二次函数的应用课件

2.4二次函数的应用(1)北师大版九年级数学下册名师导学基础巩固0001CONTANTS目录能力提升02数学◆

名师导学◆返回目录知识点

(一)最大面积问题:解这类问题关键是求出面积与有关量之间的函数表达式.图形分为规则图形和不规则图形.规则图形的面积按照面积公式来求;不规则图形的面积问题,可通过割补法,将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差来求,其中自变量必须满足实际意义.数学返回目录(二)二次函数的应用解题步骤:(1)根据题意找出已知条件.

(2)根据面积公式或者面积关系列出面积的二次函数表达式.(3)在自变量的取值范围内求二次函数的最大值,从而求出面积的最大值.

(4)作答.数学返回目录▶▶

典型例题【例】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD.苗圃的一面靠墙(墙最大可用长度为14米).另三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开,分成两个区域,并在如图所示的两处各留1米宽的门(门不用木栏),建成后所用木栏总长22米,设苗圃ABCD的一边CD长为x米.(1)苗圃ABCD的另一边BC长为

米(用含x的代数式表示);

数学返回目录(2)若苗圃ABCD的面积为45m,求x的值;(3)当x为何值时,苗圃ABCD的面积最大,最大面积为多少平方米?思路点拨:(1)木栏总长22米,两处各留1米宽的门,设CD长为x米,即得BC长为(22+2-3x)米,即是24-3x;(2)根据面积公式列式得:x·(24-3x)=45,即可解得x的值;(3)列出面积关系式S=x·(24-3x)=-3(x-4)2+48,由二次函数性质可得答案.数学返回目录解:(1)∵木栏总长22米,两处各留1米宽的门,设苗圃ABCD的一边CD长为x米,∴BC长为22-3x+2=24-3x,故答案为:24-3x;(2)根据题意,得x·(24-3x)=45,解得x=3或x=5,∴x的值为3或5;数学返回目录(3)设苗圃ABCD的面积为S,则S=x·(24-3x)=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,∵-3<0,∴x=4时,S最大为48.答:当x为4米时,苗圃ABCD的最大面积为48平方米.数学返回目录▶▶

对应练习

如图,现有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度l为9m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD.设AB的长为x米.(1)若要围成面积为36m2的花圃,则AB的长为多少米?(2)当AB的长为多少米时,长方形花圃ABCD的面积最大?最大面积为多少?数学返回目录解:(1)设AB=x米,根据题意,得x(24-3x)=36,解得x1=2,x2=6,又∵24-3x≤9,∴x≥5,∴x1=2舍去,∴x=6.答:AB的长为6米.数学返回目录(2)根据题意,得y=x(24-3x),∴y=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,∵a=-3<0,且x≥5在对称轴直线x=4的右侧,∴y随x的增大而减小,∴当x=5时,y有最大值,y最大值=-3×(5-4)2+48=45.答:当AB的长为5米时,长方形花圃ABCD的面积最大,最大面积为45平方米.数学返回目录名师点拨:一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时,可以用二次函数的最值求其最大面积.求矩形的最大面积时,通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽,根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数,再结合二次函数的图象和性质,利用公式法或配方法求出二次函数的最大值,同时要注意自变量的取值范围.数学◆

基础巩固◆返回目录一、选择题1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x(0<x<1)的小正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式为(

)A.y=x2

B.y=1-x2C.y=x2-1 D.y=1-2x解析:设剩下部分的面积为y,则y=1-x2(0<x<1),故选B.B数学返回目录2.若正方形的边长为6,边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数解析式为

(

)A.y=(x+6)2 B.y=x2+62C.y=x2+6x D.y=x2+12xD解析:原边长为6的正方形面积为6×6=36,边长增加x后边长变为x+6,则面积为(x+6)2,∴y=(x+6)2-36=x2+12x.故选D.数学返回目录

B数学返回目录二、填空题1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm,则这个直角三角形的最大面积为

.

