概率论 概率论与数理统计

1概率论的基本概念

(probabilitytheory)

ChapterOne概率论与数理统计2§1.1随机试验(RandomTrial)§1.2样本空间、随机事件

(samplespace、RandomEvents)§1.3频率与概率

(FrequencyandProbability)§1.4古典概型(ClassicalProbability)§1.5条件概率(ConditionalProbability)§1.6事件的独立性

(IndependenceofEvents)内容§1.1随机试验(RandomTrial)ChapterOne4确定性现象在一定条件下必然发生的现象。不确定现象在一定条件下不一定发生的现象。5随机现象(Randomphenomenon)：

马路口碰到红绿灯麦穗上麦粒的颗数

每次试验前不能预言出现什么结果每次试验后出现的结果不止一个在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性

——称之为统计规律性

6A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.我们的生活和随机现象结下了不解之缘.下面的现象哪些是随机现象？7

从观察试验开始

研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验.这里的试验，指的是随机试验.8

试验如具有以下的特点：

⑴可以在相同的条件下重复地进行；⑵每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；⑶进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Randomexperiment)。,用E表示。9请回答:随机现象是不是没有规律可言?否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.10例如:

一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.§1.2样本空间、随机事件

（SampleSpace、RandomEvents）ChapterOne样本空间——随机试验E所有可能的结果样本空间的元素,即E

的直接结果,称为随机事件

——

的子集,记为A,B,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间记为（或S）样本点(or基本事件)

常记为

、e

，

={}，S＝{e};13其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间投一枚硬币3次，观察正面出现的次数例1

给出一组随机试验及相应的样本空间14

随机事件常用大写字母A,B,C,…表示，它是样本空间S的子集合。

2、随机事件(Randomevent)在每次试验中，当且仅当子集A中的一个样本点出现时，称事件A发生。随机事件

——S的子集,记为A,B,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.基本事件

——

仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.

必然事件——全体样本点组成的事件,记为

,每次试验必定发生的事件.随机事件发生

——组成随机事件的一个样本点发生不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为

,每次试验必定不发生的事件.16

样本空间S={1，2，3，4，5，6}，随机事件A={1，2，3}，B={4，5，6}；随机事件C={1}是基本事件；若1，2，3中任一点出现时,事件A发生；反之,

若事件A发生，则1，2，3中至少有一点出现。举例：E4：抛一颗骰子，观察出现的点数；17

对于一个试验，在每次试验中必然发生的事件，称为E的必然事件(Certainevent)；在每次试验中都不发生的事件，称为E的不可能事件(Impossibleevent)

。例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;而“掷出点数8”则是不可能事件.18——

A

包含于B

事件A发生必导致事件B

发生AB

且1.事件的包含2.事件的相等二、事件间的关系与运算

(Relationandoperationofevents)19

事件A与事件B

至少有一个发生发生的和事件——

的和事件——

——

A

与B

的和事件

3.事件的并(和)20

或事件A与事件B

同时发生发生的积事件

——

的积事件——

——

A

与B

的积事件

4.事件的交(积)21发生

事件A发生，但事件B

不发生

——

A

与B

的差事件5.事件的差22——

A

与B

互斥A、

B不可能同时发生AB两两互斥两两互斥6.事件的互斥(互不相容)23——

A

与B

互相对立每次试验A、

B中有且只有一个发生A称B

为A的对立事件(or逆事件)，记为7.事件的对立符号 集合含义 事件含义Ω

全集 样本空间,必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 样本点{ω} 单点集 基本事件AΩ

一个集合 一个事件AB A的元素在B中 A发生导致B发生A=B 集合A与B相等 事件A与B相等A∪B A与B的所有元素 A与B至少有一个发生A∩B A与B的共同元素 A与B同时发生Ā A的补集 A的对立事件A-B 在A而不在B的元素 A发生而B不发生A∩B=φ

A与B无公共元素 A与B互斥25

吸收律

幂等律

差化积

重余律运算律对应事件运算集合运算

交换律

结合律

分配律

反演律运算顺序：逆积和差，括号优先。27

例

在图书馆中随意抽取一本书，表示数学书，表示中文书，表示平装书.——抽取的是精装中文版数学书——精装书都是中文书——非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件28事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于0与1之间.

在这一节中，我们简要介绍了随机试验样本空间随机事件及其概率给出了事件的集合表示29

那么要问:如何求得某事件的概率呢?下面就来回答这个问题.

