高中数学 第一章 1.1.1-1.1.2变化率问题导数的概念同步检测 新人教A版选修2-2

§1.1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念一、基础过关1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ()A．0.41 B．3C．4 D．4.12．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是 ()A．0 B．1C．2 D．Δx3．设函数f(x)可导，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,3Δx)等于 ()A．f′(1) B．3fC.eq\f(1,3)f′(1) D．f′(3)4．一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t＝1时的瞬时速度为 ()A．4 B．6C．24 D．485．函数y＝3x2在x＝1处的导数为 ()A．12 B．6C．3 D．26．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是 ()A．甲 B．乙C．相同 D．不确定7．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______．二、能力提升8．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.9．函数f(x)＝eq\f(1,x2)＋2在x＝1处的导数f′(1)＝__________.10．求函数y＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3①,29＋3t－320≤t<3②))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．

答案1．D2．A3．C4．B5．B6．B7．－98．2.19．－210．解因为Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－8Δx－2Δx2,Δx)＝－8－2Δx.11．解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2Δx＋16)＝16.12．解∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋2aΔx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2，即2a＝2，∴a＝1.13．解(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12.∴物体在t＝1处的