2.用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地,设矩形场地的一边长为xm,则当x=

m时,矩形场地的面积S最大.

50

cm2

20数学返回目录三、解答题某农场准备围建一个矩形养鸡场,其中一边靠墙(墙的长度为15米),其余部分用篱笆围成,在墙所对的边留一道1米宽的门,已知篱笆的总长度为23米.(1)设图中AB(与墙垂直的边)长为x米,则AD的长为

米(请用含x的代数式表示);

(2)若整个鸡场的总面积为y米2,求y的最大值.24-2x数学返回目录解:根据题意,得y=x(24-2x)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,∴y的最大值为72米2.数学◆

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D

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C数学返回目录

数学返回目录3.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(米)与小球的运动时间t(秒)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6),若抛出小球1秒后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出

秒时,两个小球在空中的高度相同.

2.5解析:∵h=30t-5t2=-5(t-3)2+45,∴该函数的对称轴是直线t=3,∵抛出小球1秒后再抛出同样的第二个小球,两个小球在空中的高度相同,∴第二个小球抛出3-0.5=2.5秒时,两个小球在空中的高度相同,故答案为2.5.数学返回目录

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数学返回目录5.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴相交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示);(2)联结AC,BC,若△ABC的面积为6,求此抛物线的表达式;(3)在第(2)小题的条件下,点Q为x轴正半轴上一点,点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称,当△CGF为直角三角形时,求点Q的坐标.数学返回目录解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为(-1,0),∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,当x=0时,y=-3a,∴C(0,-3a).数学返回目录

数学返回目录(3)设点Q的坐标为(m,0).过点G作GH⊥x轴,垂足为点H,如图,∵点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称,∴QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3,∴OF=2m+1,HF=1,当∠CGF=90°时,∵∠QGH+∠FGH=90°,∠QGH+∠GQH=90°,∴∠GQH=∠HGF,∴Rt△QGH∽Rt△GFH,数学返回目录

2.4二次函数的应用(2)北师大版九年级数学下册名师导学基础巩固0001CONTANTS目录能力提升02数学◆

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最大利润问题(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每件利润、销售量间的关系,应掌握以下公式:1.销售额=销售单价×销售量;

2.利润=销售额-总成本=每件利润×销售量;3.每件利润=销售单价-成本单价;4.打几折就是在原价的基础上乘百分之几十,如打6.5折就是原价乘以65%(即0.65).数学返回目录(二)二次函数的应用解题步骤:(1)根据题意找出已知条件.

(2)根据利润计算公式列出利润y与自变量x的二次函数表达式.(3)在自变量的取值范围内求二次函数的最大值,从而求出利润的最大值.

(4)作答.数学返回目录▶▶

典型例题【例】新年前夕,信业超市在销售中发现:某服装平均每天可售出20套,每套盈利40元.为了迎接新年,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存.经市场调查发现:如果每套降价1元,那么平均每天就可多售2套.(1)要想平均每天在销售服装上盈利1200元,那么每套应降价多少元?(2)商场要想每天获取最大利润,每套应降价多少元?数学返回目录思路点拨:(1)设降价x元,根据“每套利润×数量=总利润”关系进行列方程计算,但要注意减少库存的取值取舍;(2)设总利润为w元,根据“每套利润×数量=总利润”关系列出二次函数关系式,用二次函数的性质求解.数学返回目录解:(1)设每套应降价x元,根据题意,得(40-x)(20+2x)=1

