第一讲 平面直角坐标系与函数（典例精讲）（解析版）

2023年中考数学典型例题系列之函数篇第一讲平面直角坐标系与函数（解析版）编者的话：《2023年中考数学典型例题系列》是基于教材考点和中考真题总结和编辑的，初中数学由于不同地区与不同版本的差异，题型分类十分繁多，本系列包括高频考点和题型，部分考点和考题酌情讲解训练。该系列按篇目进行分类，每篇目包含多讲，每讲又分为典型例题和专项练习两个部分，典型例题以知识考点和典型真题为例，专项练习以对应典例为准进行针对训练。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样，欢迎使用和提出宝贵建议。知识点一：平面直角坐标系中点的坐标特征。各象限内坐标上点P（x,y）在x轴上，y=0点P（x,y）在y轴上，x=0点P（x,y）为原点，x=y各象限角平分线上1第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相同2.第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标相反点的对称点的平移（1）点(x，y)左移a个单位长度：(x－a，y)；（2）点(x，y)右移a个单位长度：(x＋a，y)；（3）点(x，y)上移a个单位长度：(x，y＋a)；（4）点(x，y)下移a个单位长度：(x，y－a)．口诀记忆：正向右负向左，正向上负向下．点的旋转点P（x,y）绕原点顺时针旋转90°对应的点的坐标为（y,-x),逆时针旋转90°对应点的坐标为（-y，x）点到坐标轴及原点距离点P（a,b）到x轴的距离是点P（a,b）到y轴的距离是点P（a,b）到原点的距离是平行与坐标轴的直线上的两点距离若PQ∥x轴，=，PQ=若PQ∥y轴，,PQ=知识点二：函数的相关概念及表示方法。相关概念一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值对应。那么我们叫说x是自变量，y是x的函数，如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数表示方法解析式法、列表法、图像法函数图像的画法描点法画函数图像的步骤可概括为：列表、描点、连线知识点三：函数自变量的取值范围。整式型全体实数分式型分母不为零，即二次根式被开方数大于等于0，即零指数幂型底数不为0；即负整数指数幂型底数不为0，即【考点一】平面直角坐标系。【典型例题】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）若点在第一象限，则点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据点在第一象限，得到，，即可得到点所在的象限．【详解】解：点在第一象限内，，，，点所在的象限是：第二象限．故选：B．【点睛】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．【对应练习1】（2022·四川乐山·统考中考真题）点A(﹣1，2)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：点A（﹣1，2）的横坐标小于0，纵坐标大于0，点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【对应练习2】（2022·四川广安·统考中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第________象限．【答案】二【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到，从而得到，即可求解．【详解】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，∴，解得：，∴，∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．故答案为：二【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．【考点二】平面直角坐标系的点的特征。【典型例题】（2020·四川广安·中考真题）平面直角坐标系xOy中，如果有点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在的图象上，前面的四种描述正确的是()A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【详解】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数．∵点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），∴P、Q两点关于原点对称，故①②错误，③正确．又∵（﹣2）×1=﹣2，2×（﹣1）=﹣2，∴点P与点Q都在的图象上，故④正确．∴③④正确．故选D【对应练习1】（2020·四川凉山·统考中考真题）点关于x轴对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.【详解】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数∴点关于x轴对称的点的坐标是（2，-3）故选B【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.【对应练习2】（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）在平面直角坐标系中，线段的端点，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是_____________．【答案】【分析】根据点的平移法则：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可．【详解】解：点A（3，2），点A的对应点C（-1，2），将点A（3，2）向左平移4个单位，所得到的C（-1，2），∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2），故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【考点三】点坐标规律的探索。【典型例题】（2022·四川绵阳·统考中考真题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P，根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴，∴，∴，∵点A的坐标为（2，-3），∴AP=3，OP=BN=2，∴，BP=1，∴点C的纵坐标为1+2=3，∴点C的坐标为．故选：A【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．【对应练习1】（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_____．【答案】【分析】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段位于第一象限，位于第二象限，位于第三象限，位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道在第几象限，写出的坐标，即可解答．【详解】∴线段在第二象限；∴（0，2023），（-2022，0）∵点为线段中点，∴点的坐标为，即故答案为：【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键．【对应练习2】（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．【答案】【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可．【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，∴点A8的坐标为（0，-8），∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，∴A9的坐标为（9，1），同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，∴A10的坐标为（-1，11），故答案为：（-1，11）．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．【对应练习3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______________．【答案】【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如，，，求出B点，B1点的纵坐标，发现规律，即可【详解】∵当时，当时，故，∴为30°的直角三角形∴∵∴为30°的直角三角形∴∴为30°的直角三角形∵轴∴∴为30°的直角三角形同理：…故：故答案为：【点睛】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点的纵坐标，即长度【考点四】函数自变量的取值范围。【典型例题】（2021·四川内江·统考中考真题）函数中，自变量的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．【详解】解：由题意得：，，解得：且，故选：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键．【对应练习1】（2021·四川阿坝·统考中考真题）函数中，自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意，得x+3≠0，解得x≠-3．故选：C．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【对应练习2】（2020·四川遂宁·统考中考真题）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1【答案】D【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围．【详解】根据题意得：，解得：x≥﹣2且x≠1．故选：D．【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【对应练习3】（2021·四川巴中·统考中考真题）函数y中自变量x的取值范围是___________．【答案】x≤2且x≠−3【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0，解得x≤2且x≠−3．故答案为：x≤2且x≠−3．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【对应练习4】（2021·四川凉山·统考中考真题）函数中，自变量x的取值范围是______________．【答案】x≥-3且x≠0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，解得x≥-3且x≠0．故答案为：x≥-3且x≠0．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数．【对应练习5】（2021·四川泸州·统考中考真题）函数的自变量x的取值范围是（

