解一元二次方程（直接开平方法）（导学案）-九年级数学上册同步备课系列

学习目标通过平方根的意义，解形如x2＝p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，提高学生转化的能力，从而完成新知识的学习。重点难点突破★知识点1：一般地，对于方程x2＝p①，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根x1＝-p,x2＝p；2)当p＝0时，方程①有两个相等的实数根x1＝x2＝0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程①无实数根。★知识点2：一般地，对于方程(mx＋n)2＝p②，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个不相等的实数根x1＝p−n

m,x2＝2)当p＝0时方程②有两个相等的实数根x1＝x2＝−n3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2≥0，所以方程②无实数根。核心知识一般地，对于方程x2＝p①，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________；2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程①_______实数根。一般地，对于方程(mx＋n)2＝p②，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根______________________；2)当p＝0时方程②有两个_______的实数根_______________；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2____0，所以方程②_______实数根。思维导图复习巩固1.如果x2=a,则x叫做a的.2.如果x2=a(a≥0),则x=.3.任何数都有平方根吗？【提问】求下列各数的平方根1）169

2）4253）0.364）2新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?尝试归纳求解形如x2＝p(p≥0)方程的方法？典例分析例1方程9x2=16的解是（）A．43 B．34 C．±4【针对训练】1．方程axA．a≠0 B．ac≠OC．ac≥O D．

c2．方程x2﹣4＝0的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x＝43．方程3x2+9=0的根为（）A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根探究新知【问题】尝试解(x＋3)2＝5【提问】你觉得解方程(x＋3)2＝5的实质是什么？尝试归纳求解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)方程的方法？典例分析例2一元二次方程(x-1)2=9的解为（）A．4B．-2C．4或-2D．3或-3例3若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（）A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或5【针对训练】1.一元二次方程(x+6)2A．x−6=−4B．x

-6=4C．x

【当堂巩固】用直接开平方法解下列方程：1）2x2-50=02）4x2+12x+9=1能力提升1．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）①13x2=1；②（x﹣2）2=5；③14（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x⑥y2﹣2y﹣3=0A．1 B．2 C．3 D．42．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为(

)A．x=±12 B．x＝±1 C．±223.若(a+b﹣1)(a+b+1)﹣4＝0，则a+b的值为()A．2 B．±2 C．5 D．±5直击中考1．（2019·湖南怀化·统考中考真题）一元二次方程x2A．x1=1,x2C．x1=x22．（2020·江苏扬州·中考真题）方程x+12=9的根是3．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a24．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：(2x+3归纳小结1.本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述如何通过直接开平方法解一元二次方程？2.通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？【参考答案】核心知识答案1：1）不相等、x1＝-p,x2＝p；2）相等、x1＝x2＝0；3）≥、无答案2：1）不相等、x1＝p−n

m,x2＝−p−n

m；2）相等、x1＝x2复习巩固答案：1.平方根；2.±a；3.负数没有平方根(1)因为(±13)2=169，所以169的平方根是±13．(2)因为(±25)2=425

，所以425(3)因为(±0.6)2=0.36，所以0.36的平方根是±0.6．(4)因为(±32)2=214，所以21新知探究设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，10×6x2=1500①，整理，得x2=25根据平方根的意义，得x=±5,即x1=5,x2=﹣5可以验证，x1=5和x2=﹣5是方程①的两个根因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm典例分析答案：C【针对训练】答案：1.∵ax2=c，若方程有解，∴a≠0，并且ac≥0，∴ca2.C3.原方程可化为：x2=−3，∵负数没有平方根，∴原方程无实数根.探究新知【问题】尝试解(x＋3)2＝5令x+3=a，则原式变形为：a2=5，整理，得a=±即x1=5-3，x2=【提问】你觉得解方程(x＋3)2＝5的实质是什么？将一个一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，这样我们就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。典例分析答案：C；B【针对训练】答案：D【当堂巩固】答案：1）x1=5，x2=-52）x1=-1，x2=-2能力提升答案：1.D；2.C；3.D直击中考1.∵x