专题30 图形的对称、平移与位似（考点解读）（解析版）

专题30图形的对称、平移与位似（考点解读）中考命题解读中考命题解读在中考，这是必考内容，主要考查形式包括：单纯判断对称图形的识别；利用对称图形的性质求点坐标；利用折叠的对称性性质的相关计算与证明。考标要求考标要求1.理解轴对称图形与中心对称图形概念；2.掌握图形的平移的性质及有关计算；3.掌握图形的旋转性质并运用其性质进行有关的计算；考点精讲4.掌握位似的性质。考点精讲考点1：轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1．常见的轴对称图形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．考点2：图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．考点3：图形的旋转1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．考点4：中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形常见的中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.考点5：位似1.图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2：位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.注意：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.母题精讲母题精讲【典例1】（2022•贵港）若点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2【答案】A【解答】解：∵点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣1，∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，故选：A．【变式1-1】（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）【答案】B【解答】解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．故选：B．【典例2】（2022•营口）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．【答案】A【解答】解：∵BC＝CE，∠EDC＝∠CFB＝90°，∠DEC＝∠BCF，∴△EDC≌△CFB（AAS），∴DE＝CF＝2，∴CE＝＝＝＝BC＝AD，∴AE＝AD﹣DE＝﹣2，故选：A．【变式2】（2022•济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE＝DE，∠C＝∠CDE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，∴22+（3﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AE＝，故选：A．真题精选真题精选命题点1图形的对称命题点1图形的对称1．（2022•巴中）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，B、不是轴对称图形，不符合题意，C、不是轴对称图形，不符合题意，D、是轴对称图形，符合题意，故选：D．2．（2022•六盘水）下列汉字中，能看成轴对称图形的是（）A．坡 B．上 C．草 D．原【答案】C【解答】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．3．（2022•南通）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．命题点2图形折叠的相关计算命题点2图形折叠的相关计算4．（2022•六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形【答案】C【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．故选：C．5．（2022•大连）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是cm．【答案】5【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，∴∠A＝90°，由折叠性质可得：BE＝DF＝3cm，A′B＝AB＝6cm，∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，∴∠BA′E＝30°，∴∠A′BE＝60°，∴∠ABM＝30°，∠AMB＝60°，∴AM＝tan30°•AB＝＝2cm，∵MF⊥BM，∴∠BMF＝90°，∴∠DMF＝30°，∴∠DFM＝60°，在Rt△DMF中，MD＝tan60°•DF＝cm，∴AD＝AM+DM＝2cm．故答案为：5．命题点3图形的平移命题点3图形的平移6．（2022•广西）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是D，故选：D．7．（2022•赤峰）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（0，4） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）【答案】C【解答】解：如图：由题意得：点A的对应点A′的坐标是（﹣1，3），故选：C．8．（2022•湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'．若B'C＝2cm，则BC′的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'，∴BB′＝CC′＝1（cm），∵B'C＝2（cm），∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝1+2+1＝4（cm），故选：C．命题点4图形的旋转命题点4图形的旋转9．（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）【答案】C【解答】解：作出旋转后的图形如下：∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．10．（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．3 B．2 C．3 D．2【答案】C【解答】解：连接AA′，如图，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝BC＝2，∠B＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝＝3，∴点A到直线A'C的距离为3，故选：C．命题点5图形的位似命题点5图形的位似 11．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC与△A'B'C'相似比是1：3，∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1：9．故选：C．12．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【解答】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，＝，∴＝＝，则四边形A′B′C′D′面积为：18．故选：D．13．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4 B．6 C．9