2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷（课标全国Ⅱ卷）（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷

第三模拟

本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】D

5矫】用力旷(l+0(l-0-2z2-2z-2i(l+i)

【分析】因为z=l+z,所以------=---------------=------=---------=-2z.

z1+z1+z1+i

故选：D.

2.己知集合双=卜|y=lgl_4)},N={x[0<x<4},则做M)「N=()

A.{x|-2<x<4}B.{x|0<x<2}

C.{x|-2<x<2}D.{x|x<4}

【答案】B

【分析】解：由％2一4>0，得％<—2或x>2,

所以加={%[%<-2或1>2},所以=1x|-2<x<2},

因为N={x|0<%<4},

所以(0")nN={jd0<xW2},

故选：B

3.在等差数列｛%｝中，4=2%—1,%=6g-2,贝!]----^[0=()

A.165B.160C.155D.145

【答案】D

【分析】设数列｛4｝的公差为d,

由a5=2a3一1=>%+4d=2(6+2tZ)-1=>勾=1,

由as=6a2-2=。1+72=6(q+d)-2=>d=5q-2=3,

10义910x9

则a[+出+•,,+Go=10%H———d=10x1H---——x3=145.

故选：D

4.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图

是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）

2012-2020年我国快递业务量变化情况

80.0%

70.0%

60.0%

50.0%

40.0%

30.0%

20.0%

10.0%

0.0%

A.这9年我国快递业务量有增有减

B.这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%

C.这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%

D.这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

【答案】D

【分析】由条形图可知，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误;

将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：

25.3%,26.6%,28.0%,30.5%,48.0%,51.4%,51.9%,54.8%,61.6%,

故中位数为第5个数48.0%,故B错误；

这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%-25.3%=36.3%>36%,故。错误；

由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，

故快递业务量的平均数超过210亿件，。正确.

故选：D.

5.设江，5为非零向量，则“7口5”是“7与5方向相同”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】因为5为非零向量，所以万□方时，4与B方向相同或相反，

因此“万口户是方与B方向相同”的必要而不充分条件.

故选：B.

6.己知数列｛%｝的通项公式为q=〃sin与，则%+&2+4+…+。2021=()

A.101173B.-|73C.|73D,-1011A/3

【答案】D

【分析】由题意，数列｛《,｝的通项公式为““=心也三，且函数y=sin年的周期为6",

g"a八•(6〃+1)%,,C、•(6〃+2)%

所以a6n+l+”6〃+2+•,,+a6n+6=(6〃+D,Sin--------+(6〃+2)•S1I1-------+…

+(6n+6)-sin⑹’+=(6〃+1)-sin—+(6zz+2)-sin—+(6H+6)-sin

3333

=(6/z+l)--+(6/7+2)--+(6n+3)-0++(6«+4)-(--)+(6n+5)-(--)+(6n+6)-0=-3A/3-

2222

又因为2021=6x336+5=6x337—1,

所以q+%+/+•••+%(pi=337x(—3\/3)—=—1011,\/3.

故选：D.

7.己知R为抛物线C：>2=4x的焦点，过R作两条互相垂直的直线/],4,直线4与。交于A,8两点,

直线6与C交于。，后两点，则|钻|+|。目的最小值为()

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【分析】由已知4垂直于左轴是不符合题意，所以4的斜率存在设为左，％的斜率为公，

由题意有匕？左2T，设A4，%），3（%，%），为），E（X4，％），此时直线4方程为V=匕（%一1），

丁=4x

取方程《得kfx2-2k；x-4x+kf=0,

y=kl(x-l)

—2好一421c+4---2片+4

n%+々=----75—=—-2—，同理得x3+x4=———

ZC[K]K>2

由抛物线定义可知IAB|+1£>E[=%+%+/+%+2。

26+42片+4，4416。〃

=\+\+4=—+—+8^2,^^+8=16

片公k；k；k…；k；

当且仅当尢=一左2=1（或—1）时，取得等号;

故选：A

8.在平面直角坐标系x0y中，A（3,0）,3（0,-3）,点“满足加=xE+y赤，x+y=l,点N为曲

2

线y=yl-x-2x上的动点，则|MN|的最小值为（）.