200,整理,得2x2-60x+400=0,解得,x1=10,x2=20.∵尽快减少库存,∴x=20.答:每套应降价20元.数学返回目录

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对应练习

某经销商以每箱12元的价格购进一批消毒水进行销售,当每箱售价为26元时,日均销量为60箱.为了增加销量,该经销商准备适当降价.经市场调查发现,每箱消毒水降价1元,则可以多销售5箱.设每箱降价x元,日均销量为y箱.(1)求日均销量y关于x的函数关系式;(2)要使日均利润为800元,则每箱应降价多少元?(3)如果该经销商想获得最大的日均利润,则每箱消毒水应降价多少元最合适?最大日均利润为多少元?数学返回目录解:(1)∵每箱消毒水降价1元,则可以多销售5箱,每箱降价x元,∴日均销量增加5x箱,∴日均销量y关于x的函数关系式为y=5x+60.(2)由题意,得(26-x-12)(5x+60)=800,整理,得x2-2x-8=0,解得x1=4,x2=-2(不合题意,舍去);答:要使日均利润为800元,则每箱应降价4元.数学返回目录(3)设销售这种消毒水的日均利润为w元,由题意,得w=(26-x-12)(5x+60)=-5x2+10x+840=-5(x-1)2+845,∵-5<0,抛物线开口向下,∴当x=1时,w有最大值845,答:每箱消毒水降价1元可获得最大利润,最大日均利润为845元.数学返回目录

数学◆

基础巩固◆返回目录一、选择题1.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度y(米)与小球运动的时间x(秒)之间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0).若小球在第7秒与第14秒时的高度相同,则在下列时间中小球所在高度最高的是

(

)A.第8秒

B.第10秒C.第12秒 D.第15秒B数学返回目录2.某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利y(元)与降价金额x(元)之间满足函数关系式y=-2x2+60x+800,则获利最多为(

)A.15元 B.400元C.800元 D.1250元D数学返回目录3.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时,能卖出200个,已知该商品单价每上涨1元,其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时,获得的利润为y元,则下列关系式正确的是(

)A.y=(x-35)(200-5x)B.y=(x+40)(200-10x)C.y=(x+5)(200-5x)D.y=(x+5)(200-10x)解析:根据题意,可得y=(40+x-35)(200-5x)=(x+5)(200-5x).故选C.C数学返回目录二、填空题1.寒假期间,小明到一家电脑销售商场做销售员,期间商场搞了一次促销活动,他发现销售某种型号电脑所获利润y(元)与销售台数x满足关系式y=-x2+50x+28625,因此小明提醒该商场老板,要获得最大利润,这次活动应卖出

台电脑.

25数学返回目录2.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个;若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加2个.则每天的最大利润为

元.

3.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,若要使利润最大,则每件商品的售价应为

元.

80025数学返回目录三、解答题某网商经销一种畅销玩具,每件进价为18元,每月销量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图中线段AB所示.(1)写出毎月销量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式(含x的取值范围).数学返回目录

数学返回目录(2)当销售单价为多少元时,该网商毎月经销这种玩具能够获得最大销售利润?最大销售利润是多少?(销售利润=售价-进价)解:设销售利润为w元,w=(x-18)(-20x+1

000)=-20x2+1

360x-18

000=-20(x-34)2+5

120,∵20≤x≤50,∴当x=34时,w取得最大值,此时w=5

120.答:当销售单价为34元时,该网商每月经销这种玩具能够获得最大销售利润,最大销售利润是5

120元.数学◆

能力提升◆返回目录1.山东全省2019年国庆假期旅游人数增长12.5%,其中尤其是乡村旅游最为火爆.泰山脚下的某旅游村,为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出,若每张床位每天收费提高20元,则相应的减少了10张床位租出,如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是(

)A.140元B.150元C.160元 D.180元C数学返回目录

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3.25数学返回目录

13.5数学返回目录

4数学返回目录

数学返回目录5.炮弹从炮口射出后,飞行的高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系是h=v0tsinα-5t2,其中v0是炮弹发射的初速度,α是炮弹的发射角,当v0=300m/s,α=30°时,炮弹飞行的最大高度是

.

1

125

数学返回目录6.某公司分别在A,B两城生产同种产品,共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c,当x=10时,y=400;当x=20时,y=100