2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第二章 整式的乘法（知识归纳+题型突破）（解析版）

第二章整式的乘法（知识归纳+题型突破）1、了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）．2、理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）．3、理解乘法公式a+ba−b=1、概念（1）单项式：像x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式的次数:多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。2、运算（1）整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。（2）整式的乘除：幂的运算法则：其中m、n都是正整数同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：积的乘方：。单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：，题型一同底数幂的乘法【例1】（2024上·广东广州·八年级统考期末）计算的结果是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可．【详解】解：．故选：A【例2】（2023上·海南海口·八年级校考期中）在等式中，括号内所填的代数式应当是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的运算及其性质，解答本题的关键在于熟练掌握同底数幂的乘法性质及灵活运用．【详解】解：由同底数幂的乘法运算法则可得，，∴∴括号内所填的代数式应当是：．故选：C．【例3】（2024上·上海浦东新·七年级校考期末）的计算结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，同底数幂的乘法，先把原式变形为，进而得到．【详解】解：，故选C．【例4】（2023上·河南周口·七年级周口市第四初级中学校考期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律?①，②，③，（2）规律（都是正整数）．即______．（文字表达）（3）应用①计算；②把看成一个整体，计算．【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；②【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；【详解】（1）①，②，③，故答案为：（2），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）①；②巩固训练：1．（2023上·重庆江北·八年级校考期中）计算：的结果是（

）A． B． C． D．a【答案】A【分析】本题考查了同底数幂乘法，根据同底数幂相乘的法则：底数不变，指数相加，即可计算求值．【详解】解：，故选：A．2．（2024上·上海浦东新·七年级校考期末）已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意；故选C．3．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知，，m，n为正整数，则为（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法运算法则即可得出答案．【详解】解：，，m，n为正整数，，故选B．4．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）已知，，求的值是（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则．根据同底数幂的运算法则即可求出答案．【详解】解：由题意可知：，，，．故选B5．（2024上·广东广州·八年级统考期末）若，则．【答案】32【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用．掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键．【详解】解：∵，∴；故答案为：32．6．（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）已知：，那么．【答案】3【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的基本法则是解题的关键．转化成以2为底的幂的乘法，根据指数相等建立等式计算．【详解】∵∴∴∴∴．故答案为：3．7．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼市四中校考期中）若，，则；当时，则．【答案】68【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相应的运算法则和逆运算是解题的关键．【详解】解：由，可得，由，可得，故答案为：6，．8．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？【答案】胡夫金字塔总重约为千克【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案．【详解】解：由题意，得：（千克）答：胡夫金字塔总重约为千克．9．（2023上·四川凉山·七年级校考阶段练习）请阅读以下材料解决相关问题：已知，，例如，．(1)①_____．②______________．③(2)，(3)若，求的值【答案】(1)①；②；③(2)；(3)10【分析】本题主要考查同底数在的乘法：（1）直接运用同底数幂的运算法则进行计算即可；（2）分别把，当作底数，再运用同底数幂的运算法则进行计算即可；（3）根据逆用同底数幂运算法则求出，再代入计算即可得到答案．【详解】（1）①；②；③故答案为：①；②；③（2），，故答案为：；（3）∵，∴∴∴，∴题型二幂的乘方与积的乘方【例1】（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，，为正整数，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，通过同底数幂乘法的逆运算及幂的乘方的逆运算可将转化为，代入已知条件运算即可求解，掌握同底数幂乘法的逆运算及幂的乘方的逆运算是解题的关键．【详解】解：∵，又∵，，∴，故选：．【例2】（2023上·天津滨海新·八年级统考期末）计算的结果等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用积的乘方的法则进行运算即可．【详解】解：故选：A．【例3】（2023上·内蒙古通辽·八年级校考期中）已知，则的值为（