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事率件概的§1.3频率与概率

(FrequencyandProbability)ChapterOne31

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.事件的概率概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！32

了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？

我先给大家举几个例子，大家再补充几个例子.33

例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.34

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.35

了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.36一、频率(Frequency)频率稳定性设在n

次试验中，事件A

发生了m

次，则称为事件A发生的频率

在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.37投一枚硬币观察正面向上的次数

n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069

n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005频率稳定性的实例

蒲丰(Buffon)投币

皮尔森(Pearson)投币38例

DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006福尔莫斯破密码

39(1)0

fn(A)

1；(2)fn(S)＝1；fn(

)=0(3)可加性：若AB＝

，则

fn(A

B)＝fn(A)

＋fn(B).实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。

频率的性质40

频率的应用第五章指出:当试验次数较大时有事件发生的概率事件发生的频率如：根据百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率统计概率41

近百年世界重大地震1905.04.04克什米尔地区8.088万1906.08.17智利瓦尔帕莱索港地区

8.4

2

1917.01.20印度尼西亚巴厘岛1.5万1920.12.16中国甘肃8.610万1923.09.01日本关东地区7.914.2万1935.05.30巴基斯坦基达地区7.55万

时间地点级别死亡“重大”的标准①震级7级左右②

死亡5000人以上42

时间地点级别死亡1948.06.28日本福井地区7.30.51万1970.01.05中国云南7.71万1976.07.28中国河北省唐山7.824.21978.09.16伊朗塔巴斯镇地区7.9

1.5

1995.01.17日本阪神工业区7.20.6万1999.08.17土耳其伊兹米特市7.41.7万2003.12.26伊朗克尔曼省6.83万2004.12.26印尼苏门答腊岛附近海域

9.015万43

时间地点级别死亡2005.10.8南亚7.67.5万2008.5.12中国汶川7.8

实际中，当概率不易求出时，人们常通过作大量试验，用事件出现的频率去近似概率.世界每年发生大地震概率约为14%44

概率的统计定义概率的定义在相同条件下重复进行的n

次试验中,事件A

发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,

且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A

的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用45

医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”

医生的说法对吗？46历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出

即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.47二、概率的公理化定义公理2

P(S)=1

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有

(3)这里事件个数可以是有限或无限的.

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下述三条公理:

公理10P(A)1

(1)48公理2

P(S)=1

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有

(3)这里事件个数可以是有限或无限的.公理1说明，任一事件的概率大于0；公理2说明，必然事件的概率为1；公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.公理10P(A)1

(1)49

三概率的性质

有限可加性:设

两两互斥

若

50例

有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.

为求P(A),先求P()解：令A={至少有两人同生日}={r个人的生日都不同}则51用上面的公式可以计算此事出现的概率为

=1-0.524=0.476

美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.47652

这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：53人数至少有两人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.54

对任意两个事件A,B,有

BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–AB)

B-ABAB55

加法公式：对任意两个事件A,B,有

推广：56一般：右端共有项.57例设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在何条件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？58A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

求

P(AB)的最大(小)值？解最小值在时取得——最小值——最大值最大值在时取得

例259例

设事件A,B的概率分别为

在下列三种情况下分别求的值：A包含于B606162例小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,

两类问题都能答出的概率为0.1.求小王：(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率

(2)至少有一类问题能答出的概率

(3)两类问题都答不出的概率63解事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(2)(3)64课后同学问：

例1中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？若是的话,则应有而现在题中并未给出这一条件.在§1.6中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.§1.4古典概型

(ClassicalProbability)基本计数原理

这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法.例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3

+2

种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮

加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.三、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种1、排列:

从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列排列、组合的几个简单公式ABDC例如：n=4,k=3第1次选取第2次选取第3次选取BDCBCDBDC……从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法2、组合:从n个不同元素取

k个（1kn)的不同组合总数为：常记作，称为组合系数。组合系数又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：3、组合系数与二项式展开的关系4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素因为5、若n个元素中有n1个带足标“1”，n2个带足标“2”，……，nk个带足标“k”，且，从这n个元素中取出r个，使得带足标“i”的元素有ri个，而这时不同取法的总数为

……

一、古典概型（等可能概型）

(Classicalprobability)

定义1

若随机试验满足下述两个条件：

(1)它的样本空间只有有限多个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性相同.

称这种试验为古典概型。

我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2

这样就把求概率问题转化为计数问题.定义2

设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.

