2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案含解析新人教A版选修2-31

PAGE2.3.2离散型随机变量的方差自主预习·探新知情景引入A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试问：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？试想利用什么指标可以比较加工质量？新知导学1．随机变量的方差、标准差的定义：设离散型随机变量的分布列如下表.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则__(xi－E(X))2__描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)xi－EX2pi)为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的__平均偏离程度__.我们称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的__标准差__．2．离散型随机变量与样本相比较，随机变量的__数学期望__的含义相当于样本均值，随机变量取各个不同值，相当于各个不同样本点，随机变量取各个不同值的__概率__相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重．3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于__均值__的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度__越小__．4．方差的性质若a、b为常数，则D(aX＋b)＝__a2D(X)__．设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn由Y＝aX＋b(a，b为常数)知Y也是离散型随机变量．Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn由数学期望的线性性质得E(Y)＝aE(X)＋b，于是D(aX＋b)＝D(Y)＝eq\i\su(i＝1,n,)(axi＋b－E(Y))2pi＝eq\i\su(i＝1,n,)(axi＋b－aE(X)－b)2pi＝eq\i\su(i＝1,n,)(axi－aE(X))2pi＝__a2eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi__＝__a2D(X)__．5．若X听从两点分布B(1，p)，则D(X)＝__p(1－p)__．设随机变量X～B(1，p)，则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得E(X)＝p，于是D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)(p＋1－p)＝p(1－p)．6．若X～B(n，p)，则D(X)＝__np(1－p)__．预习自测1．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是(B)环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A．甲 B．乙C．一样 D．无法比较[解析]E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，乙稳定．2．设随机变量X听从二项分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，则D(X)的值为(C)A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．eq\f(8,9) D．eq\f(1,9)[解析]D(X)＝4×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(8,9)．3．(2024·哈师大附中高二检测)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,5)(eq\f(1,3))k(eq\f(2,3))5－k，(k＝0、1、2、3、4、5)，则D(3ξ)＝(A)A．10 B．30C．15 D．5[解析]由ξ的分布列知ξ～B(5，eq\f(1,3))，∴D(ξ)＝5×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(10,9)，∴D(3ξ)＝9D(ξ)＝10，故选A．4．已知随机变量X听从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝__eq\f(1,3)__．[解析]依题意可得E(X)＝np＝30且D(x)＝np(1－p)＝20，解得p＝eq\f(1,3)．5．(2024·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则D(ξ)的最大值为(A)A．eq\f(2,3) B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,9) D．eq\f(3,4)[解析]∵a，b，c成等差数列，∴由随机变量ξ的分布列，得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1,a＋b＋c＝1,2b＝a＋c))，解得b＝eq\f(1,3)，a＝eq\f(1,3)－d，b＝eq\f(1,3)＋d，E(ξ)＝－1×(eq\f(1,3)－d)＋0×eq\f(1,3)＋1×(eq\f(1,3)＋d)＝2d，D(ξ)＝(－1－2d)2×(eq\f(1,3)－d)＋(0－2d)2×eq\f(1,3)＋(1－2d)2×(eq\f(1,3)＋d)＝eq\f(2,3)－4d2．∴当d＝0时，D(ξ)取最大值为eq\f(2,3).故选A．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶求离散型随机变量的方差典例1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．[思路分析](1)依据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．(2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b．[解析](1)X的分布列为：X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5．D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75．(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2．又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝4)).即为所求．『规律总结』1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：eq\x(理解X的意义，写出X可能取的全部值)↓eq\x(写出X取每个值的概率)↓eq\x(写出X的分布列)↓eq\x(由均值的定义求出EX)↓eq\x(利用公式DX＝\i\su(i＝1,n,)xi－EX2pi求值)2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应留意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避开了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避开了繁杂的计算，简化了计算过程．┃┃跟踪练习1__■(1)已知随机变量X的分布列为X123P0.5xy若E(X)＝eq\f(15,8)，则D(X)等于(B)A．eq\f(33,64) B．eq\f(55,64)C．eq\f(7,32) D．eq\f(9,32)[解析]由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝eq\f(15,8)，所以2x＋3y＝eq\f(11,8)，解得x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,8)，所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))2×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))2×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64)．(2)(2024·柳州高二检测)已知X的分布列如下：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a①求X2的分布列；②计算X的方差；③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解析]①由分布列的性质，知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，故a＝eq\f(1,4)，从而X2的分布列为X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)②方法一：由①知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).故X的方差D(X)＝(－1＋eq\f(1,4))2×eq\f(1,2)＋(0＋eq\f(1,4))2×eq\f(1,4)＋(1＋eq\f(1,4))2×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16)．方法二：由①知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，X2的均值E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝eq\f(11,16)．③因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．命题方向❷两点分布、二项分布的方差典例2某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事务是相互独立的，并且概率是eq\f(1,3)．(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差．[解析](1)由题意知司机遇上红灯次数X听从二项分布，且X～B(6，eq\f(1,3))，∴E(X)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(X)＝6×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(4,3)．