数学必修5选修2-1期末试卷+答案详解

必修5和选修2-1测试卷B

学号：姓名：分数：

一、选择题：本大题共12小题。每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要

求的一项。

(1)在△ABC中，a=3,b=5,sinA=，3【^sinB=()

3

15八6

A.-B.-C.---D.1

593

(2)设XEZ,集合A是奇数集，集合5是偶数集。假设命题〃：那么(

A.—A,2XGBB.「p:Hr任B

C.-yp:3xeAy2xBD.-np:X/x^A,2xB

(3)动点尸到点M(L°)及点N(3,0)的距离之差为2,那么点P的轨迹是()

A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线

(4)“1VXV2”是“xV2”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(5)设a,b,c£R,且a>b,那么()

11.…

A.ac>bcB.—<—C.a2>b2D.a3>b3

ab

(6)设首项为1,公比为2的等比数列｛凡｝的前〃项和为s“，那么()

(A)Sn=2an-\(B)S“=3%-2(C)Sn=4-3an(D)Sn=3-2an

(7)假设2、+2、'=l,那么x+y的取值范围是()

A.[。,2]B.[-2,0]C.[-2,4~CO)D.(-oo,-2]

2

(8)抛物线V=4x的焦点到双曲线丁-^=1的渐近线的距离是()

(A)-(B)—(C)1(D)&

22

(9)设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，假设S“i=-2,S,”=0,S”M=3,那么根=(

A.3B.4C.5D.6

(10)锐角AABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2/4=0,4=7,c=6,那么

h=()

(A)10(B)9(C)8ID)5

22

(in椭圆正：二+工7=1(〃>〃>0)的右焦点户(3,0),过点F的直线交石于A,A两点，假设

ab

的中点坐标为那么E的方程为（）

z

3627=1

(12)如图,在长方体ABCD-A.B,C,D.中,AB=BC=2,AA)=1,那么B3与平面BBDD所

成角的正弦值为（

A.aB.5C.

（请把选项填入表格内）

23456789101112

二.填空题：本大题共四小题，每题5分。

（13）不等式/+工一2<0的解集为.

（14）设满足约束条件一'一’,那么z=2x-y的最大值为_____。

-l<x-y<0

（15）{4}是等差数列，q=1,公差d±0,S,为其前〃项和，假设4、4、%成等比数列，那么Sg=

（16）圆M:（x+l）2+y2=i,圆N:（x—iy+y2=9,动圆尸与圆M外切并且与圆N内切，圆心P

的轨迹为曲线C,那么C的方程为.

三.解答题：

17.110分）在如下图的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影局部），那么当边长x为何值时，

花园面积最大并求出最大面积

18.112分）+尔+1=0有两个不等的负根，夕：4/+4（机—2»+1=0无实根，假设〃v4为

真，〃八q为假，求m的取值范围.

19.(12分)Z\ABC的内角A,B,C的对边分别为a^c^bcosC+csinB.

⑴求B(2)假设6=2,求△ABC面积的最大值.

20.(12分)如图，在直三棱柱AgC「ABC中,AB1AC,AB=AC=2，AA=4,点D是BC的中点.

(1)求异面直线与C.D所成角的余弦值；

(2)求平面A0G与平面AB%所成二面角的正弦值.

【解析】选C,根据的否认是应选C.

(3)动点尸到点M(LO)及点N(3,0)的距离之差为2,那么点P的轨迹是()

A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线

【解析】选D

(4)“1VXV2”是“xV2”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选A,因为集合(1,2)是(-8,2)的真子集，所以是“x<2”成立的充分不必要条件，应

选A.

(5)设.a,b,c£R,且a>b,那么()

A.ac>bcB.—<—C.a2>b'D.a3>b3

ab

33

【解析】选D.y=x3在(-8,+8)上为增函数,所以a>b.

2

(6)设首项为1,公比为§的等比数列｛/｝的前〃项和为S“，那么()

(A)Sn=2an-l(B)Sn=3an-2(C)S„=4-3a„(D)Sn=3-2an

.2

2a-aa[一为

【解析】选D.方法一：因为等比数列的首项为1,公比为一，S“二」~—・，所以

3"qi_2

3

5〃=3-26.

方法二：S“二一2一=3—3x(2)”=3—2(2)”T,观察四个选项可知选D.

