211合情推理学案人教A版选修22

(完整word版)211合情推理学案人教A版选修22(完整word版)211合情推理学案人教A版选修22(完整word版)211合情推理学案人教A版选修222．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理．(重点、难点）2．了解合情推理在数学发现中的作用.学法指导归纳和类比是合情推理常用的思维方法．合情推理的结论不一定正确，但它在数学发现中起着重要作用。1．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳）由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程eq\x（\a\al(从具体问，题出发））→eq\x（\a\al(观察、分析、,比较、联想）)→eq\x（\a\al（归纳、,类比)）→eq\x(提出猜想)1．判断:(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)类比推理得到的结论可以作为定理应用．（）（2)由个别到一般的推理为归纳推理．(）答案：(1)×(2)√2．数列5,9，17,33，x，…中的x等于（)A．47 B．65C．63 D．128答案:B3．下面类比推理中恰当的是(）A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0,则a＝b"B．“（a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“（a·b）c＝ac·bc"C．“(a＋b）c＝ac＋bc”类比推出“eq\f（a＋b,c）＝eq\f(a，c)＋eq\f(b，c）（c≠0）”D．“（ab）n＝anbn”类比推出“(a＋b）n＝an＋bn”答案:C4．各项都为正数的数列｛an}中,a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10,…，猜想数列{an｝的通项为________．答案：an＝eq\f（nn＋1，2)数、式中的归纳推理(1)由下列各式:13＝12,13＋23＝32，13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．（2）已知数列｛an｝的第1项a1＝1，且an＋1＝eq\f（an,1＋an）(n＝1，2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．(链接教材P71例1）［解］(1）由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1,1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n）2,即13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(nn＋1，2）))2.（2）当n＝1时,a1＝1；当n＝2时，a2＝eq\f(1，1＋1）＝eq\f（1，2);当n＝3时，a3＝eq\f(\f（1，2),1＋\f(1，2））＝eq\f（1，3）；当n＝4时,a4＝eq\f（\f(1，3），1＋\f(1,3）)＝eq\f(1，4）。通过观察可得，数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝eq\f（1，n）。方法归纳由已知数、式进行归纳推理的方法（1)要注意所给几个等式（或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．（2)要注意所给几个等式（或不等式）中结构形式的特征．(3）提炼出等式（或不等式)的综合特点．（4)运用归纳推理得出一般结论．1．（2013·高考陕西卷)观察下列等式：（1＋1)＝2×1,(2＋1）（2＋2）＝22×1×3，（3＋1)(3＋2）(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________．解析：第n个等式可为:（n＋1）（n＋2)(n＋3)…(n＋n）＝2n·1·3·5…·(2n－1)．答案:（n＋1)(n＋2）(n＋3）…(n＋n）＝2n·1·3·5…·（2n－1)几何图形中的归纳推理根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．[解析]分别求出前4个图形中线段的数目,并加以归纳，发现规律，得出猜想．图形①～④中线段的条数分别为1,5，13，29。因为1＝22－3,5＝23－3，13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.[答案］509方法归纳解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：（1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较，数值发生了怎样的变化．2．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线,…，由此猜想凸n边形有几条对角线?解：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…于是猜想凸n边形比凸n－1边形多n－2条对角线，因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2）＝eq\f（1，2）n(n－3)(n≥4，n∈N＊）．类比推理及其应用（1)若Sn是等差数列｛an}的前n项和，则有S2n－1＝（2n－1）an，类似地，若Tn是等比数列｛bn}的前n项积，则有T2n－1＝________.（2）在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2"．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是________________________________________________________________________________________________________________________________________________。（链接教材P74例3)［解析］(1)T2n－1＝b1·b2·b3·…·b2n－1＝beq\o\al(2n－1，n)。（2)类比条件：两边AB、AC互相垂直eq\o（→,\s\up7（平面→空间、边垂直→面垂直），\s\do5（））侧面ABC、ACD、ADB互相垂直．结论:AB2＋AC2＝BC2eq\o（→,\s\up7（边长→面积)，\s\do5（))Seq\o\al(2，△ABC)＋Seq\o\al(2，△ACD）＋Seq\o\al（2，△ADB)＝Seq\o\al(2，△BCD）。［答案]（1)beq\o\al（2n－1，n）（2)设三棱锥A。BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则Seq\o\al（2,△ABC)＋Seq\o\al（2，△ACD)＋Seq\o\al（2，△ADB)＝Seq\o\al(2,△BCD）方法归纳(1）对于数列中的类比问题，除了等差数列和等比数列是一类重要的类比对象外，还可以将等差数列、等比数列的定义、性质等进行推广,与其他相关数列问题进行类比．（2)平面与空间的类比是一种常见的类比,一般地：平面图形中的点与空间图形中的线(线段)相类比；平面图形中的线与空间图形中的线或平面相类比；平面图形中的周长与空间图形中的表面积相类比；平面图形中的面积与空间图形中的体积相类比;平面中的三角形、正方形与空间中的四面体、正方体相类比；平面中的圆与空间中的球相类比等．3．类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．解：(1）两实数相加后,结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量．(2）从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律．即a＋b＝b＋a,a＋b＝b＋a.（a＋b)＋c＝a＋（b＋c)，(a＋b）＋c＝a＋（b＋c)．（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即加法运算．a＋x＝0与a＋x＝0都有唯一解，x＝－a与x＝－a.(4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小,即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a＋0eq\a\vs4\al（＝）a.易错警示对归纳推理的特征掌握不准确致误对任意正整数n，猜想2n与n2的大小关系是________．