2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第二章 整式的乘法（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第二章整式的乘法（知识归纳+题型突破）1、了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）．2、理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）．3、理解乘法公式a+ba−b=1、概念（1）单项式：像x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式的次数:多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。2、运算（1）整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。（2）整式的乘除：幂的运算法则：其中m、n都是正整数同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：积的乘方：。单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：，题型一同底数幂的乘法【例1】（2024上·广东广州·八年级统考期末）计算的结果是（

）．A． B． C． D．【例2】（2023上·海南海口·八年级校考期中）在等式中，括号内所填的代数式应当是（

）．A． B． C． D．【例3】（2024上·上海浦东新·七年级校考期末）的计算结果是（

）A． B． C． D．【例4】（2023上·河南周口·七年级周口市第四初级中学校考期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律?①，②，③，（2）规律（都是正整数）．即______．（文字表达）（3）应用①计算；②把看成一个整体，计算．巩固训练：1．（2023上·重庆江北·八年级校考期中）计算：的结果是（

）A． B． C． D．a2．（2024上·上海浦东新·七年级校考期末）已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（

）A． B． C． D．3．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知，，m，n为正整数，则为（

）.A． B． C． D．4．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）已知，，求的值是（

）A．5 B．10 C．15 D．205．（2024上·广东广州·八年级统考期末）若，则．6．（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）已知：，那么．7．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼市四中校考期中）若，，则；当时，则．8．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？9．（2023上·四川凉山·七年级校考阶段练习）请阅读以下材料解决相关问题：已知，，例如，．(1)①_____．②______________．③(2)，(3)若，求的值题型二幂的乘方与积的乘方【例1】（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，，为正整数，则（）A． B． C． D．【例2】（2023上·天津滨海新·八年级统考期末）计算的结果等于（）A． B． C． D．【例3】（2023上·内蒙古通辽·八年级校考期中）已知，则的值为（

）A．16 B．25 C．32 D．64【例4】（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）（

）A．1 B． C． D．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．3．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）已知，，则，的大小关系是（请用字母表示，并用“＜”连接）．4．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如果，，则．5．（2024上·天津河西·八年级统考期末）若，则．6．（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）比较大小：．（填“”、“”或“”）7．（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知，则之间的等量关系是．8．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小．我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题：(1)试比较和的大小；(2)若，，试比较a，b的大小；(3)若，且，试比较与的大小．9．（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）已知，求的值．10．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）（1）若，，求的值；（2）已知，求的值．题型三单项式、多项式的乘法【例1】（2024上·天津西青·八年级统考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．【例2】（2023下·江苏·七年级专题练习）计算：．【例3】（2023上·广东广州·八年级广东广雅中学校考期中）计算：．巩固训练1．（2023上·河南商丘·九年级校联考阶段练习）计算：．2．（2023上·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知与的积与是同类项，求m，n的值．3．（2024下·全国·七年级假期作业）已知单项式与的积与是同类项，求，的值．4．（2023上·吉林·八年级统考期末）计算：．5．（2023上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．6．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）计算：．7．（2023上·四川泸州·八年级四川省泸县第一中学校考期中）计算：题型四不含某项求字母的值【例1】（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若的展开式中不含x的二次项，则（）A．0 B．2 C．2.5 D．巩固训练1．（2023上·湖北襄阳·八年级统考阶段练习）若的结果不含x的一次项，则a的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．2．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）的乘积中不含和项，则的值为（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）若的乘积中不含x二次项，则a的值为．4．（2024上·北京海淀·八年级北京市师达中学校考期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为．5．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的展开式中不含和项，求m，n的值．题型五多项式乘多项式与图形面积【例1】（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要B类卡片（

）A．2张 B．3张 C．5张 D．7张【例2】（2024上·黑龙江绥化·八年级统考期末）千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为米，宽为米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点（如图中间的长方形），则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．