）A．16 B．25 C．32 D．64【答案】C【分析】此题考查了幂的乘方和同底数幂相乘的法则，熟练掌握法则是解题的关键．利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把进行变形后，再整体代入即可．【详解】解：∴，∴，故选：C．【例4】（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小是解题关键．先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘．然后根据指数的大小即可比较大小．【详解】解：∵；；．则．故选：C．巩固训练1．（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可．【详解】解：，故选：B．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．分别计算积的乘方和幂的乘方即可．【详解】解：，故选：C．3．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）已知，，则，的大小关系是（请用字母表示，并用“＜”连接）．【答案】【分析】本题考查了幂的乘方．把和变成指数为11的两个数，再对底数进行比较即可．【详解】解：，，，，故答案为：．4．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如果，，则．【答案】3【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方计算法则得到，再根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，故答案为：3．5．（2024上·天津河西·八年级统考期末）若，则．【答案】/0.5【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．根据，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，即：，∴．故答案为：．6．（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）比较大小：．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小．【详解】解：，，，，故．故答案为：．7．（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知，则之间的等量关系是．【答案】【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，根据题意可得，进而得到，则，由此即可得到．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．8．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小．我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题：(1)试比较和的大小；(2)若，，试比较a，b的大小；(3)若，且，试比较与的大小．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键．（1）可以将指数都化为2再进行比较；（2）可以将指数都化为15再进行比较．（3）根据整式的混合运算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴∴．（2）解：∵∴∵∴∵∴∴（3）解：∵，，∴∴9．（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）已知，求的值．【答案】/【分析】本题考查非负数性质，绝对值定义，积的乘方．根据题意求出的值，再代入中即可求得本题结果．【详解】解∶∵，∴，解得，∴，故答案为：．10．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）（1）若，，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．（1）先根据同底数幂的除法以及幂的乘方进行变形，再代入求出即可；（2）原式变形为，再代入数据求出即可．【详解】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴．题型三单项式、多项式的乘法【例1】（2024上·天津西青·八年级统考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式法则进行计算即可求解．【详解】解：．故选：D【例2】（2023下·江苏·七年级专题练习）计算：．【答案】【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据“单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中只含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式”计算即可．【详解】解：．故答案为：．【例3】（2023上·广东广州·八年级广东广雅中学校考期中）计算：．【答案】【分析】利用多项式乘以多项式的法则展开后再合并同类项即可．【详解】解：巩固训练1．（2023上·河南商丘·九年级校联考阶段练习）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可．【详解】解：．2．（2023上·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知与的积与是同类项，求m，n的值．【答案】，【分析】本题考查了单项式与单项式相乘的运算法则，以及同类项的定义，先计算和的积，然后根据积与是同类项，即可求出m、n的值．解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．【详解】解：∵∴与是同类项．∴解得．所以3．（2024下·全国·七年级假期作业）已知单项式与的积与是同类项，求，的值．【答案】，【详解】解：．因为与是同类项，所以，，解得，4．（2023上·吉林·八年级统考期末）计算：．【答案】【分析】本题考查了多项式和单项式之间的乘除运算法则，掌握该法则是解答本题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．【详解】解：．5．（2023上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可；（2）先根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）解：．6．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）计算：．【答案】【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，由多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则，即可计算．【详解】解：原式．7．（2023上·四川泸州·八年级四川省泸县第一中学校考期中）计算：【答案】【分析】本题主要考查了整式的乘法，运用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到答案．【详解】题型四不含某项求字母的值【例1】（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若的展开式中不含x的二次项，则（）A．0 B．2 C．2.5 D．【答案】B【分析】本题主要考查多项式乘以多项式法则，熟悉掌握法则是关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含项，求出m的值．【详解】解：，∵的展开式中不含x的二次项，∴，∴．故选：B．巩固训练1．（2023上·湖北襄阳·八年级统考阶段练习）若的结果不含x的一次项，则a的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．【详解】解：，∵积中不含x的一次项，∴，即，故选：D．2．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）的乘积中不含和项，则的值为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则先把要求的式子进行整理，再根据多项式展开后不含和的项，得出，求出的值即可．【详解】解：∴，解得：故选：C．3．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）若的乘积中不含x二次项，则a的值为．【答案】1【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，同时考查多项式的概念中的项的次数，及不含某项的条件，掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：而上式不含x二次项，，故答案为：．4．（2024上·北京海淀·八年级北京市师达中学校考期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为．【答案】【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．利用多项式乘多项式的法则化简后，使一次项的系数为0，进行求解即可．【详解】解：∵，∵乘积不含一次项，∴，∴；故答案为：．5．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的展开式中不含和项，求m，n的值．【答案】，【分析】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算．先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于m、n的方程，求出m、n即可．【详解】∵的展开式中不含和项，∴，解得，．题型五多项式乘多项式与图形面积【例1】（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要B类卡片（

