高中数学中的“隐形圆”问题

高中数学中的“隐形圆”问题“隐形圆”问题是高中数学中难度较大的一个跨单元内容，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量、解三角形、解析几何等内容，试题的难度以中档或中高档为主，注重考查学生的综合能力.当然，这部分内容在教材上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆、圆的参数方程等.本文将借助几个数学模型来讲解高中数学中的“隐形圆”问题.一、“圆的定义”模型例1已知点在动直线上的射影点为，若点，那么的最大值为__________.解析动直线方程可化为，故直线恒过定点.因为定点在动直线上的射影点为.所以，则点的轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，圆的半径.又因为，所以点在圆外，故的最大值为.变式1已知点是圆的动点，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（）A.B.C.D.解析A知识升华此类问题往往利用圆的定义或圆的几何性质确定隐形圆.，是定点，动点满足：①，②，③，④则是以为直径的圆（①③④需除去，两点）.二、“三角形对边对角”模型例2已知，，分别为△的三个内角，，的对边，，且，则△面积的最大值为__________.解析由题意知，由正弦定理知，所以，故，所以.又因为（为△外接圆半径），所以点为优弧（不含、点）上任意点.故当距离最远时（此时△为等边三角形），△的面积最大，最大值为.变式2在△ABC中，（1）求；（2）若，求△ABC周长的最大值.解析（1）；（2）.知识升华此类问题往往已知三角形的对边对角，结合正弦定理确定隐形圆.三、“阿波罗尼斯圆”模型例3（教材P97例6改编）已知，，动点与点的距离是它与的距离的倍，求点的轨迹.思考如果把例3中的“倍”改为“（）倍”，点的轨迹又是什么？变式3满足条件，的三角形面积的最大值是__________.解析以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，.设，则由知.化简得，即.所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去轴上的两个点），故三角形的高最大值为圆的半径.所以三角形的面积最大值为.知识升华已知平面上两定点、，则满足（且）的点的轨迹是一个圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯（前262—前190）发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.四、“距离平方和”模型例4在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是____________.解析设，由得.化简得，故点在圆上.又因为点在圆上，故圆与圆相交或相切时满足题意.由两圆位置关系知，，所以的取值范围是.变式4在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，则线段长的取值范围为____________.解析知识升华已知平面上两定点、，则满足（其中）的点的轨迹是一个圆.（1）代数证明设（）.以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系.则，.又设，则由得.化简得，整理有.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.（需要特别说明的是，由于坐标系的不同，故该圆圆心的坐标表示不唯一.）（2）几何证明设为中点，故，.所以.所以，即.所以当时，点的轨迹是以（中点）为圆心，为半径的圆.五、“向量数量积”模型例5（多选）已知点，，若圆上存在点满足，则实数的值可以为（）A.B.C.D.解析BD变式5已知点，，点在直线上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是____________.解析知识升华已知平面上两定点、，则满足（其中）的点的轨迹是一个圆.（1）代数证明设（）.以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系.则，.又设，则由得，整理有.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.（需要特别说明的是，由于坐标系的不同，故该圆圆心的坐标表示不唯一）（2）几何证明设为中点，故，.所以，故.所以.所以当时，点的轨迹是以（中点）为圆心，为半径的圆.六、“圆的参数方程”模型例6（教材P89第10题改编）在平面直角坐标系中，如果点的坐标满足，其中为参数，则点的轨迹方程为____________.变式6已知，则的最小值是____________.解析知识升华（其中为参数）为圆的参数方程，表示圆心为，半径为的圆.课后巩固1.已知点在圆上，点，，满足的点的个数为（）A.B.C.D.解析B2.已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（）A.B.C.D.解析设AB中点为P，则，且，所以点P的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为，当P在圆Q上运动的过程中，的最大值为，所以的最大值为12.3.已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A.B.C.D.解析A4.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是____________.解析5.若对任意，直线与圆均无公共点，则实数的取值范围为____________.解析6.