［解析］当n＝1时，21＞12；当n＝2时,22＝22；当n＝3时,23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52;当n＝6时，26＞62，所以可以猜想当n＝3时,2n＜n2；当n∈N*,且n≠3时，2n≥n2.［答案]当n＝3时，2n＜n2；当n∈N＊，且n≠3时，2n≥n2[错因与防范］1。解答的易错点是只列举了n＝1,2，3时的情况，直接猜想结论，从而所得结论不一定正确．2．在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形,对于特殊项要多验证几项，如本例n＝3验证后，再验证n＝4，n＝5,n＝6，再作猜想,以掌握更多归纳特征，同时要根据变化规律和趋势作判断．4．在数列{an}中,a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an＝()A．2n－2－eq\f（1，2) B．2n－2C．2n－1＋1 D．2n＋1－4解析：选B.因为a1＝0＝21－2，所以a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2,a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，…猜想an＝2n－2.故应选B。单独成册［学业水平训练］1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误解析:选B。根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是(）A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形答案:C3．类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．① B．①②C．①②③ D．③解析：选C．正四面体的面（或棱）可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．4．观察(x2)′＝2x，（x4）′＝4x3，(cosx）′＝－sinx，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x）满足f(－x)＝f（x)，记g（x)为f（x）的导函数,则g（－x)等于（）A．f（x） B．－f(x）C．g（x) D．－g(x）解析：选D．由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数．因此当f（x)是偶函数时,其导函数应为奇函数,故g（－x)＝－g(x）．5．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72015的末两位数字为（）A．01 B．43C．07 D．49解析：选B.因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…,所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2015＝4×503＋3，所以72015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43。6．设f(x)＝eq\f(2x,x＋2),x1＝1，xn＝f（xn－1)（n≥2)，则x2,x3,x4分别为________．猜想xn＝________.解析：x2＝f（x1）＝eq\f（2,1＋2)＝eq\f(2,3)，x3＝f(x2)＝eq\f(2×\f(2,3)，\f(2，3）＋2)＝eq\f（1，2)＝eq\f(2，4)，x4＝f(x3)＝eq\f（2×\f(1,2),\f(1，2）＋2）＝eq\f（2，5），∴xn＝eq\f(2，n＋1）。答案：eq\f(2,3），eq\f(2,4）,eq\f(2，5)eq\f(2,n＋1)7．（2014·晋中高二检测)在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有________．解析：根据平面几何与立体几何中的类比规律,边类比成面，三角形类比成四面体，所以正三角形类比成正四面体．故类比猜想在空间中有：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值8．(2014·银川高二检测）已知eq\r(2＋\f（2，3）)＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r（3＋\f（3，8))＝3eq\r（\f（3,8）），eq\r(4＋\f(4,15)）＝4eq\r（\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f（a,b））＝6eq\r(\f（a,b))（a，b∈R)，则a＋b＝________.解析：根据题意，由于eq\r(2＋\f(2,3)）＝2eq\r（\f(2,3))，eq\r（3＋\f（3,8）)＝3eq\r(\f(3，8）)，eq\r(4＋\f(4,15)）＝4eq\r(\f(4，15）)，…，那么可知eq\r(6＋\f（a,b））＝6eq\r（\f（a，b）），a＝6，b＝6×6－1＝35,所以a＋b＝41.答案：419．已知数列｛an｝的前n项和Sn＝n2·an(n≥2),而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an.解：∵Sn＝n2·an（n≥2)，a1＝1，∴S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝eq\f（1,3)＝eq\f（2，3×2）.S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝eq\f（a1＋a2,8)＝eq\f（1,6)＝eq\f(2，4×3).S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝eq\f(a1＋a2＋a3，15)＝eq\f（1，10)＝eq\f（2,5×4)。∴猜想an＝eq\f(2，nn＋1).10。如图所示,在△ABC中,a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P­ABC中,S1,S2，S3，S分别表示△PAB,△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ。［高考水平训练]1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图（1）图(2）他们研究过图(1）中的1,3，6,10，…,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地,称图（2)中的1，4,9,16,…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：选C．记三角形数构成的数列为｛an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3,a4＝10＝1＋2＋3＋4,可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1，2)。同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2。将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4。类似地，在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为________．解析：∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8。答案：1∶83．我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？（1)类比“等比数列"，请你给出“等积数列”的定义．(2)若｛an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．解：（1）如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的乘积是同一个常数,那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2）由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2,a6＝3,…，即｛an｝的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an｝的通项公式为an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4