）A．2张 B．3张 C．5张 D．7张【答案】B【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则可求出长方形的面积．【详解】解：长方形的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为，需要类卡片2张，类卡片3张，类卡片7张．故选：B．【例2】（2024上·黑龙江绥化·八年级统考期末）千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为米，宽为米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点（如图中间的长方形），则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．

【答案】绿化的面积是平方米，当，时的绿化面积是【分析】本题考查了多项式成多项式，代数式求值．根据矩形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案．【详解】由题意，得当，时，，答：绿化的面积是平方米，当，时的绿化面积是．巩固训练1．（2024上·北京大兴·八年级统考期末）如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积（单位：）是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查整式表示几何面积，按图形列出代数式即可．【详解】解：由图知，甬道所占的面积正方形面积草坪面积，下面将甬道平移到两边便于理解：即甬道所占的面积，故选：D．2．（2023上·上海青浦·七年级统考期末）如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片张．【答案】10【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据大长方形的面积及A、B、C三类纸片的面积可进行求解．【详解】解：长为、宽为的长方形的面积为，正方形A的面积为，正方形B的面积为，长方形C的面积为，∴需要A、B类纸片各6张，C类纸片10张；故答案为10．3．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）现有甲、乙、丙三种卡片各若干张，其中甲、丙为正方形卡片，乙为长方形卡片，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为．(1)①请用含的式子分别表示，即______，______；②当时，求的值；(2)比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)①，；②；(2)，理由详见解析．【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积问题．（1）①根据已知图形，确定长方形的长和宽，利用面积公式列式计算即可；②求出，将代入计算即可；（2）作差法比较与的大小即可．解题的关键是正确的识图，列出代数式．【详解】（1）解：①，，②当时，；（2），理由：，，，，，．4．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．(1)求计划种植草坪的面积；(2)已知，，若种植草坪的价格为30元/，求种植草坪应投入的资金是多少元？【答案】(1)计划种植草坪的面积为(2)种植草坪应投入的资金是243000元【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；（2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：，，栽花面积：，草坪面积：．（2），，草坪价格为30元/，应投入的资金元．题型六多项式乘多项式：化简求值【例1】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）化简，其中【答案】【分析】本题主要考查整式乘法，注意按照多项式乘多项式运算法则，不要漏乘，最后合并同类项，结果为最简．【详解】解：原式当时，原式．【例2】（2023上·北京海淀·八年级北大附中校考期中）已知，求的值．【答案】【分析】先利用整式的混合运算化简代数式，再把已知条件变形，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵，∴，．巩固训练1．（2023上·山东德州·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，22【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式化简求值的方法是解题的关键．【详解】解：，把代入，原式．2．（2023上·广东广州·八年级校联考期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】此题考查整式的化简求值，整式的混合运算，先根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则去括号，合并同类项，再将字母的值代入计算即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．【详解】解：原式当时，原式．3．（2023上·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查的是整式的乘法及加减混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式、单项式乘多项式及整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【详解】解：原式=

