第10讲反比例函数（原卷版）

第10讲反比例函数考法一：反比例函数的概念、图像与性质1．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(2，)，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（2021·江苏连云港·统考中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（

）A． B． C． D．3．（2019·江苏徐州·统考中考真题）若、都在函数的图象上，且，则（）A． B． C． D．4．（2022·江苏镇江·统考中考真题）反比例函数的图像经过、两点，当时，，写出符合条件的的值_________（答案不唯一，写出一个即可）．5．（2019·江苏镇江·中考真题）已知点、都在反比例函数的图象上，则_________．（填“＞”或“＜”）1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．3．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式（k是常数，k≠0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大4．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=x，对称中心为原点．5．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．1．（2022·江苏淮安·统考一模）若反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值可以是（

）A．0 B．1 C．3 D．以上都不是2．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）已知都在的图像上，若，则的值为____．3．（2022·江苏盐城·统考三模）点，，，在函数的图像上，若，则__．（填“”、“”或“”）4．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点，当时，的取值范围是__________．5．（2022·江苏扬州·扬州教育学院附中校考二模）已知函数，下列关于它的图像与性质的说法：①函数图像与坐标轴无交点；②函数图像关于y轴对称；③y随x的增大而减小；④函数有最大值1．其中正确的说法是______．（写出所有正确说法的序号）考法二：反比例函数的解析式1．（2022·江苏常州·统考中考真题）某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是______．3．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，已知点，直线轴，垂足为点其中，若与关于直线对称，且有两个顶点在函数的图像上，则的值为：_______________________．4．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________．5．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求的面积．1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．1．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在直线的左侧作正方形，反比例函数的图象经过点，则的值是(

)A． B． C． D．2．（2022·江苏扬州·校联考三模）已知双曲线y＝向右平移2个单位后经过点（4，1），则k的值等于（

）A．1 B．2 C．3 D．53．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B两点，将线段绕着点A按顺时针方向旋转，点B恰好落在反比例函数在第一象限图象上的点D．则___________．4．（2022·江苏常州·校考二模）如图，直线与双曲线相交于、B两点．(1)求m及k的值；(2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标；(3)直接写出的取值范围．5．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．(1)求、的值；(2)求的面积．考法三：反比例函数中k的几何意义1．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①2．（2019·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（

）A．2 B．2 C．4 D．43．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为_____．4．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是（只填序号）．5．（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．（1）求a的值及正比例函数的表达式；（2）若，求的面积．1．反比例函数图象中有关图形的面积①过双曲线(≠0)上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.②过双曲线(≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．1．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于A、B两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点C作轴交双曲线于点D，连接，若，则k的值是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏南京·南京大学附属中学校考模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为___________．3．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，若反比例函数的图像经过点A，轴于B，且的面积为3，则k的值为______．4．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若，则＝_____．5．（2020·江苏扬州·校考一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出的的取值范围；(3)求的面积．一、单选题1．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移1个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线交于B，若，则k的值为（

）A． B．－7 C． D．2．（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考开学考试）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（

）A．与的函数关系式是B．当时，C．当时，D．当时，的取值范围是3．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点C的纵坐标为4，则（）A．32 B．30 C．28 D．264．（2022·江苏连云港·统考二模）如图，点分别在双曲线，上，且，则的值（

）A．1 B． C．2 D．5．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，中，，轴，反比例函数（）经过A、B两点，，则k的值为（

）A． B．3 C．6 D．6．（2022·江苏扬州·校考一模）如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图像还经过边上的中点，且S△ABD=6，则（）A． B． C． D．二、填空题7．（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考开学考试）对于反比例函数，当时，的取值范围是________．8．（2021·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．9．（2021·江苏淮安·统考二模）如图，点A在反比例函数y＝的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是_____．10．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，ADx轴，当双曲线经过点D时，则平行四边形ABCD面积为___．11．（2021·江苏连云港·校考一模）如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则________．12．（2022·江苏泰州·校考一模）如图，的顶点在轴的负半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过两点．已知的面积是，则点的坐标为_______三、解答题13．（2022·江苏盐城·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．（1）求直线的解析式；（2）求反比例函数的解析式；（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．14．（2021·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积.15．（2020秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点．

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求AOC的面积；（3）求不等式的解集．（直接写出答案）16．（2022·江苏宿迁·校考三模）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式的解集．17．（2022·江苏苏州·星海实验中学校考二模）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式