专练15（二次函数类压轴题）（30）-2021年中考数学考点必杀500题（原卷版）

2021中考考点必杀500题专练15（二次函数类压轴题）（30道）1．（2021·江西赣州市·九年级一模）规定：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，与该抛物线关于点M（m，n）（m＞0，n≥0）成中心对称的抛物线为y′，我们称抛物线y′为抛物线y的发散抛物线，点M称为发散中心．已知抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），顶点为A，抛物线y1与该抛物线关于点（1，0）成中心对称．（1）m＝，点A的坐标是，抛物线y1的解析式是．（2）对于抛物线y0＝mx2＋4x＋3，如图，现分别以y1的顶点A1为发散中心，得抛物线y2；再以抛物线y2的顶点A2为发散中心，得抛物线y3，…，以此类推．①求抛物线y0＝mx2＋4x＋3以A1为发散中心得到的抛物线y2的解析式；②求发散抛物线y4的发散中心A3的坐标；③若发散抛物线yn的顶点An的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），请直接写出AnAn﹣1的长度（用含n的式子表示）．2．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，点在抛物线上．（1）求点的坐标与抛物线的解析式；（2）将抛物线沿直线作次平移（为正整数），平移后抛物线分别记作，，…，，顶点分别为，，…，，顶点横坐标分别为，，…，，与轴的交点分别为，，…，；①在，，…，中，是否存在一条抛物线，使得点恰好落在这条抛物线上？若存在，求出所有满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由；②若，过点作轴的平行线交于点，若由，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值；如图2，是抛物线上的一动点，且保持在第四象限，直线关于直线的对称直线交抛物线于点，点，到直线的距离分别为，，当点在抛物线上运动时，的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，请说明理由．3．（2021·江西九年级二模）如图，已知抛物线，与y轴交于点A，它的顶点为B．作抛物线关于原点对称的抛物线，与y轴交于点C，它的顶点为D．我们把称为的对偶抛物线．若中任意三点都不在同一直线上，则称四边形为抛物线的对偶四边形，直线为抛物线的对偶直线．（1）求证：对偶四边形是平行四边形．（2）已知抛物线，求该抛物线的对偶直线的解析式．（3）若抛物线的对偶直线是，且对偶四边形的面积为10，求抛物线的对偶抛物线的解析式．4．（2021·江西九年级一模）如图，已知抛物线C1：y1＝x2＋2x＋a＋1的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y2＝（x﹣a）2＋2a＋1，抛物线C2的顶点为D，两抛物线交于点C．（1）若a＝1，求点C的坐标．（2）随着a值的变化，试判断点A，B，D是否始终在同一直线上，并说明理由．（3）当2AB＝BD时，试求a的值．5．（2021·江西）如图，已知二次函数L：y＝﹣4x﹣2，其中n为正整数，它与y轴相交于点C．（1）求二次函数L的最小值（用含n的代数式表示）．（2）将二次函数L向左平移（3n﹣4）个单位得到二次函数L1①若二次函数L与二次函数L1关于y轴对称，求n的值；②二次函数L1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数y＝﹣4x﹣2中，当n依次取1，2，3，…，n时，抛物线依次交直线y＝﹣2于点A1，A2，A3，…，An，顶点依次为B1，B2，B3，…，Bn．①连接CBn﹣1，Bn﹣1An﹣1，CBn，BnAn，求证：△CAn﹣1Bn﹣1∽△CAnBn；②求：：：…：的值．6．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，绕点顺时针旋转得到，，抛物线经过，，三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①点是抛物线的顶点，试判定的形状，并加以证明；（3）如图②在第一象限的抛物线上，是否存在点，使？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．将抛物线向右平移个单位得到抛物线与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线在第一象限交于点M．（1）求抛物线的解析式，并求出其对称轴；（2）①当时，直接写出抛物线的解析式；②直接写出用含m的代数式表示点M的坐标；（3）连接．在抛物线平移的过程中，是否存在是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．8．（2021·江西上饶市·九年级期末）已知抛物线和抛物线（为正整数）．（1）抛物线与轴的交点______，顶点坐标______；（2）当时，请解答下列问题．①直接写出与轴的交点______，顶点坐标______，请写出抛物线，的一条相同的图象性质______；②当直线与，相交共有4个交点时，求的取值范围．（3）若直线（）与抛物线，抛物线（为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点，点，点，点，当时，求出，之间满足的关系式．9．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．10．（2021·江西赣州市·九年级期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．11．（2021·江西九年级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），点在的延长线上，且（为正整数）．过点，的抛物线，其顶点在轴上．（1）求的长；（2）①当时，抛物线的函数表达式为______；②当时，求抛物线的函数表达式；（3）如图2，抛物线，经过、两点，顶点为，且、、三点在同一直线上，①求与的关系式；②当时，设四边形的面积，当时，设四边形的面积（，为正整数，，），若，请直接写出值．12．（2021·江西九年级其他模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．①抛物线C'的解析式为（用含m的关系式表示）；②求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．13．（2021·江西九年级月考）如图，已知二次函数：，其中为正整数，它与轴相交于点．（1）求二次函数的最小值（用含的代数式表示）．（2）将二次函数向左平移个单位得到二次函数．①若二次函数与二次函数关于轴对称，求的值；②二次函数顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数中，当依次取1，2，3，…，时，抛物线依次交直线于点，，，…，，顶点依次为，，，…，．