当时，原式4．（2023上·福建福州·八年级校考期中）化简求值：，其中，【答案】【分析】利用多项式乘多项式的法则分别展开，合并同类项，最后把值代入计算即可．【详解】解：，当，时，原式．5．（2023上·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）已知，求的值．【答案】【分析】根据题意可得，化简式子，整体代入即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴．6．（2023上·北京海淀·八年级北京交通大学附属中学校考期中）已知，求的值．【答案】【分析】由，可得，根据，代值求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴的值为．7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）化简求值：，其中．【答案】，14【分析】先根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则运算，再合并同类项，然后把字母的值代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．题型七多项式乘法中的规律性问题【例1】（2023上·广东广州·八年级广州市真光中学校考阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（

）1…………1…………………1

1………1

2

1………………1

3

3

1……1

4

6

4

1A．15 B． C．6 D．【答案】B【分析】本题考查了二项和的乘方的展开，运用杨辉三角来确定展开式中各项系数是解决本题的关键．根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，即可确定展开后的各项系数，从而得出答案．【详解】解：根据上面的规律，得，各项系数为：1，5，10，10，5，1展开后的各项系数为：1，6，15，20，15，6，1，展开后的各项系数为：1，，15，，15，，1．含项的是奇数次方，含项的系数是．故选：B．【例2】（2023·全国·八年级专题练习）观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是(

)A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】可得，从而可求，由即可求解．【详解】解：由题意得，，，；故选：A．【例3】（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）已知，，，根据前面各式的规律，可得：的值是．【答案】【分析】本题考查多项式乘多项式的规律探究，根据给定的等式，得到，将乘以，即可得出结果．【详解】解：∵，，，∴，∴；故答案为：．【例4】（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是．【答案】5【分析】根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可．【详解】解：第1个等式为，第2个等式为，第3个等式为，第4个等式为，……第n个等式为，∴，∵，，，，，，，……，∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环，又，∴即的末位数为5，故答案为：5．巩固训练1．（2023上·甘肃定西·八年级校联考阶段练习）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（

）A．45 B．55 C．2017 D．2018【答案】A【分析】本题考查数字变化规律．根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数．【详解】解：找规律发现的第三项系数为；的第三项系数为；的第三项系数为；∴的第三项系数为，∴第三项系数为，故选：A．2．（2023上·山西临汾·八年级统考阶段练习）观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是．【答案】【分析】观察题目中所给的一系列等式可得到规律：，结合规律可知，据此求解的值，从而计算的值．【详解】解：观察可得，，．则．故答案为：．3．（2023下·山东青岛·七年级校考阶段练习）数学兴趣小组发现：利用你发现的规律：求：．【答案】【分析】观察题目所给的式子可以得到规律，然后把代入式子中进行求解即可．【详解】解：；；；∴可以得到规律，当时：，．故答案为：．4．（2023上·河南许昌·八年级校联考阶段练习）我国著名数学家华罗庚谈到，我国古代数学的许多成就和发展都居世界前列，“杨辉三角”就是一例。如下图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：．【答案】【分析】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意可得：．故答案为：．5．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：(1)展开式共有_______项，第19项系数为_______；(2)根据上面的规律，写出的展开式：_______；(3)利用上面的规律计算：；(4)假如今天是星期四，那么再过天是星期_______．【答案】(1)；(2)(3)(4)三【分析】本题主要考查了多项式乘法多的规律探索：（1）通过观察式子可得规律展开式共有项，当时倒数第三项的系数为，据此代入求解即可；（2）先仿照题意求出的展开式每一项的系数，进而写出对应的展开式即可；（3）当时，令，可推出，则；（4）根据（a、b、c…是一列常数），得到除以7的结果余数为6，则假如今天是星期四，那么再过天是星期三．【详解】（1）解：，展开式有项，，展开式有项，倒数第三项系数为，，展开式有项，倒数第三项系数为，，展开式有两项，倒数第三项系数为，，展开式有项，倒数第三项的性质为……，以此类推，可知展开式共有项，当时倒数第三项的系数为，∴展开式共有项，第19项系数为，故答案为：；；（2）解：如下图所示，可知，故答案为：．（3）解：∵，∴当时，，∴，∴；（4）解：（a、b、c…是一列常数），∵的值刚好是7的整倍数，∴除以7的结果余数为6，∴假如今天是星期四，那么再过天是星期三，故答案为：三．6．（2023上·新疆喀什·八年级期末）（1）计算并观察下列各式：；；；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．；（3）利用你发现的规律计算：．【答案】（1），，；（2）；（3）【分析】本题考查了多项式乘以多项式、整式乘法的规律，正确发现规律是解题关键．（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可得；（2）根据（1）的规律即可得；（3）根据（1）和（2）发现的规律即可得．【详解】解：（1），，，故答案为：，，；（2）观察（1）可知，第1个式子为，第2个式子为，第3个式子为，则，故答案为：；（3）由上述规律可知，，故答案为：．7．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）阅读下列解题过程：