.2333

1-----

3

(7)假设242'=1,那么户y的取值范围是()

A.[。,2]B.[—2,0]C.[—2,+00)D.(―oo,—2]

【解析】选D.2yf2^^2x+2y=l,2x，y^-,BP2x，yC2-2,ffilUx+y^-2.

4

2

(8)抛物线V=4x的焦点到双曲线d=1的渐近线的距离是()

(A)-⑻—(01(D)6

22

2

【解析】选B.由抛物线;/=4x的焦点(1,0),双曲线Y一,=1的一条渐近线方程为后一)，=().

根据点到直线的距离公式可得d=9,应选B.

2

⑼设等差数列｛〃“｝的前〃项和为S“，假设5时|=_2,Sm=0,S.=3,那么阳=(

A.3B.4C.5D.6

【解析】选C.由得，6r,n=-5W,,=2,=5m+1-5,„=3,因为数列｛%｝为等差数列，所以

d=4向一勺，=1，又因为S"，='〃⑷+"'〃)=0,所以机(q+2)=0,因为加工°，所以q=-2,

又+(m一1)〃=2,解得m=5.

(10)锐角A43C的内角A,B,C的对边分别为〃力,c,23cos2A+cos24=0,a=7,c=6,那么

b=()

(A)10(B)9(C)8(D)5

【解析】选D.因为23cos2A+cos2A=0,23cos2A+2cos2A-l=0,解得cos^An-!-,

25

方法一：因为AABC为锐角三角形，所以cos4=』，sinA=—.

55

由正弦定理一^二—得，一^二)-.sinC=©5,cosC=2.又B=万一(A+C),

sinAsinC2屈sinC3535

丁

所以sinZ?=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

D27619112V650V6+ab7bc

sinB=----x---1—x-----=-----.由-----=-----得，—==---j=r,解得/?=5.

535535175sinAsinB2v650x/6

丁175

方法二：由。2=/+/-抄ccosA,cosA=|,那么从+36-128x(=49,解得b=5

22

(11)椭圆E:=+4=l(a>6>0)的右焦点尸(3,0),过点F的直线交£于A,8两点，假设A8

ab~

的中点坐标为(1,一1),那么E的方程为()

二+±=1D.JJ

A.--------1---------1B.1

45363627189

22

xy222222

【解析】选D.由椭圆靛+F=1得，bx+ay=abt

因为过尸点的直线与椭圆j+2r=1(〃>方>0)交于4,B两点,

ab~

设4匹，%)，3(冗2，必)，那么〜々=1,%:丁2=_]

那么从工；+/%2=〃2/①+々2y22=0泞②

由①一②得/(xj_电2)+々2(弘2_%2)=0，

化简得从口一%乂为+々)+〃2(必一为)(y+%)=°・

,2

2

2b“Xi-x2)-2a(yl-y2)=0,-~—=—

x-x2a~

又直线的斜率为k=°"(-1)=-,即！='.因为"=/一="—9,

3-12/2

所以土==L,解得/=18,从=9.故椭圆方程为工十二二1.

a22189

(12)如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AAi=l,那么BG与平面BBiDiD所

成角的正弦值为()

.2Vse3屈

A.2B.5C.5D.5

【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,那么B(2,2,0),D,(0,0,1),G(0,2,1),

，DDj，"0,1),(2,2,o),BC1二(一2,"1),

设平面BB)DiD的一个法向量n=(x,y,z),

P±75B,|2x+2y=0,

由|___.可得Iz=0,二可取n=(l,T,0).

[n±I)l\

t■•BC】-2_8

cos<n，BC/二向.।记广冲一，

ABC,与平面BB.D.D所成角的正弦值为卑.

二.填空题：本大题共四小题，每题5分。

(13)不等式/+工一2<0的解集为.

【解析】{x|-2vx<l}.X2+X-2=(X-1)(X+2)<0,解得一2v%vl

1一"一‘，那么z=2x—y的最大值为______

(14)设满足约束条件

-l<x-y<()

【解析】3画出可行域如下图,

当目标函数z=2x-y过点A(3,3)时，取得最大值，Zmax

(15){4}是等差数列，4=1,公差d#0,S“为其前〃项和，假设《、曲

%成等比数列,那么58=

【解析】64,因为外、生、七成等1比数列，q=l所以(l+d)2=l+4d,化简得/

Qx7

因为1。0,所以4=2,故58=84=8+56=64.