）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1【答案】B【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解:由题意得，x-1≥0且x-1≠0，解得x＞1．故选：B．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【考点五】函数的解析式。【典型例题】（2022·辽宁大连·统考中考真题）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x的函数解析式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由剩余的油量等于原来的油量减去耗油量，从而可得函数解析式．【详解】解：由题意可得：即故选B【点睛】本题考查的是列函数关系式，掌握“剩余油量=原来油量-耗油量”是解本题的关键．【对应练习】（2019·上海·中考真题）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的关系式是______．【答案】y=-6x+2##y=2-6x．【分析】根据登山队大本营所在地的气温为2℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y与x的关系式．【详解】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y=-6x+2．故答案为：y=-6x+2．【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温=地面的气温-降低的气温．【考点六】函数图像与实际生活应用。【典型例题】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是（

）A．货车出发1.8小时后与轿车相遇B．货车从西昌到雅安的速度为C．轿车从西昌到雅安的速度为D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有【答案】D【分析】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．【详解】解：由题意可知，货车从西昌到雅安的速度为：，故选项B不合题意；轿车从西昌到雅安的速度为：，故选项C不合题意；轿车从西昌到雅安所用时间为：（小时），（小时），即A点表示，设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：，解得，货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为：，故选项D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取相关信息．【对应练习1】（2022·湖南衡阳·中考真题）如图所示，半径为的圆和边长为的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为，圆与正方形重叠部分阴影部分的面积为S，则S与的函数关系式的大致图象为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形，在运动过程中，S随的变化情况，得到开始随时间的增大而增大，当圆在正方形内时改变，而重合面积等于圆的面积不变，再运动，随的增大而减小，根据以上结论判断即可．【详解】解：∵半径为的圆沿水平线从左向右匀速穿过正方形，开始至完全进入正方形S随时间的增大而增大，∴选项A、D错误；∵当圆在正方形内时，改变，重合面积等于圆的面积，S不变，再运动，S随的增大而减小，∴选项C错误，选项B正确；故选：B．【点睛】本题主要考查动图形问题的函数图象，熟练掌握函数图象形状变化与两图形重合部分形状、大小变化的关系，是解决此题的关键．【对应练习2】（2022·四川巴中·统考中考真题）甲、乙两人沿同一直道从地到地，在整个行程中，甲、乙离地的距离与时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（

）A．甲比乙早1分钟出发B．乙的速度是甲的速度的2倍C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达地【答案】C【分析】根据函数图象得出甲比乙早1分钟出发，及列一元一次方程依次进行判断即可．【详解】解：A、由图象得，甲比乙早1分钟出发，选项正确，不符合题意；B、由图可得，甲乙在t=2时相遇，甲行驶的时间为2分钟，乙行驶的时间为1分钟，路程相同，∴乙的速度是甲的速度的2倍，选项正确，不符合题意；C、设乙用时x分钟到达，则甲用时（x+5+1）分钟，由B得，乙的速度是甲速度的2倍，∴乙用的时间是甲用的时间的一半，∴2x=x+5