巩固训练1．（2024上·北京大兴·八年级统考期末）如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积（单位：）是（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海青浦·七年级统考期末）如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片张．3．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）现有甲、乙、丙三种卡片各若干张，其中甲、丙为正方形卡片，乙为长方形卡片，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为．(1)①请用含的式子分别表示，即______，______；②当时，求的值；(2)比较与的大小，并说明理由．4．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．(1)求计划种植草坪的面积；(2)已知，，若种植草坪的价格为30元/，求种植草坪应投入的资金是多少元？题型六多项式乘多项式：化简求值【例1】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）化简，其中【例2】（2023上·北京海淀·八年级北大附中校考期中）已知，求的值．巩固训练1．（2023上·山东德州·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．2．（2023上·广东广州·八年级校联考期中）先化简，再求值：，其中．3．（2023上·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期中）先化简，再求值：，其中．4．（2023上·福建福州·八年级校考期中）化简求值：，其中，5．（2023上·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）已知，求的值．6．（2023上·北京海淀·八年级北京交通大学附属中学校考期中）已知，求的值．7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）化简求值：，其中．题型七多项式乘法中的规律性问题【例1】（2023上·广东广州·八年级广州市真光中学校考阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（

）1…………1…………………1

1………1

2

1………………1

3

3

1……1

4

6

4

1A．15 B． C．6 D．【例2】（2023·全国·八年级专题练习）观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是(

)A． B．0 C．1 D．【例3】（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）已知，，，根据前面各式的规律，可得：的值是．【例4】（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是．巩固训练1．（2023上·甘肃定西·八年级校联考阶段练习）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（

）A．45 B．55 C．2017 D．20182．（2023上·山西临汾·八年级统考阶段练习）观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是．3．（2023下·山东青岛·七年级校考阶段练习）数学兴趣小组发现：利用你发现的规律：求：．4．（2023上·河南许昌·八年级校联考阶段练习）我国著名数学家华罗庚谈到，我国古代数学的许多成就和发展都居世界前列，“杨辉三角”就是一例。如下图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：．5．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：(1)展开式共有_______项，第19项系数为_______；(2)根据上面的规律，写出的展开式：_______；(3)利用上面的规律计算：；(4)假如今天是星期四，那么再过天是星期_______．6．（2023上·新疆喀什·八年级期末）（1）计算并观察下列各式：；；；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．；（3）利用你发现的规律计算：．7．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）阅读下列解题过程：

．．．．．．(1)试求的值(2)判断的值的个位数是几？8．（2023上·四川内江·八年级校考期中）阅读下列材料，并解决有关问题．我们知道展开后等于，我们可以利用多项式乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：计算

结果的项数

各项系数

1

1

2

1

1

3

1

2

1

4

1

3

3

1(1)你能根据上表的规律写出，的结果吗？=__________________；=_____________________；(2)请你利用上表的规律求出下式的计算结果：．9．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）探索题：

……(1)当时，＝．(2)试求：的值．(3)判断的值个位数字是．题型八平方差公式【例1】（2024上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）计算的结果为（

）A． B． C． D．【例2】（2024上·天津河西·八年级统考期末）计算：．【例3】（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：①；②；③；④______；…(1)将横线上的等式补充完整；(2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；(3)拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由．巩固训练1．（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）计算：．2．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）若，，则．3．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）用简便方法计算：(1)；(2)．4．（2024上·北京大兴·八年级统考期末）求证：当是整数时，两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的倍．5．（2023上·吉林·八年级校考期中）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是______；(2)若，，求的值；(3)．6．（2022上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）实践与探索：如图1，在边长为的大正方形里挖去一个边长为的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个）A．B．C．(2)请应用这个等式完成下列各题：①已知，则______．②计算：．题型九求完全平方公式中的字母系数【例1】（2019上·四川宜宾·八年级统考期中）若是完全平方式，则m的值等于（

）A．8 B． C．16 D．8或巩固训练1．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）如果关于m的二次三项式是完全平方式，那么a的值为（

