22人教版高中数学新教材选择性必修第二册-第五章-一元函数的导数及其应用章末总结

2/2第五章一元函数的导数及其应用章末总结体系构建题型整合题型1导数的几何意义与应用例1（2020课标Ⅰ理,6,5分）函数f(x)=x4−2A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1答案：B解析：f(x)=x∴f(1)=−1,f因此,所求切线的方程为y+1=−2(x−1),即y=−2x+1.故选B.方法归纳1.函数的导数的几何意义就是函数f(x)的图象在x=x0处的切线斜率,即2.求曲线的切线方程的注意事项：（1）曲线y=f(x)在点P（x0,f(x（2）求曲线y=f(x)过点P（x0,f(x0)）的切线方程时,若P（x0,f(x0)）是切点,则切线方程为y−f(x0)=f'(x0)(x−x0);若P（x0,f(x迁移应用1.（2020山东青岛高二检测）已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为答案：3解析：设曲线y=ln(x+a)上的切点坐标为(x0,y0),因为直线所以x0题型2导数在研究函数单调性和极值中的应用例2（2021山东威海高二期中）设f(x)=xln（1）令g(x)=f'(x)（2）已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案：（1）由f(x)=xlnx−axg(x)=f'(x)=当a≤0时,g'(x)＞0,函数当a＞0,x∈(0,12a)时,g'(x)＞0,函数g(x)单调递增,x∈(所以当a≤0时,函数g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a＞0时,函数g(x)的单调增区间为(0,12a)（2）由（1）知,f'①当a≤0时,f'所以当x∈(0,1)时,f'当x∈(1,+∞)时,f'所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0＜a＜12时,12a＞1,由（1）知则当x∈(0,1)时,f'(x)＜0,x∈(1,1所以f(x)在（0,1）内单调递减,在(1,12a)内单调递增,所以f(x)③当a=12,即12a=1时,所以当x∈(0,+∞)时,f'④当a＞12时,0＜12a＜1,当x∈(12a,1)时,f'综上所述,实数a的取值范围是(1方法归纳利用导数判断函数单调性的方法步骤（1）坚持定义域优先原则：确定函数f(x)的定义域,确定函数有意义;（2）计算函数的导函数并确定其零点与符号：求导函数f'(x),解导数方程和导数不等式,确定（3）判断函数的单调性：若函数含有参数,需对参数进行分类讨论,分类讨论坚持不重不漏原则,由函数的单调性计算极值和最值,得出结论.迁移应用2.已知函数f(x)=ln（1）当a=0时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;（2）令g(x)=f(x)−(ax−1),求函数g(x)的极值.答案：（1）当a=0时,f(x)=ln则f(1)=1,所以切点为（1,1）.又f'所以切线斜率k=f故切线方程为y−1=2(x−1),即2x−y−1=0.（2）因为g(x)=f(x)−(ax−1)=ln所以g'当a≤0时,因为x＞0,所以g'所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,无极值.当a＞0时,g'令g'(x)=0,得x=1所以当x∈(0,1a)时,g'(x)＞0因此函数g(x)的单调递增区间是(0,1a)所以当x=1a时,g(x)取得极大值,极大值为综上可知,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a＞0时,函数g(x)有极大值12a题型3导数在函数零点问题中的应用例3（2021江苏南京高二检测）已知函数f(x)=te（1）若f(x)的图象在x=0处的切线与g(x)的图象在x=1处的切线平行,求实数t的值;（2）设函数φ(x)=f(x)−g(x).①当t=1时,求证：φ(x)在定义域内有唯一极小值点x0,且②若φ(x)恰有两个零点,求实数t的取值范围.答案：（1）f'设f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为k1g(x)的图象在x=1处的切线的斜率为k2∵两切线平行,∴t2=1∵t＞0,∴t=1.（2）φ(x)=te①证明：当t=1时,φ(x)=e令ℎ(x)=e∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增.又ℎ(1∴存在唯一的x0∈(12,1)当0＜x＜x0时,当x＞x0时,∴φ(x)有唯一的极小值点x0,且②当t≥1时,φ(x)=te当0＜t＜1时,令φ(x)=0⇒txe令F(x)=xe∴F(x)在(−∞,−1)上单调递减;在(−1,+∞)上单调递增,且F(0)=0.当−1＜x＜0时,F(x)＜0,当x＞0时,F(x)＞0,且F(x)单调递增,∵F(tx)=F(lnx)而令G(x)=tx−ln令G'(x)=0,得且当0＜x＜1t时,当x＞1t时,∴G(x)min=1−ln1则1−ln1t＜0⇒0＜t＜1∴G(x)在(1,1t)和(1t,1方法归纳1.函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标,函数的零点与函数的单调性密不可分,判断函数的单调性,确定函数零点的个数是导数的重要应用之一.2.利用导数确定函数零点的方法步骤：（1）确定函数的定义域,求函数的导数,判断函数的单调性、极值和最值,结合函数图象确定函数零点的个数.（2）对于含有参数的函数零点的判断问题,通常需要对参数的取值范围进行分类讨论.迁移应用3.