第五章一元一次方程（压轴题专练）

第五章一元一次方程（压轴题专练）一．选择题（共12小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵矩形ABCD，AD＝12cm，∴AD＝BC＝12cm，∵PQ∥AB，AP∥BQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ，∴Q走完BC一次就可以得到一次平行，∵P的速度是1cm/秒，∴两点运动的时间为12÷1＝12s，∴Q运动的路程为12×4＝48cm，∴在BC上运动的次数为48÷12＝4次，∴线段PQ有4次平行于AB，故选：D．2．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（）A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5【答案】A【解答】解：（1）当甲、乙两车未相遇时，根据题意，得120t+80t＝450﹣50，解得t＝2；（2）当两车相遇后，两车又相距50千米时，根据题意，得120t+80t＝450+50，解得t＝2.5．故选：A．3．一杯可乐售价1.8元，商家为了促销，顾客每买一杯可乐获一张奖券，每三张奖券可兑换一杯可乐，则每张奖券相当于（）A．0.6元 B．0.5元 C．0.45元 D．0.3元【答案】C【解答】解：设每张奖券相当于x元，根据题意得：3×1.8＝4（1.8﹣x），解得：x＝0.45．故选：C．4．我们来定义一种运算：＝ad﹣bc．例如＝2×5﹣3×4＝﹣2；再如＝3x﹣2，按照这种定义，当x满足（）时，．A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据运算的规则：，可化简为：2（﹣1）﹣2x＝（x﹣1）﹣（﹣4）×，化简可得﹣2x＝3；即x＝﹣．故选：A．5．元旦那天，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（）A． B． C．2π（60+10）×6＝2π（60+π）×8 D．2π（60﹣x）×8＝2π（60+x）×6【答案】A【解答】解：设每人向后挪动的距离为x，则这8个人之间的距离是：，6人之间的距离是：，根据等量关系列方程得：＝．故选：A．6．在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/小时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/小时的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是（）A．1.6秒 B．4.32秒 C．5.76秒 D．345.6秒【答案】C【解答】解：设需要的时间为x秒，110千米/小时＝米/秒，100千米/小时＝米/秒，根据轿车走的路程等于超越卡车的路程加上两车的车身长，得出：解得：x＝5.76故选：C．7．某年的某个月份中有5个星期三，它们的日期之和为80（把日期作为一个数，例如把22日看作22），那么这个月的3号是星期（）A．日 B．一 C．二 D．四【答案】D【解答】解：设第一个星期三为x号，依题意得：x+x+7+x+14+x+21+x+28＝80解得x＝2，即这个月第一个星期三是2号，因此3号是星期四．故选：D．8．一列匀速前进的火车，从它进入600米的隧道到离开，共需30秒，又知在隧道顶部的一固定的灯发出的一束光线垂直照射火车5秒，则这列火车的长度是（）A．100米 B．120米 C．150米 D．200米【答案】B【解答】解：设这火车的长为x米，则＝，x＝120．本题选B．9．在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是（）A．34+x＝2×18 B．34+x＝2（38﹣x） C．34﹣x＝2（18+x） D．34﹣x＝2×18【答案】B【解答】解：设支援拔草的有x人，则支援植树的为（20﹣x）人，现在拔草的总人数为（34+x）人，植树的总人数为（18+20﹣x＝38﹣x）人．根据等量关系列方程得，34+x＝2（38﹣x）．故选：B．10．一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格为（）A．1000元 B．800元 C．600元 D．400元【答案】B【解答】解：设他的飞机票价格为x元，则：（30﹣20）×1.5%x＝120解得：x＝800．故选：B．11．中国足球队首次进入世界杯决赛圈，实现了近五十年的愿望．足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的，黑块呈五边形，白块呈六边形（如图所示），已知黑块有12块，则白块有（）A．32块 B．20块 C．12块 D．10块【答案】B【解答】解：设白块有x块．由题意得：12×5＝3x，解得：x＝20．故选：B．12．如图，为做一个试管架，在a（cm）长的木板上钻4个圆孔，每个圆孔的直径为2cm，则x等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由题意可得，5x＝a﹣2×4，则x＝．故选：D．二．填空题（共19小题）13．某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成．现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务．根据题意，可列方程为（+）x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：初二学生的效率为，初三学生的效率为，则初二和初三学生一起工作的效率为（），∴列方程为：（）x＝1．故答案为：（+）x＝1．14．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm．（1）开始注水1分钟，丙的水位上升cm．（2）开始注入或分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，∵注水1分钟，乙的水位上升cm，∴得到注水1分钟，丙的水位上升cm×4＝cm；（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：①甲的水位不变时；由题意得，t﹣1＝0.5，解得：t＝，∵×＝6＞5，∴此时丙容器已向乙容器溢水，∵5÷＝分钟，×＝，即经过分钟时丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，∴+2×（t﹣）﹣1＝0.5，解得：t＝；②当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底部的时间为；+（5﹣）÷÷2＝分钟，∴5﹣1﹣2×（t﹣）＝0.5，解得：t＝，综上所述开始注入或分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．故答案为cm；或．15．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款316或288元．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第一次消费80元的情况下，他的实际购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实际购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝252，解得：x＝280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实际购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝252，解得：x＝315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实际价值为80+280＝360或80+315＝395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：360×0.8＝288元395×0.8＝316元故填288元或316元．