八 圆的（公）切线与切线长例15．（2023届四川省成都市树德中学高三适应性考试文科数学试题）若直线，与相切，则最大值为（

）A． B． C．3 D．5例16．（2023届北京市师大附属中学高三适应性练习数学试题）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2练习36．（2023·天津南开·统考二模）若直线与圆相切，则______.练习37．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是________.练习38．（2023春·贵州·高三遵义一中校联考阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________.练习39．（2023·全国·高三专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.练习40．（2023秋·高三课时练习）在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切(1)求圆O的方程；(2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程．题型九 距离的最值问题例17．（2023届广西邕衡金卷高三第三次适应性考试数学（理）试题）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（

）A． B． C． D．例18．（2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高三上学期期末文科数学试题）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．练习41．（2023·全国·校联考三模）已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为______.练习42．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.练习43．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______．练习44．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的面积最小值为（

）A．3 B． C． D．练习45．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．

专题9.2圆的方程题型一求圆的方程题型二二元二次方程表示的曲线与圆的关系题型三点与圆的位置关系题型四圆的对称的应用题型五直线与圆的位置关系题型六圆与圆的位置关系题型七圆的（公共）弦长问题题型八圆的（公）切线与切线长题型九距离的最值问题题型一 求圆的方程例1．（2022选修第一册北京名校同步练习册）圆的半径为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】将圆的方程配成标准式，即可判断.【详解】圆，即，所以半径.故选：B例2．（2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知圆过点，，，则圆的方程为___．【答案】【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.【详解】根据题意，设圆的方程为又由圆过点，，，则有，解可得，，，即圆的方程为：，故答案为：.练习1．（2022·高三单元测试）已知为圆的直径，点的坐标为，则点的坐标为______．【答案】【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设，再利用中点坐标公式得到方程组，解得即可.【详解】解：圆即，所以圆心坐标为，设，又因为，所以由中点坐标公式得，解得，所以点的坐标为．故答案为：练习2．（2021春·河北·高二统考学业考试）若圆C：的半径为1，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.【详解】由，得，所以圆C的圆心为，半径为，因为圆C：的半径为1，所以，解得，故实数.故选：D.练习3．（2023·全国·高三对口高考）经过三点的圆的方程为________．【答案】【分析】设圆的一般方程，用待定系数法求解即可.【详解】设圆的方程为，则，∴圆的方程为：.故答案为：练习4．（2022秋·高三校考课时练习）已知圆心的坐标为（2，-3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为________.【答案】x2+y2-4x+6y=0【分析】依题意可判断出圆恰好过原点，从而可求出圆的半径，圆的标准方程，再化为一般方程即可.【详解】因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为，所以圆的标准方程为，化为一般方程为x2+y2-4x+6y=0.故答案为：x2+y2-4x+6y=0练习5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．(1)求直线的方程；(2)求圆的标准方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设，代入得出直线的方程；（2）设圆心，根据得出圆的标准方程.【详解】（1）由题设，代入得，于是的方程为.（2）设圆心，则，即，解得：，，又圆心，圆的标准方程为.题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系例3．（2022-2023学年高二同步练习）设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.【答案】，.【分析】将方程配方，利用圆的方程建立不等式，即可求出实数m的取值范围；然后根据圆的圆心坐标，再消去参数，根据实数m的取值范围，可求得圆心的轨迹方程．【详解】配方得，若该方程表示圆，则有，得.由标准方程知圆心的轨迹方程为，消去m，得.由，得.故所求的轨迹方程是，.例4．（2023届甘肃省定西市高三下学期高考模拟考试文科数学试题）若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；由点在圆的外部可知：，得.故.故选：C练习6．（2023秋·甘肃天水·高三统考期末）若方程表示圆，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据圆的一般方程的形式，列出关于不等式，即可求解.【详解】由方程表示圆，则满足，整理得，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：.练习7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.【详解】，即，∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：A.练习8．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合点在圆外条件，及表示圆的方程可得答案.【详解】因在圆外，则，得.又表示圆，则，得.综上：.故选：D练习9．（2022秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零.【详解】由，可得，所以，解得或，选项中只有符合题意.故选：D.练习10．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程表示的几何图形是（

