专题07因式分解（4个知识点13种题型）原卷版

专题07因式分解（4个知识点13种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解知识点2.公式法因式分解知识点3.十字相乘法法因式分解知识点4.分组分解法法因式分解【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式）题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式）题型4.用提公因式法分解因式的简单应用题型5.利用平方差公式分解因式题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式题型7.完全平方式题型8.利用完全平方公式分解因式题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式题型10.十字相乘法题型11.十字相乘法的灵活应用题型12.利用分组分解法分解因式题型13.分组分解法的灵活应用【方法三】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．知识点2.公式法因式分解1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．知识点4.十字相乘法法因式分解十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．知识点5.分组分解法法因式分解如何将多项式因式分解？分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于,而：．这样就有：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念1．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）2．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2 B．（a+4）2＝a2+8a+16 C．a2+8a+16＝a（a+8）+16 D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式）3．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．4．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．5．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．6．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式）7．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．8．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a（a﹣b）+b（b﹣a）＝．9．（2022秋•浦东新区校级期中）2m（a﹣c）﹣5（a﹣c）．10．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）11．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．题型4.用提公因式法分解因式的简单应用12．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．题型5.利用平方差公式分解因式13．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2﹣＝．14．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：x4﹣16＝．15．（2022秋•黄浦区期中）分解因式：﹣（a+b）2+1＝．16．（2022•黄浦区校级二模）分解因式：x2﹣4y2＝．17．（2022秋•上海期末）分解因式：9a2﹣25（a+b）2．18．（2022秋•黄浦区期中）分解因式：25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式19．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：4x2﹣16＝．20．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：3a（a+b）2﹣27ab2．题型7.完全平方式21．（2022秋•青浦区校级期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的（）A．x2+x+1 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+2x+4 D．x2﹣x+题型8.利用完全平方公式分解因式22．（2022秋•黄浦区期中）因式分解：（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．23．（2022秋•长宁区校级期中）（m+n）2+6（m2﹣n2）+9（m﹣n）2．24．（2022秋•长宁区校级期中）分解因式：m（m﹣4）+4．题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式25．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．26．（2022秋•长宁区校级期中）分解因式：﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2．27．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：3a2+12ab+12b2．题型10.十字相乘法28．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：2x2﹣6x﹣8＝．29．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．30．（2022秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．31．（2022秋•奉贤区期中）分解因式：ax4﹣14ax2﹣32a．32．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．33．（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．34．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．35．（2021秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．36．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．题型11.十字相乘法的灵活应用37．（2022秋•静安区校级期中）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．2238．（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7 B．2 C．﹣2 D．﹣739．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2 B．3 C．4 D．540．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．41．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．题型12.利用分组分解法分解因式42．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．43．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．44．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．45．（2022秋•闵行区校级期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．46．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．47．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．48．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．49．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．50．（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．51．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．题型13.分组分解法的灵活应用52．（2022秋•静安区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．53．（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．【方法三】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）单项式与单项式的公因式是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·上海·七年级阶段练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A． B．C． D．4．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（）A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，65．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2020秋·上海浦东新·七年级校考期中）因式分解：．8．（2020秋·上海浦东新·七年级校考期中）当达到最大值时，．9．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解．10．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：．11．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：．12．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）若整式含有一个因式，则m的值是．13．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式：．14．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）已知，则的值为15．（2022秋·上海松江·七年级校考阶段练习）因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=．16．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知，，则的值为．17．（2021秋·上海·七年级期中）因式分解：（1）（2）18．（2022秋·上海·七年级专题练习）若a,b,c满足，则三、解答题19．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：．20．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：．21．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：．22．（2022秋·上海·七年级阶段练习）因式分解：23．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）因式分解：24．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）因式分解：25．