A包含的样本点数

P(A)＝k/n＝

S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具.解：设所求事件为A.例1

从0到9这十个数字中任取三个，问大小在中间的号码恰为5的概率是多少？解：设A表示指定的3人排在一起。例2有9个人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。例3.从1，2，…，10共10个数中任取一数，设每个数以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出7个数，求系列事件的概率：（1）A1={7个数全部不相同}（2）A2={不含10和1}（3）A3={10恰好出现两次}

（4）A4={10至少出现两次}（1）A1={7个数全部不相同}（2）A2={不含10和1}（3）A3={10恰好出现两次}

（4）A4={10至少出现两次}×解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。有放回时，每人面对的签数是相同的例4(抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放回的情况下计算各人抽到难签的概率。乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可例4(抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放回的情况下计算各人抽到难签的概率。

比如日常生活中人们常爱用“抽签”的办法解决难于确定的问题，本题结果告诉我们，抽到“中签”的概率与“抽签”的先后次序无关。例将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为每一种分配法为一基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同。

问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(1)将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共3!种。对于这每一种分法，其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有12!／(4!4!4!)种。因此，每一班级各分配到一名优秀生的分法共有(3!×12!)／(4!4!4!)种。于是所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一班级的分法共有3种。对于这每一种分法，其余12名新生的分法(一个班级2名，另两个班级各5名)有12!／(2!5!5!)种。因此3名优秀生分配在同一班级的分法共有(3×12!)／(2!5!5!)种，于是，所求概率为例

设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品例

设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.有放回抽样：解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品例5.某城有N部卡车，车牌号从1到N，一人到该城去把遇到的n部卡车的牌号抄下，求A=“抄到最大牌号正好是K”的概率（1≤K≤N）。有放回抽样最大牌号不超过K：最大牌号不超过K－1：样本空间：抄到最大牌号正好是K的概率：例6设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。解：设A表示恰有5个房间中各有一个人。每人进入各房间等可能基本事件总数为75个。生日问题

若P(A)0.01,则称A为小概率事件.小概率事件

一次试验中小概率事件一般是不会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.（怀疑假设的正确性）小概率原理————(即实际推断原理)例区长办公室某一周内曾接待过9次来

访,这些来访都是周三或周日进行的,是否

可以断定接待时间是有规定的？解假定办公室每天都接待，则P(9次来访都在周三、日)==0.0000127这是小概率事件,一般在一次试验中不会发发生.现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.

例8“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.需要注意的是：

在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？下面的算法错在哪里？错在同样的“4只配成两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩下的8只中取2只例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？正确的答案是：请思考：还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：

有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：

有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.旅客车站3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：

有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.人任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：

某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天你还可以举出其它例子，留作课下练习.

早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.

把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.可选内容例9

某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟几何概型(等可能概型的推广)例9几何概型

设样本空间为有限区域

,若样本点落入内任何区域G

中的概率与区域G

的测度成正比,则样本点落入G内的概率为例两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1到达码头的瞬时为x,0

x<24

船2到达码头的瞬时为y,0

y<24设事件A

表示任一船到达码头时需要等待空出码头xy2424y=xy=x+1y=x-2几何概率中的悖论

几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，然而有人却构造出这样的例子，它包含着几种似乎都同样有理但却互相矛盾的答案，大家可以课后去寻求著名的例子。几何概率中的蒲丰投针问题试验：通过向2条平行线之间任意投掷一根针，可以估计出圆周率∏的大小方法：随机模拟法，MonteCarlo方法。[贝特朗奇论]在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少?

解此题有3中考虑方法：

[解法一]任何弦交圆周二点，不失一般性，先固定其中一点于圆周上，以此点为顶点作一等边三角形，显然只有落入此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率等于1/3(见图)。

[解法二]弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直于某一直径。当且仅当它与圆心的距离小于1/2时，才满足要求，因此所求概率为1/2(见图)。ABM1/21/2CNAB

同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在取弦时采用不同的等可能性假定．在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。由此例看出，等可能性引起了怪现象。由于采用等可能性来定义概率有这种困难，因此后来就选择另外的途径。即在定义概率这一基本概念时只指明概率应具有的基本性质，而把具体概率的给定放在一边。这样做的好处是能针对不同的随机试验给定适当的概率。与概率的频率解释及古典概型一样，几何概率的研究对于我们了解应要求概率具有哪些基本性质是很有帮助的。[解法三]弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时，才满足要求，此小圆面积为大圆面积的1/4，故所求概率等于1/4(见图)。DAC118§1.5条件概率

(ConditionalProbability)

条件概率与乘法公式

全概率公式与Bayes公式119

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).

一般P(A|B)≠P(A)

（conditionalprobability）120P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子

已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中容易看到P(A|B)121P(A)=3/10，

又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)122P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7

本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，

计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.