16．长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为或．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1．此时，分两种情况：①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1．∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的宽等于1﹣a，即2a﹣1＝（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a＝；②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a．则1﹣a＝（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a＝．故答案为：或．17．如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为143．【答案】见试题解答内容【解答】解：设右下角的小正方形边长为x，矩形的长（下边）＝2x+（x+1），矩形的长（上边）＝（x+1+1）+（x+1+1+1），则2x+（x+1）＝（x+1+1）+（x+1+1+1），解得x＝4，矩形的长＝4+4+5＝13，宽＝4+7＝11，面积＝11×13＝143．18．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a＝40度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵0.50×100＝50＜56，∴100＞a，由题意，得0.5a+（100﹣a）×0.5×120%＝56，解得a＝40．故答案为：40．19．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速行进，在距A点700m处第一次相遇，然后继续前行，甲到B地、乙到A地后都按原来各自的速度立即原途返回，在距B点400m处第二次相遇，则A、B两地的距离是1700m．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A、B两地间的距离是xm，则x+400＝3×700．解得x＝1700．故A、B两地间的路程是1700m．故答案为：1700．20．用“&”定义新运算：对于任意实数a，b都有a&b＝2a﹣b，如果x&（1&3）＝2，那么x等于．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x&（1&3）＝2，∴x&（2×1﹣3）＝2，∴x&（﹣1）＝2，∴2x+1＝2，∴x＝；故答案为：21．把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为24．【答案】见试题解答内容【解答】解：棱长为4的正方体的体积为64，如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除；如果有一个3×3×3的立方体（体积27），有1×1×1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除；所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体．则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个，解方程：x+8×（29﹣x）＝64，解得：x＝24．所以分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个．故答案为：24．22．著名瑞士数学家欧拉，曾给出这样一个问题：父亲临终时立下遗嘱，按下述方式分配遗产：老大分的100瑞士法郎和剩下的；老二分的200瑞士法郎和剩下的；老三分的300瑞士法郎和剩下的…依此类推，分给其余的孩子．最后发现，遗产全部分完后所有孩子分的遗产相等．问：这位父亲的遗产总数是8100瑞士法郎．【答案】见试题解答内容【解答】解：设遗产总数为x法郎，则老大分得：100+（x﹣100）×；老二分得：200+（x﹣[100+（x﹣100）]﹣200）×，100+（x﹣100）＝200+{x﹣[100+（x﹣100）]﹣200}，解得：x＝8100．即这位父亲的遗产总数是8100瑞士法郎．故答案为：8100．23．甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了7、11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙70元．【答案】见试题解答内容【解答】解：（7+11）÷3＝6，甲比乙多拿了一件，所以一件是14元．14×（11﹣6）＝70．乙付给丙70元．24．某商品按进价提高40%后标价，再打8折销售，售价为1120元，则这种电器的进价为1000元．【答案】见试题解答内容【解答】解：设这种电器的进价是x元，由题意得：（1+40%）x×80%＝1120，解得：x＝1000，故答案为：1000．25．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向均匀前进，第一次相遇在距离A点10千米的点C处，然后继续前进，甲到B地后立即原路返回，乙到A地后也立即原路返回，两人第二次相遇在距离B点3千米的点D处，则A、B两地的距离是27千米．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A、B两地的距离是x千米，则x+3＝3×10，解得x＝27．∴A、B两地的距离是27千米．26．下图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是16．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图设图中左上角的数是m，相应的方格中数为x1，x2，x3，x4，由已知得：m+x1+x2＝x1+x3+13（1），m+x3+x4＝x2+x4+19（2），（1）+（2）得：2m+x1+x2+x3+x4＝13+19+x1+x2+x3+x4．∴2m＝13+19，即m＝16．故答案为：16．27．国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费的14%的税；（3）稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税，今知丁老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税420元，问丁老师的这笔稿费有3800元．【答案】见试题解答内容【解答】解：设丁老师的稿费为x元．（x﹣800）×14%＝420，解得x＝3800，答：丁老师的这笔稿费有3800元．28．依法纳税是公民应尽的义务，根据我中税法规定，公民全工资、薪金所提不超过929元，不纳税，超过929元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算：全月应纳税所得额税率不超过500元5%超过500元至2000元部分10%超过2000元至5000元部分15%……某人本月纳税150.1元，则他本人有工薪收入为2680元．【答案】见试题解答内容【解答】解：设他本人有工薪收入为x元，由题意得：500×5%+（x﹣929﹣500）×10%＝150.1解得x＝2680∴他本人有工薪收入为2680元．29．《广东省工伤保险条例》规定：职工有依法享受工伤保险待遇的权利，某单位一名职工因公受伤住院治疗了一个月（按30天计），用去医疗费5000元，伙食费500元，工伤保险基金按规定给他补贴医疗费4500元，其单位按因公出差标准（每天30元）的百分之七十补助给他做伙食费，则在这次工伤治疗中他自己只需支付370元．【答案】见试题解答内容【解答】解：设他自己只需支付x元，则有：x+0.7×30×30+4500＝5500，解得：x＝370，则在这次工伤治疗中他自己只需支付370元．30．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是20cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为（55﹣x）cm．又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x＝（55﹣x），解得：x＝30，因此木桶中水的深度为30×＝20cm．故填20．31．如图是2004年6月份的日历，如图那样，用一个圈竖着圈住3个数，如果被圈的三个数的和为39，则这三个数中最大的一个为20．【答案】见试题解答内容【解答】解：设最大的一个数为x，根据题意列方程得：（x﹣14）+（x﹣7）+x＝39，解得x＝20．三．解答题（共7小题）32．如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米．（1）出发后2分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；（2）如果用记号（a，b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是（6，13）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵两个人的速度之和是85米每分钟，分钟后两人第一次相遇．如果要两人在顶点相遇，则：每个人所走的路程均为10的整数倍，且两个人所走路程之和为10+40n（n是整数）．S＝10+40n，n为0、1、2、3…n①S甲＝55t可以被10整除t为2、4、6…②S乙＝30t也可以被10整除t为甲方取值即可，∵S＝S甲+S乙，整理得：55t+30t＝10+40n，即：85t＝10+40n，∴n＝③，由①②③得：当t＝2时，两人第一次在顶点相遇．此时甲走了110米，乙走了60米，相遇在点D．（2）甲、乙相遇则两者走时间相同，设甲走x米，则乙走x＝x米，∵要相遇在正方形顶点，∴x和x都要为10的整数倍且x+x﹣10＝x﹣10为40的整数倍（除第一次走10米相遇，以后每次相遇都要再走40米），∴（a﹣）×85＝40（b﹣1）+20，由上式可知：当a＝6时，甲走了330米，甲走到点B，乙走了180米，乙走到点D，解得：b＝13．故答案为：（6，13）．33．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500﹣x）元，根据题意得：90%•（1+50%）x+90%•（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157，解得：x＝300，500﹣x＝200．答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．34．“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨．根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加0.5吨，每吨可获利5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售．为此研究了二种方案：方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利52500元．方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利78750元．问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：由已知得：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利为：1000×52.5＝52500（元）．故答案为：52500．30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：0.5×30×5000+（52.5﹣0.5×30）×100＝78750（元）．故答案分为：78750．由已知分析存在第三种方案．设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，依题意得：8x+0.5×（30﹣x）＝52.5，解得：x＝5，30﹣x＝25，所以销售后所获利润为：1000×5×8+5000×25×0.5＝102500（元）．35．如图，线段AB＝10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．）当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．（1）当x＝3时，线段PQ的长为2．（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意，当x＝3时，P、Q位置如图所示：此时：AP＝3，BQ＝3×3＝9，AQ＝AB﹣BQ＝10﹣9＝1，∴PQ＝AP﹣AQ＝2；（2）设x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x＝10解得：x＝2.5，∴BQ＝3x＝7.5；（3）设x秒后，点Q恰好落在线段AP的中点上，根据题意，①当点Q从点B出发未到点A时，即0＜x＜时，有x＝2（10﹣3x），解得；②当点Q到达点A后，从A到B时，即＜x＜时，有x＝2（3x﹣10），解得x＝4；③当点Q第一次返回到B后，从B到A时，即＜x＜10时，有x＝2（30﹣3x），解得；综上所述：当x＝或x＝4或x＝时，点Q恰好落在线段AP的中点上．故答案为：（1）2．36．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣60，点B表示的数为20，甲在A点，乙在B点，甲的速度是每秒5个单位，乙的速度是每秒3个单位，小狗的速度是每秒20个单位．（1）点A与点B之间的距离是80．（2）若甲、乙两人同时同向（向右）而行，几秒钟甲追上乙？（3）若甲、乙两人同时相向而行，在C点相遇，求点C表示的数并在数轴上表示出来？（4）若小狗随甲同时同地向右出发，当小狗碰到乙时，乙才开始出发，乙和小狗同时向甲方向前进，当小狗再次碰到甲时又向乙方向跑，碰到乙的时候再向甲方向跑，就这样一直跑下去，直到甲、乙两人相遇为止，问这只小狗一共跑了多少路程？【答案】（1）80设甲乙两人运动的时间为t秒，根据题意，得5t﹣3t＝80．解得t＝40．所以，甲、乙两人同时同向（向右）而行，40秒钟甲追上乙．（3）相遇点C表示的数为﹣60+5×10＝﹣10．点C在数轴上表示如下（4）这只小狗一共跑了230个单位长度．【解答】（1）点A，点B之间的距离是20﹣（﹣60）＝80．（2）设甲乙两人运动的时间为t秒，根据题意，得5t﹣3t＝80．解得t＝40．所以，甲、乙两人同时同向（向右）而行，40秒钟甲追上乙．（3）设甲乙两人运动的时间为t秒，根据题意，得5t+3t＝80．解得t＝10．所以10秒时，甲乙相遇，此时相遇点C表示的数为