）A．1 B．4 C． D．3．（天津市和平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知是完全平方式，则．4．（2024下·全国·七年级假期作业）已知代数式是一个完全平方式，则有理数的值为．5．（2024上·北京丰台·八年级统考期末）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值是．6．（2024下·全国·八年级假期作业）已知关于的代数式是一个完全平方式，则的值为7．（2021上·辽宁鞍山·八年级校考期中）若是关于的完全平方式，则．8．（2012上·八年级课时练习）若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是．题型十完全平方公式与对称式【例1】（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）（1）已知，，则的值为．（2）已知，，则的值为．（3）已知满足，则的值为．【例2】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）（1）已知，求代数式的值．（2）若，求巩固训练1．（天津市和平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知，那么的值为（

）A． B． C． D．2．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）已知，则代数式的值是（

）A．12 B．16 C．24 D．363．（2023上·四川攀枝花·八年级校考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．4．（重庆市合川区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题）解决下列问题：(1)已知，分别求和的值；(2)若，，求的值．5．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）阅读材料：若满足，求的值．解：设，，则，所以请仿照上例解决下面的问题：(1)问题发现：若x满足，求：的值．(2)若，求：的值．6．（2023上·湖北孝感·八年级校联考阶段练习）已知，．(1)求的值；(2)求的值．7．（2023上·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）解决下面的问题：①，求和的值；②已知，求的值．题型十一完全平方公式在几何图形中的应用【例1】（2023上·全国·八年级专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．方法1：；方法2：；(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，求：的值；②已知：，求：的值．【例2】（2023上·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．

(1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张．(3)根据题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求的值；②已知，求的值．巩固训练1．（2023下·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．

(1)图2中的阴影部分正方形的边长是（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．2．（2023下·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．

(1)用含a、b的代数式分别表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积．3．（2023下·辽宁丹东·七年级统考期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即：，又因，所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；(2)拓展：若，则______．(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．4．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中阴影部分的正方形的周长为；(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；(3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．5．（2023下·广东韶关·七年级校考期中）在学习“整式的乘除”这一章时，我们经常构造几何图形来对代数式的变形加以说明，借助直观，形象的几何模型加深对乘法公式的认识和理解．阅读下列材料：材料1：如图1，现有甲，乙，丙三种型号的卡片若干张，其中甲型号卡片是边长为的正方形，乙型号卡片边长为的正方形，丙型号卡片是长为宽为的长方形．

材料2：用张甲，张乙和张丙型号的卡片，拼成正方形，可以验证：，验证如下：从整体看是一个边长为的正方形，所以．从正方形的分割情况看，它的面积是由张甲，张乙和张丙卡片的面积之和，所以，比较两种不同的计算方法，可得．根据以上材料，解答以下问题(1)用图中的卡片，拼成图所示长方形，可以验证的等式为：；

(2)用张丙型号的卡片拼成图所示正方形框，中间的阴影部分是边长为的正方形，现用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的等式为：；(3)已知图中的纸片(足够多)，利用种卡片设计一个几何图形来计算画出图形，写出验过程．题型十二利用配方法求最值、解方程【例1】（2023下·湖南郴州·七年级校考期中）阅读下列材料：，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)有最小值______．(2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．(3)已知a，b，c为的三边，且满足，试判断此三角形的形状．【例2】（2019·吉林长春·八年级校联考期末）阅读下列解题过程，再解答后面的题目.例题：已知，求的值.解：由已知得即∵，∴有，解得∴.题目：已知，求的值.巩固训练1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是（填序号）；与；与；与(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；(3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值．2．（2023上·湖北荆州·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．

例：求多项式的最小值．解：．因为所以当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：(1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值；(2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；(3)【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？3．（2023下·广东佛山·七年级统考阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”．【解决问题】(1)数61“完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】(2)已知，则；(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值；【拓展结论】(4)已知、满足，求的最小值．4．（2022上·四川巴中·八年级统考期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于．(2)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系．(3)运用你所得到的公式，计算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．5．（2023下·辽宁沈阳·七年级沈阳