江西省吉安市十校联盟2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

吉安市2024－2025学年（上）九年级数学第一次练习卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.一元二次方程4x2－2x－1＝0的常数项是（）A.1 B.－2 C.4 D.－12.下列选项是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形3.如若关于x的方程x2＋ax＋6＝0有一个根为－3，则a的值是（）A.9 B.5 C.3 D.－34.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A.BD＝AB B.DC＝AD C.∠ABC＝90° D.OD＝OC5.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A. B. C. D.6.小辉用四个全等的含30°角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（）个.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是________.8.已知方程的一个解为x＝－1，另一个解为x＝________.9如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是________.10.若m是方程x2－2x－4＝0的一个根，则代数式2032－2m2＋4m的值为________.11.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝6，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的面积是________.12.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点：当△DEF为等腰三角形时，则AP的长为________.三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）用适当的方法解方程：（2）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，BE＝DF，连接CE，CF.求证：△BEC≌△DFC.14.x取何值时，代数式的值与的值互为相反数？15.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.（1）求证：四边形OCED是矩形.（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积.16.如图，菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图.图1图2（1）在图1中，画出线段AC的中点M；（2）在图2中，过点C画出AD边上的高CN.17.已知关于x的一元二次方程.（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值.四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图.利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地ABCD.设矩形与墙垂直的一边AB＝xm，矩形的面积为Sm2.（1）若面积S＝48m2，求AB的长；（2）能围成S＝60m2的矩形吗？说明理由.19.定义：如果关于x的方程（，、、是常数）与（a2≠0，、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”.例如：方程2x2－3x＋1＝0的“对称方程”是－2x2－3x－1＝0，请根据上述内容，解决以下问题：（1）写出方程x2－4x＋3＝0的“对称方程”：________________________.（2）若关于x的方程与－3x2－x＝－1互为“对称方程”，①m＝________、n＝________.②求方程的解.20.【操作感知】如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连结PM、BM.∠DPM＝60°，则∠MBC的大小为________度.图①图②【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连结BQ.（1）证明：△MBQ≌△CBQ.（2）若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为________.五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.【课本再现】如图，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看CD与AB有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：CD恰好是AB的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想.图1图2已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.求证：.证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE，BE.【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程.【结论应用】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连结BE，BD.求∠DBE的度数.22.“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如：，，，.试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：；（2）已知x2－4x＋y2＋2y＋5＝0，求x＋y的值；（3）比较代数式：x2－1与2x－3的大小.六、（本大题共12分）23.△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.图1图2图3（1）探究猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：______________；②BC、CD、CF之间的数量关系为：______________；（2）深入思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O.若已知，，请求出OC的长.

吉安市2024－2025学年（上）九年级数学第一次练习卷参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.D；2.A；3.B；4.B；5.C；6.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.a≠1；8.2；9.；10.2024；11.12；12.3或或.三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）x1＝3，x2＝－4 …………3分（2）证明∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△BEC≌△DFC（SAS）. …………6分14.解：根据题意，得：3x2＋6x－8＋1－2x2＝0， …………2分整理，得：x2＋6x－7＝0，则，∴x＋7＝0或x－1＝0，解得，.∴当x取－7或1时，代数式3x2＋6x－8的值与1－2x2的值互为相反数 …………6分15.（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°∴四边形OCED是矩形 …………3分（2）∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝4，，，∴矩形OCED的面积是. …………6分16.（1）如图1，点M即为所求； …………3分（2）如图2，CN即为所求. …………6分图1图217.（1）∵关于x的一元二次方程有实数根，，解得：，即m的取值范围是；…3分（2），，，.∴2m2＋4m－1＝15，即m2＋2m－8＝0，解得m＝2或m＝－4. …………5分，∴m＝2. …………6分四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.（1）因为矩形与墙垂直的一边AB＝xm，矩形的面积为Sm2，则长为；根据题意得到： …………2分当S＝48时，，解得x＝4或x＝6，故AB的长为4m或6m …………5分（3）不能.因为设矩形场地的宽为xm，则长为，依题意列方程：，即，，方程无实数解，故矩形场地的面积不能达到60m2 …………8分19.解：（1）－x2－4x－3＝0， …………2分（2）m＝0，n＝1， …………4分化为3x2－x－1＝0，，，. …………8分20.【操作感知】30； …………2分【迁移探究】（1）证明：∵正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，∴AB＝BM＝BC，∠A＝∠BMP＝∠BMQ＝∠C＝90°在Rt△MBQ和Rt△CBQ中，，∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ（HL）， …………5分（2）. …………8分五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.【定理证明】证明：延长DE到点E，使ED＝CD，连结AE、BE，∵CD是AB边上的中线，∴AD＝BD，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形，∴CE＝AB，，. …………4分【结论应用】（1）如图①，连结DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∴AD＝CD，∵E是AC的中点，∴DE⊥AC，，，∴∠DEC＝90°，DE＝BE，∠ABE＝∠BAC＝30°，∴∠BEC＝∠ABE＋∠BAC＝30°＋30°＝60°，∴∠DEB＝∠DEC＋∠BEC＝90°＋60°＝150°，. …………9分22.（1）2，1 …………2分（2）x2－4x＋y2＋2y＋5＝0，，则x－2＝0，y＋1＝0，解得x＝2，y＝－1，则x＋y＝2－1＝1； …………5分（3），，，. …………9分23（1）①BC⊥CF，②BC＝CD＋CF， …………2分（2）结论①，即BC⊥CF成立，结论②，即BC＝CD＋CF不成立，BC＝CD－CF，证明：如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF＝90°－∠BAF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ABD＝∠ACF，BD＝CF，∵∠ACF＝∠ABD＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135°－45°＝90°，∴BC⊥CF，∴结论①成立； …………5分∵BC＝CD－BD＝CD－CF，∴结论②不成立，BC＝CD－CF