第1课二次函数（教师版）九年级数学上册讲义（浙教版）

第1课二次函数目标导航目标导航学习目标1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.3.会用待定系数法求二次函数的表达式.知识精讲知识精讲知识点01二次函数函数的概念1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．知识点02根据实际问题列二次函数表达式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，理解题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．知识点03待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的表达式步骤:(1)设二次函数的表达式;(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。(3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。

能力拓展考点01二次函数函数的概念能力拓展【典例1】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【思路点拨】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．【解析】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【即学即练1】如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为﹣3．【思路点拨】根据二次函数的定义，可得m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．【解析】解：由题意得：m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，∴m＝2或﹣3且m≠2，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．考点02根据实际问题列二次函数表达式【典例2】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为S＝﹣3x2+24x；自变量x的取值范围为≤x＜6．【思路点拨】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围．【解析】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为：S＝（21﹣3x+3）x＝﹣3x2+24x；由题意可得：，解得：≤x＜6．故答案为：S＝﹣3x2+24x，≤x＜6．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出长方形的长是解题关键．【即学即练2】某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（）A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000+2x D．y＝5000x2【思路点拨】首先表示出第二年的销售量为5000（1+x），然后表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，从而确定答案．【解析】解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，根据题意得：y＝5000（1+x）2，故选：B．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量．考点03待定系数法求二次函数的表达式【典例3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝1时y＝3；当x＝﹣1时，y＝1，求这个二次函数的解析式．【思路点拨】根据题意，可得出抛物线过（1，3），（﹣1，1）两点，将这两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．【解析】解：将点（1，3），（﹣1，1）代入函数解析式得：，解得；故此函数的解析式为y＝x2+x+1．【点睛】本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式．【即学即练2】二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足如表x…﹣1012…y…0﹣3m﹣3…（1）求这个二次函数的解析式；（2）求m的值．【思路点拨】（1）设一般式y＝ax2+bx﹣3，再取两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；（2）把x＝1代入二次函数的解析式求解即可．【解析】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣3，把（﹣1，0），（2，﹣3）代入得，解得：，所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝1﹣2﹣3＝﹣4，所以m＝﹣4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。分层提分分层提分题组A基础过关练1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x﹣3B．y＝（x+1）2﹣x2C．y＝2x（x+1）D．y＝﹣【思路点拨】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据定义进行判断即可．【解析】解：A．不含有x的二次项，所以A不符合题意；B．化简后y＝2x+1，不含有x的二次项，所以B不符合题意；C．符合题意；D．y＝﹣2x﹣2，不含有x的二次项，所以D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解决本题的关键．2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【思路点拨】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．【解析】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．3．已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（）A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．【解析】解：根据题意得，解得．故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式4．如果二次函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝4，则a，b的值是（）A．a＝3，b＝﹣1 B．a＝3，b＝1 C．a＝﹣3，b＝1 D．a＝﹣3，b＝﹣1【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．【解析】解：根据题意得，解得．所以抛物线解析式为y＝3x2﹣x．故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式5．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1．【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．【解析】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．6．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是m≠1．【思路点拨】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．【解析】解：∵函数y＝（m﹣1）x2+x（m为常数）是二次函数，∴m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案为：m≠1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．7．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．【思路点拨】根据矩形的周长及其中一边长度得出另外一边长度为米，再由矩形的面积公式可得函数解析式，根据长、宽均为正数可得x的取值范围．【解析】解：根据题意知，y与x的函数关系式y＝x•＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，由得0＜x＜6，所以y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6），故答案为：y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．8．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？【思路点拨】根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可．【解析】解：函数y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c为任意常数时是二次函数，a＝0，b≠0，c为任意常数时是一次函数；a＝0，b≠0，c＝0时是正比例函数．【点睛】此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义．9．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，求这个二次函数的解析式．【思路点拨】把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，可求出b的值，即可求出二次函数的解析式．【解析】解：把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，∴3＝﹣22+2b+3，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是求出b的值．题组B能力提升练10．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+【思路点拨】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．【解析】解：A、是一次函数，故此选项错误；B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．11．已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（）A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2【思路点拨】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx+1得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到a和b的值．【解析】解：根据题意得，解得a＝1，b＝﹣2．故选：B．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式12．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【思路点拨】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【解析】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．13．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是m＝n2﹣n．【思路点拨】n个球队都要与除自己之外的（n﹣1）球队个打一场，因此要打n（n﹣1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n﹣1），得出关系式．【解析】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，故答案为：m＝n2﹣n．【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键．14．一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？【思路点拨】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．【解析】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，解得：k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，当x＝0.5时，y＝．【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．15．y与x2成正比例，并且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求：（1）y与x的函数关系式；（2）当x＝4时，y的值；（3）当时，x的值．【思路点拨】（1）设y＝kx2，把当x＝﹣1时，y＝﹣3代入求得k的值，则y与x的函数关系式即可求得；（2）把x＝4代入即可求得y的值；（3）把y＝﹣代入解析式即可求得x的值．【解析】解：（1）设y＝kx2，则根据题意得：k＝﹣3，则y与x的函数关系式是y＝﹣3x2；（2）把x＝4代入得：y＝﹣3×16＝﹣48；（3）当y＝﹣时，﹣3x2＝﹣，解得：x＝±．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，是一个基础题．题组C培优拔尖练16．下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长xB．速度一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长xD．三角形的高一定时，面积y与底边长x【思路点拨】根据题意，列出函数解析式就可以判定．【解析】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；C、y＝x2，是二次函数，正确；D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．17．若函数y＝mx+4是二次函数，则m的值为（）A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1【思路点拨】利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．【解析】解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，解得：m＝﹣1，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．18．若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（）A．4 B．9 C．12 D．﹣5【思路点拨】根据题意设y＝kx2（k≠0），将x＝2，y＝4代入函数解析式，列出关于系数k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．【解析】解：∵y与x2成正比例，∴设y＝kx2（k≠0）．∵当x＝2时，y＝4，∴4＝4k，解得，k＝1，∴该函数解析式为：y＝x2，把x＝﹣3代入得，y＝9，故选：B．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关键．19．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【思路点拨】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．【解析】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．20．如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．【思路点拨】直接利用矩形的长乘以宽得出其y与x之间的函数关系即可．【解析】解：由题意可得：y＝x（50﹣2x），∵墙长为20m，∴50﹣2x≤20，解得：x≥15，故自变量的取值范围是：15≤x＜25．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确得出y与x之间的函数关系式是解题关键．21．在y＝a