数学本章检测：第一章坐标系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章检测一、选择题(每小题5分，共60分)1。将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是…（）A.椭圆B。比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线答案：D2。在极坐标系中,点M(-2，)的位置,可按如下规则确定()A.作射线OP，使∠xOP=，再在射线OP上取点M,使｜OM｜=2B。作射线OP,使∠xOP=，再在射线OP上取点M,使|OM｜=2C.作射线OP，使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M，使｜OM|=2D.作射线OP，使∠xOP=—,再在射线OP上取点M,使|OM|=2答案：B3.极坐标方程sinθ=（ρ∈R）表示的曲线是（)A。两条相交直线B.两条有公共点的射线C.一条直线D.一条射线答案：A4。直角坐标为(—3，4）的点的极坐标可能是（）A。（5，arctan（-））B.(5，arcsin）C。(—5,-arccos）D.(—5,arccos（—)）答案：C5.将极坐标(2，）化为直角坐标为()A。（0,2)B。(0,-2)C。(2,0）D。(—2,0）答案：B6。极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是……()A。直线B.圆C.双曲线D.抛物线答案：B7.极坐标平面内，集合P={(ρ，θ）｜sinθ=—，ρ∈R｝与集合S=｛（ρ，θ)｜cosθ=，ρ∈R｝之间的关系是（）A。PSB。PSC.P=SD.P∩S=｛(0，0）｝答案：C8（经典回放)已知点P的极坐标为（1,π）,那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为…(）A。ρ=1B。ρ=cosθC.ρ=—D。ρ=答案：C9.在极坐标系中,过点A(6，π）作圆ρ=-4cosθ的切线,则切线长为()A。2B。6C.2D。2答案：C10.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1（—5,109°），P2（4,49°），则这个三角形P1OP2的面积为（）A.5B.10C。D.10答案：A11.以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是()A。ρ=2cos(θ—)B.ρ=2sin（θ-)C.ρ=2sin(θ-1)D.ρ=2cos（θ-1）答案:D12。已知曲线C与曲线ρ=5rcosθ—5sinθ关于极轴对称,则曲线C的方程是（)A。ρ=-10cos(θ-)B。ρ=10cos（θ—)C。ρ=—10cos(θ+)D。ρ=10cos（θ+)答案：B二、填空题（每小题4分,共16分)13。将直角坐标P(—1,—3）化为极坐标（ρ〉0,0≤θ〈2π)______________.答案:(2,)14.极坐标方程ρcosθ=sin2θ所表示的曲线是______________。答案：一条直线或一个圆15.在同一平面直角坐标系中,由椭圆+=1变成圆x′2+y′2=1的伸缩变换公式为_____________.答案：16.曲线θ=0,θ=(ρ≥0)和ρ=4所围成的面积是______________.答案:三、解答题（共74分）17。(本小题满分12分）设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30（万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标.解：如图,建立极坐标系,使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴,由题设可得下列情形：(1)当θ=30°时，ρ=30（万千米);（2）当θ=150°时，ρ=30（万千米）;(3)当θ=210°时,ρ=30(万千米)；（4）当θ=330°时，ρ=30（万千米）.∴彗星此时的极坐标有四种情形:（30,30°)，(30,150°）,（30,210°）,(30,330°).18.(本小题满分12分)(1）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：①（x2+y2）2=2a2xy;②x-3y=0。(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程：①ρ2=cos2θ;②ρ=.解:（1）①由(x2+y2）2=2a2xy,得ρ4=2a2ρ2cosθsinθ.∴ρ2=2a2cosθsinθ，即ρ2=a2sin2θ.②由x—3y=0，得ρcosθ-3ρsinθ=0,tanθ=。∴θ=arctan.（2)①ρ2=cos2θ两边同时乘以ρ2，得ρ4=ρ2cos2θ=（ρcosθ)2.∴(x2+y2)2=x2，即有x2+y2=x或x2+y2=-x,它表示两个圆.②方程可化为2ρ—ρcosθ=4,即2ρ=4+x，两边平方得4ρ2=(x+4)2.4x2+4y2=x2+8x+16,即3x2—8x+4y2=16.19。（本小题满分12分）已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+｜PC｜2最小，并求出此最小值。解:如下图,以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（0，a），B(,0)，C（，0）。设P(x,y),则｜PA｜2+｜PB｜2+|PC｜2=x2+(y—a）2+（x+）2+y2+(x-）2+y2=3x2+3y2—+=3x2+3（y)2+a2≥a2,当且仅当x=0，y=时，等号成立，∴所求最小值为a2，此时P点坐标为P(0,）,是正三角形ABC的中心.20.（本小题满分12分)已知定点A（a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=，在OP的延长线上取点Q，使｜PQ｜=|PA|。当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解：由题意可知：ρ=.又｜OQ|=|OP|+｜PA｜,∴ρ=2acos(—θ）。21.(本小题满分12分）半径为R的两个等圆，它们的圆心分别在两条互相垂直相交于点O的定直线上，且两圆都过点O,过点O任意作直线l分别交两圆于A、B，试求出线段AB中点P的轨迹的极坐标方程。解:如图,建立极坐标系，设B(ρ1,θ），其轨迹为ρ1=2acosθ.设A(ρ2，θ）,其轨迹为ρ2=2asinθ，设P（ρ，θ）,则ρ=(ρ1+ρ2）=（2acosθ+2asinθ)=a(cosθ+sinθ)=asin(θ+)。∴点P的轨迹的极坐标方程为ρ=asin（θ+).22.（本小题满分14分)如下图，根据指令(r,θ)（r≥0，—180°≤θ≤180°）,机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时,按顺时针方向旋转|θ｜),再朝其面对的方向沿直线行走距离r。（1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令，使其移动到点（4,4).(2）机器人在完成该指令后,发现在点(17，0)处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位)。解:（