(2)由已知得Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1200．『规律总结』1.假如随机变量X听从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为胜利概率)．2．假如随机变量X听从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时干脆代入求解，从而避开了繁杂的计算过程．┃┃跟踪练习2__■若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝eq\f(2,3)，则p＝__eq\f(1,3)或eq\f(2,3)__．[解析]∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，由3p(1－p)＝eq\f(2,3)，得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(2,3)．命题方向3方差的实际应用典例3(2024·日照高二检测)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解析](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3．同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4．(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．『规律总结』1.解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点(1)分析题目背景，依据实际状况抽象出概率模型，特殊留意随机变量的取值及其实际意义．(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．2．求分布列时的关注点要留意利用等可能事务、互斥事务、相互独立事务的概率公式计算概率，并留意结合分布列的性质简化概率．┃┃跟踪练习3__■为了探讨一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)试推断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)[解析](1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的人小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为eq\f(15,50)＝0.3．(2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C．所以ξ的全部可能取值为0,1,2．P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)．所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)故ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,6)＝1．(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．学科核心素养用公式法求离散型随机变量的方差若能推断出离散型随机变量听从常见的分布，则常用公式法求离散型随机变量的方差．留意以下三种分布在解题中的应用：①当X听从两点分布，即X～B(1，p)时，D(X)＝p(1－p)；②当X听从二项分布，即X～B(n，p)时，D(X)＝np(1－p)；③当X听从超几何分布，即X～H(N，M，n)时，D(X)＝eq\f(nM,N)(1－eq\f(M,N))eq\f(N－n,N－1)．典例4(1)若随机事务A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(ξ)的最大值为__eq\f(1,4)__．(2)一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于__0.196__．[解析](1)随机变量ξ的全部可能取值为0,1，并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，从而ξ～B(1，p)，故D(ξ)＝p(1－p)＝p－p2＝－(p2－p＋eq\f(1,4))＋eq\f(1,4)＝－(p－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，∵0<p<1，∴当p＝eq\f(1,2)时，D(ξ)取得最大值，最大值为eq\f(1,4).故填eq\f(1,4)．(2)因为随机变量ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故填0.196．┃┃跟踪练习4__■在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图.甲地乙地80346812478890245620012规定：当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品．(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D(ξ)．[解析](1)甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为eq\f(7,10).乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)．(2)ξ的全部可能值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,8)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8)·C\o\al(0,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，所以ξ的分布列为：ξ123Peq\f(1,15)eq\f(7,15)eq\f(7,15)所以ξ的方差D(ξ)＝eq\f(8×3,10)×(1－eq\f(8,10))×eq\f(10－3,10－1)＝eq\f(28,75)．易混易错警示要精确理解随机变量取值的含义典例5某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．[错解]5把钥匙中只有一把能打开房门，任取一把打开房门的概率为eq\f(1,5)，故试开次数X～B(5，eq\f(1,5))，由二项分布均值与方差的定义知E(X)＝5×eq\f(1,5)＝1，D(X)＝5×eq\f(1,5)×(1－eq\f(1,5))＝eq\f(4,5)．[辨析]首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，其次次试开就只有4把钥匙了．其次X＝k的含义是前k－1把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门．[正解]设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1、2、3、4、5．X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门．P(X＝1)＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,5))·eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,5))·eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,5))·eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,5))·1＝eq\f(1,5)，故随机变量X的概率分布列为：X12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3．D(X)＝(1－3)2×eq\f(1,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,5)＋(5－3)2×eq\f(1,5)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋02＋12＋22)＝2．[误区警示](1)弄不清随机变量X取值的含义是本题解题的易错点，X＝k表示前k－1把钥匙是从4把打不开房门的钥匙中取的，故P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k－1,4),C\o\al(k－1,5))·eq\f(1,5－k－1)．(2)本题求分布列时，可换一个思维角度思索，把5把钥匙排成一列，能打开房门的钥匙排在任一位置是等可能的，因此排在第k个位置的概率为P(X＝k)＝eq\f(1,5)(k＝1,2,3,4,5)．课堂达标·固基础1．已知随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)设Y＝2X＋3，则D(Y)＝(A)A．eq\f(8,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)[解析]∵E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1，∴D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,3)＋(1－1)2×eq\f(1,3)＋(2－1)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝eq\f(8,3)．2．一批产品中，次品率为eq\f(1,4)，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为(C)A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,16)[解析]由题意，次品件数X听从二项分布，即X～B(4，eq\f(1,4))，故D(X)＝np·(1－p)＝4×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)．3．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值为(B)A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1[解析]由E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2，D(3ξ＋2)＝9D(ξ)，设ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3np＋2＝9.2，,9np1