已知函数f(x)=asin x−x+b（（1）证明:函数f(x)在（0,a+b]内至少有一个零点;（2）设函数f(x)在x=π3处有极值,对于一切x∈[0,π2]答案：（1）证明：∵f(0)=b＞0,f(a+b)=asin∴f(0)⋅f(a+b)≤0,∴函数f(x)在（0,a+b]内至少有一个零点.（2）∵f(x)=asin x−x+b,由题意得f'(π3)=0,即acosπ记g(x)=x+cos则g'∵0≤x≤π∴22≤sin(x+π4∴g(x)故实数b的取值范围是(1,+∞).题型4导数的实际应用例4某地自来水苯超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x),其中f(x)=x（1）如果投放的药剂的质量m=5,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为m,为了使在9天（从投放药剂算起包括第9天）之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的最小值.答案：（1）当m=5时,y=x当0＜x≤5时,x2当x＞5时,由5x+952x−2≥5,得综上可知,0＜x≤21,所以自来水达到有效净化一共可持续21天.（2）y=mf(x)=m当0＜x≤5时,y=mx225+2m当x＞5时,y'=−40m(2x−2)2＜0,所以函数y=为使5≤y≤10恒成立,只要7m4≥5,3m≤10,故应该投放的药剂质量m的最小值为207方法归纳建立函数模型解题的方法步骤（1）认真审题:实际应用题文字叙述长,数量关系众多,所以首先要认真读题审题,理顺已知量、未知量与问题的联系,必要时可以将数量整理成简表的形式,便于分析数量之间的关系.（2）数学建模:明确实际问题对应的函数模型,确定定义域,将实际问题转化为数学问题.（3）求最优解:利用导数研究函数的单调性、极值和最值,得到目标函数的最值.（4）验证结果:验证数学问题的解是不是原实际问题的解.上述步骤用框图表示为迁移应用4.学校举行运动会需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2,上、下两边各空2 答案：设版心的高为x dm,则版心的宽为128此时四周空白面积为s(x)=(x+4)⋅(128求导数得s'(x)=2−512x2,令于是版心的宽为128x=12816=8,当x∈(0,16)时,s因此,x=16是函数s(x)的极小值点,也是最小值点．所以当版心高为16 dm,宽为8 高考链接1.（2019全国课标Ⅱ,10,5分）曲线y=2 sin x+cosA.x−y−π−1=0B.C.2x+y−2 π+1=0D.答案：C解析：设y=f(x)=2 sin x+cos∴曲线在点(πy−(−1)=−2(x−π),即2.（2018全国课标Ⅰ,5,5分）设函数f(x)=x3+(a−1)x2A.y=−2xB.y=−xC.y=2xD.y=x答案：D解析：因为f(x)为奇函数,所以f(−x)=−f(x),由此可得a=1,故f(x)=xf'(x)=3x2+1,3.（2020天津,3,5分）函数y=4xA.B.C.D.答案：A解析：由函数的解析式得f(−x)=−4xx2易知f(1)=2,排除B,故选A.4.（2019全国课标Ⅰ,13,5分）曲线y=3(x2+x)答案：y=3x解析：因为y'=3(2x+1)ex+3(5.（2020北京,15,5分）为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]给出下列四个结论：①在[t②在t2③在t3④甲企业在[0,t1],[其中所有正确结论的序号是.答案：①②③解析：设y=−f(b)−f(a)b−a,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对;在t3由计算式−f(b)−f(a)b−a可知,甲企业在6.（2018全国课标Ⅰ,16,5分）已知函数f(x)=2 sin x+sin 2x,则答案：−3解析：解法一：因为f(x)=2 sin所以f'(x)=2 cos x+2 cos即2kπ由f'(x)≤0得即2kπ+π3≤x≤2kπ+且f(x)解法二：因为f(x)=2 sin所以[f(x)]当且仅当3 sin所以0≤[f(x)]2≤274,所以7.（2020新高考Ⅰ,21,12分）已知函数f(x)=ae（1）当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))（2）若f(x)≥1,求a的取值范围.答案：（1）当a=e时,f(x)=ex−ln∵f(1)=e+1,∴切点坐标为∴函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e−1=(e∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2),(−2∴所求三角形面积为12（2）解法一：由f(x)≥1得f(x)=ae不等式等价于eln令g(x)=ex+x显然g(x)为单调增函数,∴不等式又等价于lna+x−1≥lnx令ℎ(x)=lnx−x+1,x＞0,则在（0,1）上ℎ'(x)＞0,ℎ(x)单调递增;在(1,+∞)上ℎ'∴lna≥0,即a≥1,∴a的取值范围是解法二：∵f(x)=ae∴f设g(x)=f'(x),∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,即f'(x)在当a=1时,f'当a＞1时,1a∴存在唯一的x0＞0,使得f'(x当x∈(x0,+∞)时,f因此f(x)=1∴f(x)＞1,∴f(x)≥1恒成立.当0＜a＜1时,f(1)=a+lna＜a＜1,∴f(1)＜1,所以综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).8.（2019全国课标Ⅱ,20,12分）已知函数f(