2024-2025学年高中数学第二章数列2.2.1等差数列同步作业含解析新人教A版必修51

PAGE等差数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为 ()A.2 B.3 C.-2 【解析】选C.由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2.2.(2024·嘉兴高一检测)等差数列{an}中,已知a3=7,a5=13,则a7= ()A.16 B.17 C.18 【解析】选D.由等差数列的性质可得2a5=a3+a7,所以a7=2a5-a3=19.3.已知数列{an}是等差数列,a4=25,a7=13,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为 ()A.4 B.QUOTE C.-4 D.-QUOTE【解析】选C.由已知数列{an}是等差数列,所以an是关于n的“一次函数”,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),所以过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线,即过点(4,25),(7,13)的直线,所以直线斜率k=QUOTE=-4.4.等差数列{an}中,若a4=3,则a2+a3+a7= ()A.6 B.9 C.12 【解析】选B.因为a4=3,所以a2+a3+a7=a4-2d+a4-d+a4+3d=3a4=3×3=9.5.(2024·上海高一检测)已知数列QUOTE是等差数列,数列QUOTE分别满意下列各式,其中数列QUOTE必为等差数列的是 ()A.bn=|an| B.bn=QUOTEC.bn=QUOTE D.bn=-QUOTE【解析】选D.设数列QUOTE的公差为d,选项A,B,C,都不满意bn-bn-1=同一常数,所以三个选项都是错误的;对于选项D,bn-bn-1=-QUOTE+QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以数列QUOTE必为等差数列.6.在数列{an}中,a1=2,2an+1QUOTE-2an=1,则a101的值为 ()A.49 B.50 C.51 【解析】选D.因为an+1-an=QUOTE,所以数列{an}是首项为2,公差为QUOTE的等差数列,所以an=a1+(n-1)·QUOTE=2+QUOTE,所以a101=2+QUOTE=52.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设等差数列{an}满意:a1+a2=7,a1-a3=-6,则a5=________.

【解析】因为等差数列{an}满意:a1+a2=7,a1-a3=-6.所以QUOTE,解得a1=2,d=3,所以a5=a1+4d=2+4×3=14.答案:148.等差数列1,-1,-3,-5,…,-89的项数为________.

【解析】因为a1=1,d=-1-1=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.由-2n+3=-89,得n=46.答案:46三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·临沂高二检测)已知等差数列QUOTE满意a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求首项及公差;(2)求QUOTE的通项公式.【解析】(1)设等差数列QUOTE的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.(2)由(1)可知an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).10.(1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并推断-34是该数列的项吗?【解析】(1)设{an}的公差为d.由已知得QUOTE解得QUOTE所以a75=a1+74d=QUOTE+74×QUOTE=24.(2)由已知QUOTE所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE因为数列{an}是递减等差数列,所以d<0,a1=11,d=-5,所以an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16,即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10,所以-34是数列{an}的第10项.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2024·蚌埠高一检测)已知等差数列{an}的前三项依次为-1,1,3,则此数列的通项公式为 ()A.an=2n-5 B.an=2n-3C.an=2n-1 D.an=2n+1【解析】选B.等差数列{an}中,a1=-1,a2=1,可得d=a2-a1=2,由通项公式可得an=a1+(n-1)×d=-1+2(n-1)=2n-3.2.(2024·乌鲁木齐高一检测)若三角形的三个内角成等差数列,则其次大的角度数为 ()A.30度 B.45度C.60度 D.75度【解析】选C.设三个角依次为A、B、C且A<B<C,则有QUOTE,解得B=60°,因此,其次大的角度数为60度.3.在等差数列{an}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则QUOTE= ()A.-QUOTE B.-3 C.-6 D.2【解析】选A.由于a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,所以a2+a14=2a8=-6,a8=-3,a2·a14=2,所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE.4.在等差数列{an}中,已知a1=QUOTE,a2+a5=4,an=33,则n等于 ()A.48 B.49 C.50 【解析】选C.因为a1+d+a1+4d=4,且a1=QUOTE,所以d=QUOTE,又因为an=a1+(n-1)d=QUOTE+(n-1)×QUOTE=33,即n=50.5.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是 ()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2=QUOTED.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0【解析】选C.对a1=2,a2=-1,a3=-4,选项A,B不成立.选项C,由等差中项的定义知,a2=QUOTE,故C正确.选项D,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0,不正确.二、填空题(每小题5分,共20分)6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=________.

【解析】因为{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,所以QUOTE,解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4.答案:-47.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列QUOTE为等差数列,则a5=________.

【解析】由数列QUOTE为等差数列,则有QUOTE+QUOTE=QUOTE,可解得a5=QUOTE.答案:QUOTE8.数列QUOTE满意:log2an+1=1+log2an,若a3=10,则a8=________.

【解析】log2an+1=1+log2an,所以log2an+1-log2an=1,所以QUOTE为等差数列,公差为1,第三项为log210,所以log2a8=log2所以a8=320.答案:3209.在等差数列{an}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于________.

【解析】设公差为d,则因为a1+a2=3,a3+a4=5,所以2a1+d=3,2a1+5d=5,所以d=QUOTE,即得a1=QUOTE,所以a7+a8=2a1+13d=2×QUOTE+13×QUOTE=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知数列{an}中,a1=-1,an+1·an=an+1-an且Cn=QUOTE,证明{Cn}是等差数列.【证明】因为an+1·an=an+1-an,所以QUOTE-QUOTE=1,即QUOTE-QUOTE=-1,故Cn+1-Cn=-1,因此{Cn}是等差数列.11.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试推断153是不是这个数列的项,假如是,是第几项?【解析】设首项为a1,公差为d,由已知得QUOTE,解得QUOTE,所以an=-23+(n-1)×4=4n-27,令an=153,即4n-27=153,解得n=45,所以153是该数列的第45项.12.已知数列{an}满意a1=3,an·an-1=2an-1-1.(1)求a2,a3,a4;(2)求证:数列{QUOTE}是等差数列,并求出{an}的通项公式.【解析】(1)因为an·an-1=2an-1-1,a1=3,所以a2=QUOTE,a3=QUOTE,a4=QUOTE.(2)证明:易知an-1≠0,an=2-QUOTE.当n≥2时,QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=1,所以{QUOTE}是以QUOTE=QUOTE为首项,以1为公差的等差数列,QUOTE=QUOTE+(n-1)·1=n-QUOTE,所以an=QUOTE+1=