第07讲确定圆的条件（教师版）九年级数学上册讲义（苏科版）

对称图形圆2.3确定圆的条件目标导航目标导航课程标准课标解读能用尺规作图过不在同一直线上的三点作圆作三角形的外接圆1.了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。2.理解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。知识精讲知识精讲知识点01确定圆的条件确定圆的条件：不在同一直线的三点确定一个圆。外心概念：三角形的三个顶点确定一个圆，改圆称为该三角形的外接圆，三角形称为圆的内接三角形。外接圆的圆心称为三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点。掌握过不在同一直线上三点作圆的尺规作图方法。【微点拨】1.定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2.三角形的外接圆．3.定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，4.这个三角形叫做这个圆的内接三角形5.三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．【即学即练1】下列命题正确的是（

）A．两点之间，直线最短B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等【答案】C【解析】解：A．两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；B．多边形的外角和是360°，故选项错误，不符合题意；C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意；D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行或者在同一条直线上，并且相等，故选项错误，不符合题意．故选：C．【即学即练2】如图，⊙是的外接圆，则点是的（

）A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点【答案】B【解析】∵⊙O是三角形的外接圆，∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点.故选：B.能力拓展能力拓展考法01三角形的外接圆【典例1】下列命题中，是真命题的是（）A．三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形【答案】D【解析】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角角平分线的交点是三角形的内心，故为假命题，不符合题意；B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不符合题意；C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故为假命题，不符合题意；D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，为真命题，符合题意．故选D．考法02尺规作图：三角形的外接圆【典例2】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：①作线段的垂直平分线；②作线段的垂直平分线，交于点；③以为圆心，长为半径作．结论Ⅰ：点是的内心．结论Ⅱ：．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（

）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【答案】B【解析】由作图可知，点O为三角形三边垂直平分线的交点，因此点O为三角形的外心，与不一定相等，所以结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对，故B正确．故选：B．分层提分分层提分题组A基础过关练1．下列判断中正确的是（

）A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦 D．三点确定一个圆【答案】C【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；故选C．2．下列说法错误的是（）A．已知圆心和半径可以作一个圆B．经过一个已知点A的圆能做无数个C．经过两个已知点A，B的圆能做两个D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆【答案】C【解析】解：A.已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；B.经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；C.经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；D.经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；故选：C．3．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【答案】A【解析】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．4．Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r＝5cm，则斜边AB的长是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm【答案】A【解析】解：∴Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r＝5cm，∴斜边AB＝2r＝10cm，故选：A．5．∆ABC的三边长分别为6,8,10，则∆ABC的外接圆的半径为_______.【答案】5【解析】解：∵62＋82=102∴∆ABC是直角三角形，∴∆ABC的外接圆的半径=斜边=5故答案为5.6．如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．【答案】（2，0）【解析】解：如图所示：D（2，0），故答案为：（2，0）．7．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．【答案】线段的垂直平分线的性质【解析】解：如图，连接，∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC=OB，∴⊙O为的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．8．已知△ABC的一边长为10，另两边长分别是方程x214x480的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_______________．【答案】5【解析】解：解方程x214x+48=0得：x1=6，x2=8，即△ABC的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片正好是△ABC的外接圆，∴△ABC的外接圆的半径是AB=5，故答案为5．题组B能力提升练1．下列各命题中，真命题是（

）A．两点之间，射线最短 B．不在同一直线上的三个点确定一个圆C．对角线相等的四边形是矩形 D．三角形的外心是三角形三条高的交点【答案】B【解析】解：A、两点之间线段最短，故该项不是真命题；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故该项是真命题；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故该项不是真命题；D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故该项不是真命题；故选：B．2．下列命题是真命题的是（

