专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（原卷版）

专题04双角平分线模型与角n等分线模型对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。模型1.

双角平分线模型图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；结论：.例1．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，平分，平分，，，（

）

A． B． C． D．例2．（2023秋·广东七年级月考）如图，射线平分，平分，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④例3．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（

）A． B． C． D．例4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，射线平分，射线平分，射线OE平分，则等于（）

A． B． C． D．例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是．

例6．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）如图，，在的内部，在的内部，是的一三等分线，若，则的度数为．

例7．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数．例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若，，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角，，，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）例9．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．课后专项训练1．（2023北京市昌平区七年级月考）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·湖北七年级期中）如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是（只填序号）．3．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是．4．（2023秋·河南周口·七年级统考期末）若，，分，平分，则的度数是．5．（2023·广东梅州·七年级期末）如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．(1)若，求的度数；(2)猜想：与具有怎样的数量关系？请说明理由．

6．（2023秋·江苏七年级课时练习）如图，，平分，平分．(1)若，求的度数；(2)设，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；(3)若将题干中“”改为“（）”，其他条件不变，设，请用含的式子表示的度数

7．（2022春·江苏七年级月考）根据要求，回答下列问题：(1)如图①，，是的平分线，，分别平分，，求的度数．(2)如图②，在（1）中，把“是的平分线”改为“是内任意一条射线”，其他条件都不变，试求的度数．(3)如图③，在（1）中，若把“是的平分线”改为“是外任意一条射线”，其他条件都不变，能否求出的度数？请说明理由．(4)在（2）（3）中，若把“”改为“”，其他条件不变，的度数是多少？请直接写出结论．8．（2023春·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，已知，在的外部画，然后分别画出与的平分线和．(1)下面的两个图形都符合题意．其中，图①中______度；图②中______度．(2)若，且当时，求；当时，______．9．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）已知，．(1)如图1，若，在的左侧，则_____________；(2)如图2，平分，平分，求．10．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，射线在的内部，已知（），与分别是和的平分线．(1)当时，求的度数；(2)当时，则的度数为__________；(3)继续探究，发现与之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是：__________．11．（2023秋·陕西榆林·七年级统考期末）如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若，求的度数；（用含的代数式表示）；(3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示）12．（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）已知点C在直线上，射线，在直线的同一侧．(1)如图1，若，，则__________度；(2)如图2，若平分，平分，，求的度数；(3)如图3，若平分，平分，，求的度数．13．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知O为直线上一点，作射线、、，且平分．(1)如图1，当、、均在上方时，若，，则______．(2)如图2，当、在上方，在的下方时，若，，求的度数．(3)在（2）的条件下，作射线，若，请画出图形，并求的度数．

14．（2022春·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．

(1)如图1，若平分，求的度数；(2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数；(3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系．15．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，已知，平分，平分．(1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)

16．（2023春·黑龙江·七年级校考阶段练习）已知O为直线上一点，作射线，且平分．(1)如图1，当均在上方时，若，求的度数；(2)如图2，当在上方，在的下方时，若，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数．

17．（2022秋·山东·七年级期末）如图所示，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）若∠BOC=25°，∠MOB=15°，∠NOD=10°，求∠AOD的大小；（2）若∠AOD=75°，∠MON=55°，求∠BOC的大小；（3）若∠AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)．18．（2023·河北沧州·七年级校考期末）已知∠AOB＝90°，（1）如图1，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝64°，则∠BOC是°；（2）如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠BOC＝40°，求∠EOD的度数（写推理过程）．（3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是°．19．（2022秋·河南新乡·七年级新乡市第一中学校考期末）如图所示，已知，平分，与互补．(1)