）A．一点和一圆 B．两点 C．一圆 D．两圆【答案】A【分析】分，讨论，结合条件及圆的方程即得.【详解】由可得，当时，，即表示以为圆心，以为半径的圆，当时，，即，表示点，综上，方程表示的几何图形是一点和一圆.故选：A.题型三 点与圆的位置关系例5．（2023秋·福建三明·高三统考期末）（多选）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用代入验证法确定正确答案.【详解】，A选项正确.，B选项错误，，C选项正确.，D选项错误.故选：AC例6．（2022秋·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D练习11．（2023·高三课时练习）直线与的交点在曲线上，则______．【答案】【分析】先联立方程求出两直线的交点坐标，再代入曲线的方程进行求解.【详解】联立，得，即直线与的交点为，因为两直线的交点在曲线上，所以，解得.故答案为：.练习12．（2023春·湖南·高三校联考期中）若不同的四点共圆，则实数__________．【答案】-1或5【分析】先由A、B、C三点确定其外接圆，再计算即可.【详解】易知圆心在线段的垂直平分线上，该直线方程为，设圆心坐标为，半径为，所以，解得，所以所求圆的方程为，点在圆上，所以，解得或．故答案为：-1或5练习13．（2022秋·高三单元测试）直线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定【答案】A【分析】易得直线过定点，判断出点与圆的位置关系即可得出结论.【详解】由直线，得，令，则，所以直线过定点，因为，所以点在圆内，所以直线与圆相交.故选：A.练习14．（2023·全国·高三专题练习）点与圆的位置关系是（

）．A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定【答案】C【分析】由点到原点距离与圆半径大小比较，即可判断点、圆位置关系.【详解】因为，所以点在圆外．故选：C练习15．（2023·浙江·高三专题练习）（多选）已知圆的方程为，对任意的，该圆（

）A．圆心在一条直线上 B．与坐标轴相切C．与直线不相交 D．不过点【答案】ABC【分析】对A：显然圆心在上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用圆心到直线的距离判断；对D：将点代入圆方程看是否有解.【详解】对于：显然圆心在故A对；对于B：圆心到坐标轴的距离均为，等于圆的半径，故该圆与坐标轴相切，B正确；对于C：圆心到直线距离，故相离，C对；对于D：将点代入圆方程得，显然，故有解，所以可能过点错；故选：ABC．题型四 圆的对称的应用例7．（2022-2023学年广东省深圳中学高三上学期期中数学试题）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为__________．【答案】20【分析】由圆关于直线对称列方程求，由此确定圆的圆心坐标和半径，设，由直线与圆有公共点，列不等式求的范围及最大值.【详解】方程可化为，所以圆的圆心为，半径为，因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则，所以，所以，所以的最大值为20，故答案为：20.例8．（2023届江西省新八校高三第二次联考数学（理）试题）已知圆关于直线对称，则的最小值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用特殊值“1”将化成积为定值的形式，再用基本不等式即可求解.【详解】解：由题意可知，圆心在直线上，则，又因为，，所以，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值．故选：D．练习16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）（多选）已知圆，则下列说法正确的有（

）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】ABC【分析】求得圆心，结合对称性确定正确答案.【详解】圆即，所以圆心为，A选项，为圆心，所以圆关于点对称，A正确.直线，直线过圆心，所以圆关于直线、直线对称，BC选项正确.直线不过圆心，所以D选项错误.故选：ABC练习17．（2022·全国·高二专题练习）若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________．【答案】4【分析】根据圆关于直线和直线都对称，由圆心在直线上，也在直线上求解.【详解】圆的圆心为，因为圆关于直线和直线都对称，所以圆心在直线上，也在直线上，所以，解得，所以，故答案为：4练习18．（2022秋·江苏南通·高三统考期末）已知A，B是圆的一条直径上的两个端点，则（）A．0 B．19 C． D．1【答案】B【分析】设，则，利用数量积公式以及圆的方程得出答案.【详解】圆心坐标为，设，则，.故选：B练习19．（2022秋·广东广州·高三校考期末）已知圆关于直线对称，则___________.【答案】/【分析】由圆的方程可确定圆心，根据直线过圆心可构造方程求得结果.【详解】由圆方程知：圆心；圆关于直线对称，直线过圆的圆心，，解得：.故答案为：.练习20．（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由，得，所以圆心为，半径为，由题意可得直线经过圆心，故有，即，所以半径为，当时，圆C的半径的最小值为.故选：C.题型五 直线与圆的位置关系例9．（2023届北京名校高三一轮总复习）若直线与圆相交，则点（

