《条件概率》同步学案(教师版)

高中数学精编资源2/2《条件概率》同步学案情境导入在一次英语口试中,共有10道题可选择.从中随机地抽取5道题供考生回答,答对其中3道题即可及格.假设作为考生的你,只会答10道题中的6道题,那么,你及格的概率是多少?在抽到第一题不会答的情况下你及格的概率又是多少?自主学习自学导引1.一般地,设为两个随机事件,且,我们称_____________为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率,简称条件概率.2.对任意两个事件与,若,则_____________.我们称上式为概率的乘法公式.3.当时,当且仅当事件与相互独立时,有_____________4.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设,则(1)_________.(2)如果和是两个互斥事件,则_______________.(3)设和互为对立事件,则_______________.答案:1.2.3.4.(1)1(2)(3)预习测评1.判断(正确的打“√”,错误的打“”).(1).()(2).()(3).()(4)若事件等于事件,则.()(5)与相同.()2.某地区气象台统计,该地区下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,则在刮风天里,下雨的概率为()A.B.C.D.3.已知,则等于()A.B.C.D.4.盒中有10件同一型号的产品,其中3件是次品.现在从盒中不放回地依次抽取两件,则在第一件抽取为合格品的条件下,第二件是次品的概率为()A.B.C.D.5.已知,则等于()A.B.C.D.答案:1.(1)(2)√(3)(4)√(5)2.解析:设事件为“该地区刮风”,事件为“该地区下雨”,事件为“该地区既刮风又下雨”,则.3.解析:由条件概率公式得.4.解析:设事件为“抽取的第一件是合格品”,事件为“抽取的第二件是次品”,则,所以.5.C解析:因为,且,所以新知探究探究点1条件概率的概念知识详解一般地,设为两个随机事件,且,我们称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率,简称条件概率.特别提示1.所谓的条件概率,是已知试验结果的一部分信息(即在原随机试验的条件上,再加上一定的条件),求另一事件在此条件下发生的概率.2.在条件概率的概念中,要强调.3.两个区别(1)与之间的区别:由条件概率的定义可知表示在事件发生的条件下事件发生的条件概率;而表示在事件发生的条件下事件发生的条件概率.(2)与之间的区别:在事件发生的条件下,事件发生的概率不一定是,即与不一定相等.4.当时,当且仅当事件与相互独立时,有.典例探究例1(1)一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球,如果不放回地依次取2个小球,在第1次取到红球的条件下,第2次取到红球的概率是()A.B.C.D.(2)一个盒子内装有4个产品,其中3个一等品,1个二等品,从中取两次,每次任取1个,做不放回抽取.设事件为“第一次取到的是一等品”,事件为“第二次取到的是一等品”,则______.解析:(1)设事件为“第1次取到红球”,事件为“第2次取到红球”,则,所以.故选C.(2)将一等品编号为,将二等品编号为4,以(,)表示第一次、第二次分别取得第号、第号产品,则试验的样本空间,,所以事件有9种情况,事件有6种情况,故.答案:(1)C(2)变式训练1(1)由“0”“1”组成的三位字符串中,若用表示“第二位数字为0”的事件,用表示“第一位数字为0”的事件,则()A.B.C.D.(2)从一副不含大王、小王的52张扑克牌中不放回地抽取3次,每次抽1张.已知前两次抽到,则第三次抽到的概率为()A.B.C.D.答案:(1)(2)B解析:(1)在第一位数字为0的条件下,第二位数字为0的概率为.(2)设事件表示“前两次抽到”,事件表示“第三次抽到",则所以.探究点2概率的乘法公式知识详解对任意两个事件与,若,则,称此式为概率的乘法公式.特别提示1.乘法公式给出了一种计算积事件发生的概率的方法,即在事件不相互独立的前提下,可求出及或求出及,再利用乘法公式计算,便可得到积事件发生的概率.2.涉及条件概率和乘法公式的题目一般都比之前的题目复杂,建议在解题的时候,首先把题目中的相关事件用符号表示出来,这样便于分析问题.