．．．．．．(1)试求的值(2)判断的值的个位数是几？【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据题意可得规律，令，代入求解即可；（2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案．【详解】（1）解：，，，，……，依此类推可知，，∴当时，，∴；（2）解：，∵的个位数是，的个位数是，的个位数是，的个位数是，的个位数是……，∴可得当（k为正整数）时，个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，∵，∴的个位数是1．8．（2023上·四川内江·八年级校考期中）阅读下列材料，并解决有关问题．我们知道展开后等于，我们可以利用多项式乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：计算

结果的项数

各项系数

1

1

2

1

1

3

1

2

1

4

1

3

3

1(1)你能根据上表的规律写出，的结果吗？=__________________；=_____________________；(2)请你利用上表的规律求出下式的计算结果：．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据材料中计算结果的项数和系数的规律直接写出答案即可；（2）根据所给算式可得原式是的展开式，然后进行计算即可．【详解】（1）解：由材料可得：；；（2）解：原式．9．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）探索题：

……(1)当时，＝．(2)试求：的值．(3)判断的值个位数字是．【答案】(1)；(2)63(3)5【分析】（1）根据阅读部分的提示利用规律求解即可；（2）根据题意可得：，即可求解；（3）先根据题意求得，找出个位数字的循环规律，即可求解．【详解】（1）解：当时，，（2）根据题意可得：则；（3）根据题意可得：∵，，，，，，，则个位数字是按照、、、四个数依次循环，，∴的个位数字为6则的个位数字为5．题型八平方差公式【例1】（2024上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的形式是解题的关键．两次利用平方差公式计算即可．【详解】解：，故选B．【例2】（2024上·天津河西·八年级统考期末）计算：．【答案】370000【分析】本题主要考查了应用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟练掌握掌握平方差公式，准确计算．【详解】解：．【例3】（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：①；②；③；④______；…(1)将横线上的等式补充完整；(2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；(3)拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由．【答案】(1)(2)验证见解析(3)是，理由见解析【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．（1）根据已知算式写出即可；（2）利用平方差公式计算得出答案；（3）这两个偶数为为和，利用平方差公式计算得出答案．【详解】（1）解：由题意得：；（2）解：．为正整数，为正整数，若两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；（3）解：是；理由：设两个连续的正奇数为，（m为正数）．．为正整数，两个连续的正奇数的平方差是8的倍数．巩固训练1．（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）计算：．【答案】/【分析】本题考查平方差公式，运用平方差公式求解即可．【详解】．故答案为：2．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）若，，则．【答案】2【分析】本题考查了平方差公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式可得，再将代入计算即可得．【详解】解：∵，，又∵，，，故答案为：2．3．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）用简便方法计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式的形式是解题关键．（1）将原式写成，利用平方差公式即可求解；（2）利用平方差公式即可求解．【详解】（1）解：原式（2）解：原式4．（2024上·北京大兴·八年级统考期末）求证：当是整数时，两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的倍．【答案】证明见解析【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．根据题意，得到是整数，与是两个连续的奇数，则，，由此得到证明．【详解】证明：根据题意得：是整数，与是两个连续的奇数，，这两个奇数和为：，，即当是整数时，两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的倍．5．（2023上·吉林·八年级校考期中）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是______；(2)若，，求的值；(3)．【答案】(1)(2)；(3)．【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积．（1）根据图形面积相等即可求解；（2）根据平方差公式进行计算即可求解；（3）根据平方差公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：上述过程所揭示的乘法公式是，故答案为：；（2）解：，，，，∴；（3）解：．6．（2022上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）实践与探索：如图1，在边长为的大正方形里挖去一个边长为的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个）A．B．C．(2)请应用这个等式完成下列各题：①已知，则______．②计算：．【答案】(1)A(2)①4②【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算．（1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论；（2）①利用平方差公式解答即可；②将1看成，利用平方差公式解答即可．【详解】（1）图1的面积为，图2的面积为：，由于拼接前后的面积相等，∴，∴上述操作能验证的等式是A，故答案为：A；（2）①∵，∴，∴，故答案为：4；②∵，∴题型九求完全平方公式中的字母系数【例1】（2019上·四川宜宾·八年级统考期中）若是完全平方式，则m的值等于（

