第2题 复数的两大热点：复数的概念与复数的运算（解析）

第2题复数的两大热点：复数的概念与复数的运算一、原题呈现【原题】已知,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一：因为,所以,所以故选C.解法二：因为,,故选C.【就题论题】去年新高考试卷复数考查的是复数的除法运算,考查内容单一,今年把共轭复数与复数的运算结合在一起考查,背景有所创新,为降低难度,把除法运算改为乘法运算,可见新高考试卷入手依然比较容易.二、考题揭秘【命题意图】本题考查共轭复数及复数的乘法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.【考情分析】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【得分秘籍】1.解决复数概念问题及复数的几何意义应注意的问题(1)复数的分类,复数的相等,复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a＋bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解．(2)(其中a,b∈R),|z|表示复数z对应的点与原点的距离．|z1－z2|表示两点的距离,即表示复数z1与z2对应的点的距离．2.求解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．【易错警示】(1)对于复数a＋bi,如果a,b∈C(或没有明确界定a,b∈R),则不可想当然地判定a,b∈R.(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．(3)对于a＋bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,只注意了a＝0而漏掉了b≠0.(4)进行复数的乘法与除法运算,误认为,导致运算错误(5)设（a,b∈R）,注意,不要出现的错误三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021广东省珠海市第二中学高三6月热身）若是纯虚数,满足,则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】,因为复数为纯虚数,,,解得,所以因为,所以,即,所以复数在复平面内对应的点为位于第一象限,故选A.2．（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）设复数满足（是虚数单位）,则等于（）A． B．5 C． D．7【答案】A【解析】设,则,而,于是,则,所以.故选A3．（2021江苏省南通学科基地高三下学期高考全真模拟（四））已知i是虚数单位,复数,若,则a的值为（）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】复数∵,∴,化为,,解得,故选C.4．（2021湖南省衡阳市第八中学高三下学期考前预测（二））已知复数是关于的方程的一个根,则（）A．25 B．5 C． D．41【答案】C【解析】因为复数是关于的方程的一个根,所以,所以,所以,所以,则,故选C.5．（2021江苏省扬州中学高三下学期最后一模）已知,其中为虚数单位,记为的共轭复数,则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由,,,所以,故选B6．（2021山东省淄博市高三三模）已知,且,为虚数单位,则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角不等式可得,即的最大值为.故选B.7．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知i为虚数单位,,则（）A．5 B．7 C．9 D．25【答案】A【解析】因为,所以,所以,故选A.8．（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考热身训练）已知复数满足,则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设,则,,因为,所以,即,整理得b=0,所以,所以,当a=0时,最小值为2.故选B9．（2021福建省厦门市双十中学高三高考热身）已知复数对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为,且复数的模为2,则复数为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】设复数,∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为,∴,,∴．故选D.10．（2021湖北省黄冈中学高三下学期5月适应性考试）已知是复数z的共轭复数,若在复平面上的对应点位于第一象限,则z的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】设（）则,,由在复平面上的对应点位于第一象限,所以,所以,所以z的对应点位于第四象限,故选D.11．（2021广东省高州市高三二模）已知复数满足：（其中为虚数单位）,复数的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,∴,∴复数z的虚部为．故选C．12．（2021河北省沧州市高三三模）设复数满足,则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为,所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.13．（2021河北省唐山市高三三模）已知是虚数单位,,若复数为纯虚数,则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意

,又由为纯虚数,所以,解得.故选A.二、多选题14．（2021江苏省泰州市高三下学期考前练笔）设为复数,在复平面内、对应的点分别为、,坐标原点为,则下列命题中正确的有（）A．当为纯虚数时,三点共线B．当时,为等腰直角三角形C．对任意复数,D．当为实数时,【答案】ABD【解析】设,则,对A：当为纯虚数时,,对应的点分别为、,均在轴上,所以三点共线,故A正确；对B:当时,,所以,,所以,而,所以,所以为等腰直角三角形,故B正确；对C：,,当时,,故C错误；对D：当为实数时,,此时,故D正确.故选ABD15．（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）设是复数,则下列命题中的真命题是（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则【答案】ABC【解析】对于,若,则,所以为真；对于,若,则和互为共轭复数,所以为真；对于,设,若,则,即,所以,所以为真；对于,若,则,而,所以为假.故选ABC16．（2021江苏省南通市高三下学期5月四模）下列结论正确的是（）A．若复数满足,则为纯虚数B．若复数满足,则C．若复数满足,则D．若复数,满足,则【答案】BC【解析】对于A选项,设复数,满足,不为纯虚数,故A选项错误；对于B选项,设复数,则,所以,即,故B选项正确；对于C选项,设复数,则,所以且,所以,即,故C选项正确；对于D选项,设复数,,所以,但不成立,故D选项错误.故选BC17．（2021山东省临沂市高三二模）1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,据欧拉公式,则（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为,所以,故A正确,,故B正确,故C错误,故D正确故选ABD三、填空题18．（2021广东省深圳市高三下学期第五次统考）设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,且（为虚数单位）,则___