）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能【答案】B【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系确定点与圆的位置关系即可.【详解】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：，即，据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外.故选：B.例10．（2022北京名校同步练习册）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【答案】C【分析】由题意可得，结合圆心到直线的距离判断与半径的大小关系，即得答案.【详解】由题意知为圆内异于圆心的一点，则，而圆：的圆心到直线的距离为，故直线与该圆的位置关系为相离，故选：C练习21．（2023春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】C【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.【详解】由题知，圆心坐标，半径，将直线化为点斜式得，知该直线过定点，又，故该定点在圆内，所以该直线与圆必相交.故选：C练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的取值范围______________．【答案】【分析】令，利用圆心到直线距离小于等于半径可解.【详解】将化为，表示以为圆心，为半径的圆，令，即，由题可知，直线和圆有公共点，所以，即，解得.即的取值范围为.故答案为：练习23．（2023·四川·校联考模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为__________.【答案】【分析】根据题意转化为圆上的点与定点之间的连线的斜率，结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，设，且可得表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的点，如图所示，在直角中，可得，可得直线的斜率为；在直角中，可得，可得直线的斜率为，所以的范围为.故答案为：.

练习24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设集合，，则的真子集个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出再求真子集个数即可．【详解】依题意表示直线与圆的交点的集合，则，所以的真子集个数为个．故选：C．练习25．（2023·江苏南通·三模）（多选）直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则(

).A．线段最短长度为 B．的面积最大值为C．无论为何值，与圆相交 D．不存在，使取得最大值【答案】CD【分析】求出直线经过的定点，也可知直线斜率一定存在，结合弦长的几何求法可判断A；结合三角形面积公式以及l的位置可判断B；根据定点在圆内可判断C，结合圆周角和弧长之间的关系可判断D.【详解】由直线可知，该直线过定点,且直线斜率一定存在，当时，弦的弦心距最长，则长最短为，此时的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；的面积为,若的面积取到最大值，则为直角，由于,此时，与题意矛盾，B错误；由于直线过定点,在内，故无论为何值，与圆相交，C正确；为圆上任意一点，假设当与x轴垂直时，如图中虚线位置，此时劣弧最短，最大，但由于直线l斜率存在，故直线取不到图中虚线位置，即不存在，使取得最大值，D正确，故选：CD题型六 圆与圆的位置关系例11．（2022北京名校同步练习册）当为何值时，两圆和.(1)外切；(2)相交；(3)外离.【答案】(1)或(2)或(3)或【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距，由列式，即可求解.（2）由列不等式组，即可求出的范围.（3）由列不等式，即可求出的范围.【详解】（1）设圆，半径为，得，圆心，.，半径为，得，圆心，.圆心距，因为两圆外切，则，所以，解得或.（2）因为两圆相交，则，即，所以，解得或.（3）因为两圆外离，则，即，所以，解得或.例12．（2022届深圳中学高三下学期）已知圆C过点且与圆切于点，则圆C的方程为__________.【答案】【分析】根据条件求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程.【详解】因为圆C过点且与圆切于点，可知圆C与的公切线为，且圆C过点，过点作切线的垂线，即为轴，可知圆心C在此垂线上，即圆心C在轴上，设圆C，又圆C过点，且圆C过点，由圆心到圆上任一点距离相等，且为半径，所以，可得，从而半径，所以圆C的方程为.故答案为：.练习26．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________.【答案】【分析】由两圆外切，两圆心所在直线与圆中弦的垂直平分线交点即为，再求出半径，即可得圆的方程.【详解】如图所示：过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为.由得，则圆的半径，所以圆的方程为.故答案为：练习27．（2023秋·高三课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】圆与圆相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式．【详解】圆与圆相交，两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，即，所以.解得或.故选：B练习28．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；圆的圆心坐标为，半径为3，所以两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.练习29．（2023春·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【分析】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.【详解】两圆化为标准形式，可得与圆，可知半径，，于是，而，故两圆相交，故选：.练习30．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为______.【答案】，【分析】设动圆的半径为，则有，再由两圆外切得到，进而得到，再利用双曲线的定义求解.【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，所以，即，所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，则，，，所以轨迹方程为，，即，.故答案为：，题型七 圆的（公共）弦长问题例13．（2023届安徽省定远中学高三下学期考前押题数学试卷）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆圆心与半径表达式可得答案.【详解】与两式相减得，即公共弦所在直线方程.圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，半弦长为，则有，解得或（舍），此时故选：.例14．（2023届东莞定远中学高三下学期）与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为即可求得圆的方程.【详解】由圆心在直线上，可设圆心坐标为，又因为与y轴相切，所以半径，易知圆心到直线的距离为，根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线被截得的弦长为，所以，解得；当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为；当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为.故选：C练习31．（2023·广东深圳·校考二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为___________.【答案】【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，分析可得直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解.【详解】圆，即，圆心为，半径，若弦长，则圆心到直线的距离，显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，所以，解得，所以直线方程为.故答案为：练习32．（2023·江西·统考模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为___________.【答案】12【分析】根据直线与圆相交弦长公式确定弦长及圆心到直线得距离，即可求的面积.【详解】圆：，得圆心为，半径为，圆心到直线的距离，因此，所以.故答案为：.练习33．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．【答案】【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.【详解】联立，两式相减得.故答案为：练习34．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（