）A．8 B． C．16 D．8或【答案】D【分析】本题考查完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，中间一项为加上或减去x和4的积的2倍，即可确定m的值．【详解】解：，是完全平方式，，或，故选D．巩固训练1．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．根据完全平方公式的特点，即可求出m的值【详解】解：∵，∴．故选：C．2．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）如果关于m的二次三项式是完全平方式，那么a的值为（

）A．1 B．4 C． D．【答案】A【分析】本题考查了完全平方式的性质和应用，要熟练掌握，解答本题的关键是在理解的基础上掌握完全平方公式．【详解】解：∵是完全平方式，∴，∴，∴．故选：A．3．（天津市和平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知是完全平方式，则．【答案】13或【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．【详解】解：，，或，解得或．故答案为：13或．4．（2024下·全国·七年级假期作业）已知代数式是一个完全平方式，则有理数的值为．【答案】6或【分析】本题考查了完全平方式的特点，熟记完全平方式的特点是解题的关键．根据积的2倍项的特点可得答案．【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，∴，∴或，故答案为：6或．5．（2024上·北京丰台·八年级统考期末）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值是．【答案】9【分析】本题是完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．根据两数和的完全平方等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．【详解】解：由是一个完全平方式，得，故答案为：9．6．（2024下·全国·八年级假期作业）已知关于的代数式是一个完全平方式，则的值为【答案】3或【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．【详解】解：，，或，解得或．故答案为：3或.7．（2021上·辽宁鞍山·八年级校考期中）若是关于的完全平方式，则．【答案】或/或【分析】由是关于的完全平方式，得出，进而得出，即可求出的值．【详解】解：∵是关于的完全平方式，∴，∴，解得：或，故答案为：或8．（2012上·八年级课时练习）若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是．【答案】±4x,4x4，-1，-4x2【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4x;②如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q=4x4.【详解】解：∵4x2+1±4x=(2x±1)24x2+1+4x4=(2x2+1)2;∴加上的单项式可以是±4x,4x4,-1，-4x2中任意一个,故答案为：±4x,4x4，-1，-4x2题型十完全平方公式与对称式【例1】（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）（1）已知，，则的值为．（2）已知，，则的值为．（3）已知满足，则的值为．【答案】【分析】（1）本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题．（2）本题解法与（1）类似，先利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题．（3）本题利用数学整体的思想，设，将等式变成含的方程，表示出的值，即可求解．【详解】（1）解：，，，，．故答案为：．（2）解：，，，，．故答案为：．（3）解：设，则，，，，有，整理得，，故答案为：．【例2】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）（1）已知，求代数式的值．（2）若，求【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的变形求值，（1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，再由得到，最后利用整体代入法求解即可；（2）根据，把等式两边同时平方得到，则．【详解】解：（1），∵，∴，∴原式；（2）∵，∴，∴，∴，∴．巩固训练1．（天津市和平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式，利用完全平方公式变形即可．【详解】解：，，故选：C．2．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）已知，则代数式的值是（