①连接，，，，求证：；②求的值．14．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．（1）求m的值及C点坐标；（2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．15．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．（1）求直线AB的解析式；（2）经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2021·江西吉安市·九年级一模）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021·江西抚州市·九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．18．（2020·江西南昌市·九年级二模）如图，抛物线与轴交于两点(点位于点的左侧)，与轴的负半轴交于点．求点的坐标．若的面积为．①求这条抛物线相应的函数解析式．②在拋物线上是否存在一点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2020·江西九年级二模）在平面直角坐标系中，我们将抛物线通过平移后得到，且设平移后所得抛物线的顶点依次为，这些顶点均在格点上，我们将这些抛物线称为“缤纷抛物线”（k为整数）．（1）的坐标为____________，直接写出平移后抛物线的解析式为____________（用k表示）；（2）若平移后的抛物线与抛物线交于点A，对称轴与抛物线交于点B，若，求整数k的值．20．（2020·江西赣州市·九年级一模）如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？21．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）如图，已知二次函数：和二次函数：图象的顶点分别为、，与轴分别相交于、两点（点在点的左边）和、两点（点在点的左边），（1）函数的顶点坐标为______；当二次函数，的值同时随着的增大而增大时，则的取值范围是_______；（2）判断四边形的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线，均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线位置固定不变，通过平移抛物线的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线应平移的距离是多少？22．（2020·江西南昌市·九年级一模）如图，Rt△FHG中，H=90°，FH∥x轴，，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），点D为二次函数图像的顶点.（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图像上，求点G的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y=mx+m与函数y1、y2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P、Q.且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由.23．（2020·江西九年级二模）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+m也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l的点D处，点D的横坐标n（n＞1）．（1）求点B的坐标；（2）平移后的抛物线可以表示为（用含n的式子表示）；（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a．①请写出a与n的函数关系式．②如图2，连接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．24．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图，已知抛物线经过原点，顶点，且与直线相交于和两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）求证：是直角三角形；（3）抛物线上存在点（点不与点重合），使，求出点的坐标；（4）若直线交轴于点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由．25．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）定义：如图，若两条抛物线关于直线成轴对称，当时，取在直线左侧的抛物线的部分；当时，取在直线右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线的一对兄弟抛物线．例如：抛物线与抛物线就是关于直线(轴)的一对兄弟抛物线．（1）求抛物线关于直线的“兄弟抛物线”所对应的函数解析式；（2）设抛物线交轴于点，交直线于点．①当直线平行于轴时，求的值；②当是直角时．求抛物线关于直线的“兄弟抛物线”顶点的横坐标；③已知点的坐标分别为，直接写出抛物线及其关于直线的“兄弟抛物线”与矩形不同的边有四个公共点时的取值范围．26．（2020·江西九江市·九年级其他模拟）抛物线C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a为任意实数）．（1）无论a取何值，抛物线C恒过定点，．（2）当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过的整数点（横、纵坐标均为整数的点）为A1，A2，……An，将抛物线C沿着直线y＝x（x≥0）平移，将平移后的抛物线记为Cn，抛物线Cn经过点An，Cn的顶点坐标为Mn（n为正整数且n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C1经过点A1，C1的顶点坐标为M1）．①抛物线C2的解析式为，顶点坐标为．②抛物线C1上是否存在点P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM1M2A2的形状；若不存在，请说明理由．③直接写出Mn﹣1，Mn两顶点间的距离：．27．（2020·江西宜春市·九年级一模）在平面直角坐标系中，正方形....按如图的方式放置．点和点分别落在直线和轴上．抛物线过点,且顶点在直线上，抛物线过点，且顶点在直线上，...按此规律，抛物线,过点,且顶点也在直线上，其中抛物线交正方形的边于点，抛物线交正方形的边于点(其中且为正整数)．（1）直接写出下列点的坐标：，；（2）写出抛物线的解析式，并写出抛物线的解析式求解过程，再猜想抛物线的顶点坐标；（3）设，试判断与的数量关系并说明理由．28．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）已知抛物线：，其中．