(16)iaA/:(x+l)2+r=1,圆N:(x—l)2+y2=9,动圆P与I员IM外切并且与圆N内切，圆心P

的轨迹为曲线C,那么C的方程为.

X2y2

【解析】——十?—=1(工工2)由得圆M的圆心为M(—1,0),半径c=l；圆N圆心为N(l,0),

43

半径々=3.设圆P的圆心为P(xty),半径为R

动圆尸与“外切并且与圆N内切。，所以|「必|+|"7|_(欠+。)+(々-公)一。十々-4

由横圆定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2,短半羯长为百的椭圆(左顶点除

x2y2

外)，其方程为、+、=1(工工2).

三.解答题：

17.(10分)在如下图的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影局部)，那么当边长办何值时,

花园面积最大并求出最大面积

【解析】设矩形高为匕由三角形相似得：二二"二且x〉0,y>0,x<4D,y<40

4040

=>40=x+y>2y[xy,仅当x=y=200寸，矩形的面积=盯取最大值400.

19.(12分)p：/十〃四十1一0有两个不等的负根，夕：4/十4(〃Z-2)X十1一0无实根，假设pvq为

真，〃八4为假，求m的取值范围.

【解析】见世纪金榜课本相关页

19.(12分)△ABC的内角4aC的对边分别为a,b,c,a司cosC+cs力2A

(1)求B.(2)假设左2,求AABC面积的最大值.

【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以

sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinCWO,

所以tanB=l,解得B=-.

4

⑵由余弦定理得：//=/+。"-%皿>5工，即4=a2+c2-^2ac,由不等式得a2+c2>2ac,当且仅当a二c时,取等

4

号，所以42(2-&)ac,解得acW4+26,所以4ABC的面积为-acsin-X(4+2血)=血+L

244

所以AABC面积的最大值为夜+1.

20.(12分)如图，在直三棱柱ABC中，AB1AC,AB=AC=2,A(A=4,点D是BC的中点.

(1)求异面直线A5与G。所成角的余弦值；

(2)求平面AOG与平面AB儿所成二面角的正弦值.

【解析】(1)以A为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系A-xyz,那么A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,

2,0),D(l,1,0),A,(0,0,4),G02,4),所以=(2,0,一4),C1D=(1,-1,一4).因为

\BC.D_18_3>/i0

cos<AB,C[D>=

LICQI一回炳一10

所以异面直线与C|O所成角的余弦值成角的余弦值为土猾

(2)设平面AZ)C的法向量为勺=(x,y,z),因为AO=(1,1,0),AC；=(0,2,4),所以勺-AO=0,

H]•AC1=0,即x+y=O且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以，〃[=⑵-2,1)是平面AQC1的一

个法向量.取平面ARB的一个法向量为点二(0,1,0),设平面AOG与与

〃[%_2=2得

平面ABA所成二面角的大小为仇由Icos。

I%II叼I邪3

75

sin8=

3

因此，平面AQG与平面AB凡所成二面角的正弦值为

3

21.(12分)设S”为数列｛%｝的前项和，4工0,2。”一。[=S]・S“，

(I)求见，知,并求数列｛凡｝的通项公式；(II)求数列｛〃右｝的前〃项和。

【解析】(【)令〃=1,得2%-卬=42,因为6工0,所以4=1,

令〃=2,得2a2—1=邑=1+。2，解得生=2。当〃之2时，由2a“一1二%

2aI-1=S〃T，两式相减，整理得%=2%,__于是数列｛〃“｝是首项为】，公比为2的等比数列，所

以，%=2"，

(II)由(I)知〃记其前〃项和为7\,于是

T1t=1+2x2+3x22+…+〃X2"T①

27；,=lx2+2x22+3x234----4-nx2fl②

①一②得一丁”=1+2+2:+…+2"T-〃X2"=2"-1一〃x2"

从而。=1+5-1)・2”

22.(12分)设椭圆4+¥=l(a>b>0)的左焦点为内离心率为正，过点尸且与x轴垂直的直线被椭

arb~3

圆截得的线段长为竽.

(I)求椭圆的方程；

(H)设45分别为椭圆的左、右