）A．12 B．16 C．24 D．36【答案】D【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据题意先将代数式整理成，再将题干已知代入代数式即可得到本题答案．【详解】解：∵，又∵，即，∴，故选：D．3．（2023上·四川攀枝花·八年级校考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，掌握公式形式是解题关键．（1）根据，整体代入，即可求解；（2）根据即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∴．4．（重庆市合川区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题）解决下列问题：(1)已知，分别求和的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本题考查了完全平方公式的应用．（1）根据得到①，根据得到②，两式进行加减即可求解；（2）根据得到，根据，得到，即可求出．【详解】（1）解：，①，又，②，①+②得，，∴；①②得，，∴；（2）解：，∴，，∴，．5．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）阅读材料：若满足，求的值．解：设，，则，所以请仿照上例解决下面的问题：(1)问题发现：若x满足，求：的值．(2)若，求：的值．【答案】(1)21(2)【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．（1）设，则，再利用完全平方公式变形求值即可得；（2）设，则，再利用完全平方公式变形求值即可得．【详解】（1）解：设，则，所以．（2）解：设，则，所以．6．（2023上·湖北孝感·八年级校联考阶段练习）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)433．【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的化简求值，完全平方公式的变形求值，熟知多项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式是解题的关键．（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再把已知条件整体代入计算求解即可；（2）根据完全平方公式得到，再根据进行代值计算即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴．7．（2023上·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）解决下面的问题：①，求和的值；②已知，求的值．【答案】①1，13

②119【分析】①利用公式变形计算即可；②利用公式变形计算即可．【详解】①∵，∴；∵；∴；②∵，∴，∴，∴，∴．题型十一完全平方公式在几何图形中的应用【例1】（2023上·全国·八年级专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．方法1：；方法2：；(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，求：的值；②已知：，求：的值．【答案】(1)；(2)(3)①1；②9【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解：（1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式；（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；（3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解．【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积：方法1：，方法2：；故答案为：；；（2）解：；（3）解：①∵，∴；②．【例2】（2023上·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．

(1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张．(3)根据题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)(2)3(3)①的值为；②【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用；（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；（2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；（3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可．【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；因此有；（2）解：，需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，故答案为：；（3）解：，，，，，即的值为；令，...，...，，，解得．．．巩固训练1．（2023下·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．

(1)图2中的阴影部分正方形的边长是（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是；故答案为：（2）之间的等量关系是：，故选：C.（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y∴，解得，；

另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，∴，

∴，∴，∴，

∴．2．（2023下·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．

(1)用含a、b的代数式分别表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积．【答案】(1),=；(2)=77；(3)=18.【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为b的正方形面积减去边长为b和的矩形面积的差；（2）由（1）用a、b表示出，然后将其配方后把，代入即可得解；（3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示，然后再代入计算即可．【详解】（1）解：由题意可得：,==；（2）由（1）可得：===,∴当，时，；（3）由题意可得：=，当时，，∴.3．（2023下·辽宁丹东·七年级统考期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即：，又因，所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；(2)拓展：若，则______．(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．【答案】(1)12(2)10(3)384【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；（2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答；（3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．【详解】（1）解：，，，．（2）解：设，，，，，．（3）解：四边形是长方形，，，，，，设，，，长方形的面积为160，，正方形的面积正方形的面积，图中阴影部分的面积和为384．4．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中阴影部分的正方形的周长为；(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；(3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由拼图可得阴影正方形的边长，进而表示周长即可；（2）根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；（3）由（2）的结论代入计算即可．【详解】（1）解：由图可得：阴影部分的正方形边长为，周长为：，故答案为：；（2）解：由图可得：大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，大正方形边长为，故面积也可表达为：，；（3）解：由（2）知：，，，，或．5．（2023下·广东韶关·七年级校考期中）在学习“整式的乘除”这一章时，我们经常构造几何图形来对代数式的变形加以说明，借助直观，形象的几何模型加深对乘法公式的认识和理解．阅读下列材料：材料1：如图1，现有甲，乙，丙三种型号的卡片若干张，其中甲型号卡片是边长为的正方形，乙型号卡片边长为的正方形，丙型号卡片是长为宽为的长方形．