）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若分别是圆上的动点，则【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；做差可得与相交弦的方程为到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；若分别是圆上的动点，则，故D正确.故选：BD练习35．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则___________．【答案】【分析】根据题意，由条件两圆方程作差可得直线方程，然后再求得圆心到直线的距离，再由勾股定理即可得到结果.【详解】因为圆与圆交于A，B两点，则两圆方程相减可得，即直线方程为，又因为直线AB的倾斜角为，则斜率，又因为，即，则，所以直线方程为，圆心到直线的距离为，所以.故答案为：.题型八 圆的（公）切线与切线长例15．（2023届四川省成都市树德中学高三适应性考试文科数学试题）若直线，与相切，则最大值为（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】由条件可得，然后设，由三角函数的知识可得答案.【详解】的圆心为，半径为，因为直线，与相切，所以，即，所以可设，所以，其中，故选：B例16．（2023届北京市师大附属中学高三适应性练习数学试题）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.【详解】圆：中，圆心，半径设，则，则,当时，，故选：C练习36．（2023·天津南开·统考二模）若直线与圆相切，则______.【答案】/0.75【分析】由圆心到切线的距离等于半径求解．【详解】由题意圆心为，半径为2，所以，解得．故答案为：．练习37．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是________.【答案】【分析】求出以为直径的圆的方程,将两圆的方程相减,即可求解.【详解】圆的圆心为,半径为2，以为直径的圆的方程为,将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程.故答案为:.练习38．（2023春·贵州·高三遵义一中校联考阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________.【答案】【分析】第一空，，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案；第二空，设，表示出以为直径的圆的方程，和圆的方程相减，可得直线的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标.【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为，连接,则,设，则,故,当垂直于直线时，d最小，所以，所以；由于点A是直线上的一个动点，设点，线段的中点设为P，则，且，所以以线段为直径为圆的方程为，即，将方程与作差可得，即直线的方程为，可得，由于,故，因此，直线恒过定点，故答案为：；练习39．（2023·全国·高三专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.【答案】或或（三条中任写一条即可）【分析】根据两圆公切线的知识求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；与的距离为，所以两圆外切.过与的直线方程为.由图可知，直线是两圆的公切线，由解得，设，设两圆的一条公切线方程为，到直线的距离为，即，解得，所以两圆的一条公切线方程为，即.由两式相减并化简得，所以两圆的公切线方程为或或.故答案为：或或（三条中任写一条即可）练习40．（2023秋·高三课时练习）在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切(1)求圆O的方程；(2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）根据圆与直线相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求得半径，可得答案