这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.123

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称

(1)2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.1243.条件概率的性质(自行验证)设B是一事件，且P(B)>0,则1.对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;2.P(S|B)=1；3.设A1,…,An互不相容，则P[(A1∪…∪An

)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.请自行写出.125

2)从加入条件后改变了的情况去算

4.条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0

掷骰子例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数126例掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算127由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率128例甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}129所求为P(AB).设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产130例设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).131条件概率P(A|B)与P(A)的区别

每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.132例3例

盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取三次，第三次才取得一等品的概率;解

令Ai

为第

i次取到一等品（1）(2)133利用这个公式可以计算积事件。乘法公式可以推广到个事件的情形：若则134

到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”135例.(抓阄问题)

某年全国足球甲A联赛的最后一轮,四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市进行,这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命运之战.肯定会异常精彩,可某班30位同学仅购得一张票,大家都想去看,只好采取抓阄的办法抽签决定,每个人依次从30个阄中地抽取一阄,试问,每人抽得此票的机会是否相等?（抽签的顺序与机会有关系吗？）136

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0137

设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则三、全概率公式(Completeprobabilityformula)138

设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,全概率公式:称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.则对任一事件B，有另常将全概率公式叙述为：139在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:140

某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是

每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解141

例有三个箱子,分别编号1,2,3。1号箱装有1红球,4白球;2号箱装有2红球,3白球;3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱,再从箱中任取一球，求取到红球的概率。解：记

Ai={球取自

i

号箱},

i

=1,2,3;B={取得红球}。即B=A1B∪A2B∪A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥。B发生总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生，于是，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式142将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。对和式中的各项运用乘法公式得143

全概率公式之所以有力，就在于它概括了一种普遍的解题思路：化整为零，各个击破。144解：以A1,A2,A3表示事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙厂生产”；以B表示事件“取得的产品为正品”，于是：

145

全概率公式之所以有力，就在于它概括了一种普遍的解题思路：化整为零，各个击破。乘法公式146P(AB)=P(A)P(B|A)

从箱中每次任取一球，问：第一次取得白球且第二次取得红球的概率？?摸球问题全概率公式147摸球问题：先从3箱中任取一箱，再从箱中任取一球，求取得红球的概率。123?事件B事件Ai={球取自i号箱｝i=1,2,3148摸球问题：已知取出的是红球，求该球是取自2号箱的概率。123解：记

Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求

P(A2|B)＝？乘法公式全概率公式P(A2|B)＝1/4?贝叶斯公式

设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,则对任一事件B，有A1AnBA2BAnA2BBA1四、贝叶斯公式150——在观察到事件B(结果)发生的条件下，寻找导致B发生的每个Ai(原因)的概率.A1A2A3B全概率公式贝叶斯公式“原因”“结果”151

某一地区患有癌症的人占0.04％，患者对某种试验（如:AFP法）反应是阳性的概率为99%，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1％，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?解:应用99%0.1%0.04%设A1={抽查的人患有癌症}B={试验结果是阳性}A2={抽查的人不患癌症（正常人）｝152已知

P(A1)=0.0004,P(A2)=0.9996,

P(B|A1)=0.99,P(B|A2)=0.001解:由贝叶斯公式，得代入数据得:

P(A1｜B)=0.284设A1={抽查的人患有癌症}B={试验结果是阳性}A2={抽查的人不患癌症（正常人）｝15341.检出阳性是否患有癌症?

试验结果为阳性,患癌症的概率为

P(A1｜B)=0.284正常人99.96%的比例0.04%的比例“虚报”的成分结果分析101542.此试验对确诊有无帮助？结果分析如何提高准确率？若被检查人群中患病率P(C)=0.284则检验结果阳性的患病率P(C｜B)=0.997初筛复查P(A1｜B)=0.284155

对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98％，而当机器发生某种故障时，其合格率为55％。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95％。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少?解设A为事件“产品合格”，

B为事件“机器调整良好”。已知P(A∣B)＝0．98，P(A∣)＝0．55，P(B)＝0．95，P()＝0．05，所需求的概率为P(B∣A)。应用156解设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”。已知P(A∣B)=0.98，P(A∣)=0.55，P(B)=0.95，

P()=0.05，所需求的概率为P(B∣A)。由贝叶斯公式157

这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0．97。这里，概率0．95是由以往的数据分析得到的，是先验概率。而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0．97)是后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。158下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式159

贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.

当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。§1.6事件的独立性

(IndependenceofEvents)

例小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,

两类问题都能答出的概率为0.1.求小王：(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率

(2)至少有一类问题能答出的概率

(3)两类问题都答不出的概率回顾1.3中的例题课后同学问：

例1中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？若是的话,则应有而现在题中并未给出这一条件.本节中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.

显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)则称A、B独立，或称A、B相互独立.一、两事件独立的定义例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2

前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

则由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

P(A)=P(A|B),说明事件A、B独立.

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击，记

A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）

一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.

因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.3．相互独立与互不相容的区别事件的独立性与互斥是两码事互斥性表示两个事件不能同时发生而独立性则表示他们彼此不影响

请问：如图的两个事件是独立的吗？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,

则A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即

问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是

S和P(S)=P()P(S)=0

与S独立且互斥不难发现，与任何事件都独立.设A、B为互斥事件，且P(A)>0,