）A．内错角相等 B．四边形的外角和为180°C．等腰三角形两腰上高相等 D．平面内任意三点都可以在同一个圆上【答案】C【解析】解：A、内错角不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、四边形的外角和为360°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、等腰三角形两腰上高相等，故原命题正确，是真命题，符合题意；D、平面内不在同一条直线的三点可以在同一个圆上，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选C．3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）【答案】B【解析】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，∴点M为AC中点，∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），设点C横坐标为（x,y）,∴，解得x=5，y=2，∴点C（5，2），∵AB⊥x轴，∴点A，B的横坐标相同都是3，∵∠ABC＝90°，∴BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标相同都是2，∴点B（3，2）．故选：B．4．如图所示，在的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（

）A．外心 B．重心 C．中心 D．内心【答案】A【解析】解：∵∴O是△ABD的外心故选A5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______．【答案】【解析】解：，，解得，当时，不能构成三角形；当时，，这个三角形是斜边为5的直角三角形，该三角形外接圆的半径为，故答案为：．6．如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于________．【答案】5【解析】解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可知道点到点A，B，C的距离相等，如下图：，，故答案是：5．7．经过两点可以做______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆．【答案】

无数

三【解析】解：经过两点可以做无数个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆，故答案为：无数，三．8．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为_______．【答案】(2，0)【解析】∵，，∴AB的垂直平分线为设圆心为∵点O也在BC的垂直平分线上，∴根据勾股定理得解得∴圆心坐标为故答案为：(2，0)．9．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．【答案】见解析【解析】解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆．10．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹）（1）在图①中作弦EF，使EF∥BC；

（2）在图②中过点A作线段BC的中垂线．【答案】（1）如图①中，线段EF即为所求．见解析；（2）如图②中，直线AG即为所求．见解析.【解析】解：（1）如图①中，线段EF即为所求．（2）如图②中，直线AG即为所求．题组C培优拔尖练1．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E在AB上，=，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（

）A．4 B．2 C．22 D．24【答案】C【解析】解：∵AB=，=，∴，，如图，以BE为边在矩形内作等边三角形BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点P与点M重合时，PD最短，过点O作OG⊥AD于点C，作OH⊥AB于点H，连接OB，∵△BEF为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴OH垂直平分BE，∴∠OBH=30°，，∴OH=，，∴DG=ADAG=ADOH=51=4，OG=ABBH=，在Rt△DOG中，，∴，故选：C．2．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连结CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论：①∠ADC＝40°②∠ACD＝70°③点D为△ABC的外心④∠ACD＝90°，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】由题意可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∠B＝∠BCD＝20°，∴∠ADC＝∠BCD+∠CBD＝40°，故A选项正确；又∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，又∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，∴∠ACD＝70°，故B选项正确，D选项错误；∵AD＝CD，BD＝CD，∴AD＝BD，即D是AB的中点，故C选项正确；故选B．3．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（

）①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3，BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC=5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【答案】C【解析】经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故选C.4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在上，若点P是的一个动点，则面积的最大值是______．【答案】【解析】解：连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，由图可知，∴，∴，∵要使△APB的面积最大，即点P到AB的距离要最大，∴当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大，∴此时，故答案为：．5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．（Ⅰ）四边形外接圆的半径为__________．（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．【答案】

取格点，连接，交于点．连接并延长交圆于点，连接即为所求．【解析】解：（Ⅰ）四边形ABCD外接圆的圆心位于格点O的位置，连接OA，OB，OC，OD，由题意可得OA=OB=OC=OD=故答案为：（Ⅱ）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，由格点特征结合四边形外接圆的半径可得△EFK≌△ODG，∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD∴点P是的中点∴∠CAP=∠DAP∴即为所求6．如图，点是外心，，是的中点，（1）连接，则______；（2）若，是边上的高，则的大小为______．【答案】

30°

23°【解析】解：（1）如图1，连接OC，点是外心，OA=OB=OC，，，，，，．故答案为：30°；（2）如图2，连接OC，OB=OC，是的中点，=30°，，，=90°30°=60°，，，，，，，，，是边上的高，．故答案为：23°．7．如图，点是的边上一点，，，相交于点．(1)求证：；(2)若．①当时，求的度数；②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)①；②【分析】(1)证明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴；(2)解：①∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．②．∵的外心在其内部，∴为锐角三角形，∴，，∴．8．如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．（1）将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到△A