典例探究例2一袋中装10个球,其中3个黑球、7个白球,先后两次从中随意各取一球(不放回),则(1)第一次取得黑球,第二次取得白球的概率是(2)两次均取得白球的概率是解析:(1)用表示事件“第一次取得黑球”,用表示事件“第二次取得白球”,则.故.(2)用表示“第次取得白球”,,则表示两次取到的均是白球.由题意得.所以.答案:(1)(2)变式训练2市场上供应的灯泡中,甲厂产品占,乙厂产品占,甲厂产品的合格率是,乙厂产品的合格率是,则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A.0.665B.0.564C.0.245D.0.285答案:A解析:记事件为“甲厂产品”,事件为“合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,所以P(AB)=P(A)×P(B|A)=0.7×0.95=0.665.探究点3条件概率的性质知识详解条件概率的性质：设,则(1);(2)如果和是两个互斥事件,则;(3)设和互为对立事件,则.特别提示利用公式求条件概率可使复杂的问题变得较为简单,但应注意这个性质是在“事件与事件互斥”这一前提下才具备的.这个性质的推导过程如下:因为事件与事件互斥,所以事件与事件互斥,且,所以典例探究已知在某盒子内装有红、黄、黑三种不同颜色的小球,现从中依次取出两个球,若第一次取出黑球的概率为0.5,在第一次取出黑球后第二次取出红球的概率为0.15,在第一次取出黑球后第二次取出黄球的概率为0.2,则在第一次取出黑球的条件下,第二次取出黄球或红球的概率为______.解析:设“取出的第一个球为黑球”为事件,“取出的第二个球为黄球”为事件,“取出的第二个球为红球”为事件,则.所以.所以所求的条件概率为0.35.答案:0.35方法归纳1.把复杂事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和,可使复杂的问题变得简单.2.利用求概率时,应注意这个公式在“事件与事件互斥”这一前提下才成立.变式训练3有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取出两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,求另一瓶是红色或黑色的概率.答案:设事件为“其中一瓶是蓝色”,事件为“另一瓶是红色”,事件为“另一瓶是黑色”,事件为“另一瓶是红色或黑色”,则,且与互斥.又故易错易混解读例袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球(只有颜色不同),不放回抽取,每次任取一球,取两次,求：(1)第二次才取到黄球的概率;(2)取出的两个球的其中之一是黄球时,另一个也是黄球的概率.错解(1)设事件表示“第一次取到白球”,事件表示“第二次取到黄球”,事件表示“第二次才取到黄球”.则.(2)记事件表示“其中之一是黄球”,事件表示“两个都是黄球”,事件表示“其中之一是黄球时,另一个也是黄球”.则.错因分析产生以上错解的原因是不理解与的含义,不清楚应求哪种类型的概率.正解(1)设事件表示“第一次取到白球”,事件表示“第二次取到黄球”,事件表示“第二次才取到黄球”.则.(2)记事件表示“其中之一是黄球”,事件表示“两个都是黄球”,事件表示“其中之一是黄球时,另一个也是黄球”.则.纠错心得解题时,先要正确理解并区分积事件发生的概率与条件概率,表示在已知事件发生的条件下,事件发生的概率,而表示事件与事件同时发生的概率.然后正确选择相应的计算公式求解.课堂检测1.已知甲在上班途中要经过两个路口,第一个路口遇见红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4.则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为()A.0.6B.0.7C.0.8D.0.92.若,则()A.B.C.D.3.将一枚均匀的硬币任意抛掷两次,记事件为“第一次出现正面”,事件为“第二次出现正面”,则()A.1B.C.D.4.从装有3个红球和2个白球的袋子中先后取2个球,取后不放回,在第一次取到红球的条件下,第二次取到红球的概率为______.5.当地气象台预报某景区3月31日降雨的概率为0.5,当3月31日降雨后4月1日也降雨的概率为0.4,则该景区3月31日与4月1日两日连续降雨的概率为______.答案:1.C解析:设事件表示“甲在第一个路口遇到红灯”,事件表示“甲在第二个路口遇到红灯”.由题意得,所以.2.解析:由题意得.解析: