2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直课时分层作业含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时分层作业(三十二)平面与平面垂直(建议用时：40分钟)一、选择题1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个 B．1个C．多数个 D．1个或多数个D[当两点连线与平面α垂直时，可作多数个垂面，否则，只有1个．]2．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线bD[如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD明显不垂直．]3.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为()A．60° B．30°C．45° D．15°C[由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不肯定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥βD[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D．]5．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B­AD­C后，BC＝eq\f(1,2)AB，这时二面角B­AD­C的大小为()A．60° B．90°C．45° D．120°A[∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝eq\f(1,2)m，BD＝DC＝eq\f(1,2)m，所以∠BDC＝60°.]二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)①②⇒③(答案不唯一)[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.1[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝1.]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD．∴∠ADO＝45°.]三、解答题9．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD．求证：平面PDC⊥平面PAD．[证明]因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．10．如图所示，平面角为锐角的二面角α­EF­β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α­EF­β的大小．[解]作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角α­EF­β的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝eq\f(\r(2),2)a，GH＝eq\f(1,2)a，sin∠GBH＝eq\f(GH,GB)＝eq\f(\r(2),2).所以∠GBH＝45°，二面角α­EF­β的大小为45°.11．如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨道是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点D[∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．]12．若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为()A．30° B．45°C．60° D．90°C[如图①，AD⊥DC，AD⊥DB，图①图②∴∠CDB＝90°，设AB＝AC＝a，则CD＝BD＝eq\f(\r(2),2)a，∴CB＝a，∴图②中△ABC是正三角形．∴∠CAB＝60°.]13.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1­EF­C等于45°，则BF1[由题意知EF⊥BC．∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1­EF­C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴14．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B­ACD，点M是棱BC的中点，DM＝3eq\r(2).求证：(1)OM∥平面ABD；(2)平面ABC⊥平面MDO.[证明](1)由题意知，O为AC的中点，∵M为BC的中点，∴OM∥AB．又OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．(2)由题意知，OM＝OD＝3，DM＝3eq\r(2)，∴OM2＋OD2＝DM2，∴∠DOM＝90°，即OD⊥OM.∵四边形ABCD是菱形，∴OD⊥AC．又OM∩AC＝O，OM，AC⊂平面ABC，∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面MDO，∴平面ABC⊥平面MDO.15.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PG