材料2：用张甲，张乙和张丙型号的卡片，拼成正方形，可以验证：，验证如下：从整体看是一个边长为的正方形，所以．从正方形的分割情况看，它的面积是由张甲，张乙和张丙卡片的面积之和，所以，比较两种不同的计算方法，可得．根据以上材料，解答以下问题(1)用图中的卡片，拼成图所示长方形，可以验证的等式为：；

(2)用张丙型号的卡片拼成图所示正方形框，中间的阴影部分是边长为的正方形，现用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的等式为：；(3)已知图中的纸片(足够多)，利用种卡片设计一个几何图形来计算画出图形，写出验过程．【答案】(1)（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2(2)b﹣a；（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2(3)图见解析，验证过程见解析【分析】(1)根据图3，利用不同的方法分别表示出长方形面积，即可确定出所求等式；(2)根据图4，利用不同的方法分别表示出长方形面积，即可确定出所求等式；(3)利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，从而可确定所需卡片的类型与张数，做出相应图形．【详解】（1）大长方形的面积为：或，∴，故答案为：；（2）（2）中间的阴影部分的边长为：，阴影部分的面积为：（b﹣a）2或；故答案为：；；（3）如图，

，验证：＝，．题型十二利用配方法求最值、解方程【例1】（2023下·湖南郴州·七年级校考期中）阅读下列材料：，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)有最小值______．(2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．(3)已知a，b，c为的三边，且满足，试判断此三角形的形状．【答案】(1)3(2)当，时，多项式有最小值5(3)是等边三角形【分析】（1）将化为，即可求解；（2）将化为，即可求解；（3）可得，即可求解．【详解】（1）解：，即时，有最小值，最小值是；故答案：．（2）解：由题意得，∴当，时，多项式有最小值5；（3）解：由题意得，，，，，，，是等边三角形．【例2】（2019·吉林长春·八年级校联考期末）阅读下列解题过程，再解答后面的题目.例题：已知，求的值.解：由已知得即∵，∴有，解得∴.题目：已知，求的值.【答案】-【分析】先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求出xy的值．【详解】解：将，化简得，即．∵，，且它们的和为0，∴，，∴.巩固训练1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是（填序号）；与；与；与(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；(3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值．【答案】(1)；(2)它们的“对消值”为；(3)代数式的最小值是．【分析】此题考查了求代数式值的能力，()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解；()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．【详解】（1）∵，,，∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”，故答案为：；（2），，∵与互为“对消多项式”，，，，，∴它们的“对消值”为；（3），，，∵与互为“对消多项式”且“对消值”为，∴，∴，，，，，，，，∴代数式的最小值是．2．（2023上·湖北荆州·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．

例：求多项式的最小值．解：．因为所以当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：(1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值；(2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；(3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？【答案】(1)(2)(3)当t的值为4时，的面积最大，最大值为【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案；（2）先求出，再利用完全平方公式即可求解；（3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴当时，有最小值，最小值为－9即A的最小值为－9；（2）解：∵，，∴∵，∴，∴（3）解：由题意得：，，∴∵，∴，∴，∴当时，有最大值，最大值为16．即当t的值为4时，的面积最大，最大值为．3．（2023下·广东佛山·七年级统考阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”．【解决问题】(1)数61“完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】(2)已知，则；(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值；【拓展结论】(4)已知、满足，求的最小值．【答案】(1)是；(2)；(3)；(4)【分析】（1）根据新定义求解；（2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求；（3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解；（4）根据条件求出的值，再进行配方求解．【详解】（1）解：∵，∴是“完美数”，故答案为：是；（2）解：∵，∴，，∴，故答案为：；（3）解：∵，为“完美数”，∴∴；（4）解：∵，∵，∴，∴，∴当，时，的最小值为：．4．（2022上·四川巴中·八年级统考期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于．(2)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系．(3)运用你所得到的公式，计算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．【答案】(1)(2)(3)①

②(4)