A.272-1B.2亚C.呼D.半—1

【答案】C

【分析】左"=（?=1，所以直线的方程是y=x-3

••,点Af满足两=工况+丫砺，x+y=l,二点M在直线AB：y=x-3上，

点N在曲线(x+l)2+y2=i(yN0)上,

3_3亚

如图，I肱V|的最小值是点。到直线y=X-3的距离\MN\

min正F

9.设厂为双曲线c：「—5=1（。〉0）〉0）的右焦点，。为坐标原点，以。为圆心o9为半径的圆与双

曲线c交于尸.。两点（P、0均在x轴的上方）.若|PQ|=|O同，则c的离心率为（）

A.乎B.V2C.2D.V3+1

【答案】D

【分析】设Q在左支上，P在右支上，

根据题意，可得|PQ|=|OQ|=|QH=C,且尸Q与X轴平行，

jr27r

所以四边形ObPQ为菱形，且NPQO=§,所以NQOF=3-,

设其左焦点为F，则|QF[=|PF]=c,

所以|°同=辰,所以在双曲线中，2a=\QF\-\QF'\=^-l）c,

所以其离心率e=||=二Z=^+l,

故选：D.

10.函数/（%）=腕3九|,若正实数机、"（m<"）满足/（加）=/（"），且/（尤）在区间,a]上的最大

值为2,贝|」〃一加=（）

15255

C.D.

4~16~

【答案】A

【分析】v/（x）=|log3x|,正实数加、〃（加<”）满足/（加）=/（"）,

:.0<m<l<n,且|log3m|=|log3",log3m=-log3n,

log3m+log3n=0,解得河=1,

又：/在区间［苏,臼上的最大值为2,

'I

易知/(m2)=-log3,=2,此时<3,:.n-m=-,

n=33

故选：A.

11.已知DABC的三个顶点均在球心为0的球面上，若AC=BC=2,=2百,球心0到平面ABC的

距离为百,则该球的体积为()

100

A.24»B.32%C.71D.36〃

3

【答案】D

【分析】在口45。中，因为AC=BC=2,AB=26,

由余弦定理知cosC=2-±22(2电—,所以sinC=Jl-co以C=，

2x2x222

2yAB空

r-=4

设口人与。的外接圆半径为广，则由正弦定理知sinC6,所以厂=2

3

设球。的半径为R,可得R=J(布j+2?=3,

4

所以球。体积V=—万尺3=36%.

3

故选：D.

f(}12

12.已知定义域为(0,+8)的函数/⑴满足/(%)+/x」=-y,且/(e)=—,e为自然对数的底数，若关

xxe

于X的不等式幺2-X-0+2<0恒成立，则实数。的取值范围为()

XX

A.[1,+co)B.[2,+oo)

-e+21「―e3+2e?+21

C.----,+ooD.------------,+oo

LeJLe)

【答案】B

【分析】由尸(])+&=!，得？'(x)+/(x)=工

XXX

设g(x)=#(x),g\x)=xf\x)+/(x)=-,

X

./、ir/、Inx+c

贝!Jg(%)=lnx+c,从而有/(%)=-------.

x

▼1+c2lnx+1q(、-Inx

又因为/(e)=----二—,所以c=l,f(x)=-------，f(x)=一=，

eexx

所以/(X)在(0/)上单调递增，在(L”)上单调递减，所以/(犬)max=/(D=L

因为不等式~-x---F2<0怛成立，所以/(%)—%2+2%—。40,

XX

即/(%)—(1—1)2+1<〃，又因为/(%)—(%—1)2+142,所以“22.

故选:B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a,尸均为锐角，且a+工，若sin(2a+/?)=3sin则tan("+分)

22tan。

3.

【答案】5由sin(2a+/?)ugsin/?,可得2sin[(a+p)+a]=3sin[(a+p)—a]

所以2[s以(a+为cosa+cos(a+/?)sina]=3[sin(a+£)cosot—cos(a+yfi)sma]

从而sin((x+^)cosa=5cos(a+P)sina,所以tan(a+A)=5tana,所以，'。(戊+')=5

tan。

故答案为：5.

14.数列｛4｝满足q=1,an+1+(-1)"=2/7+1,为其前〃项和，则/]=

【答案】5151因为q=l,%M+(—1)"%=2〃+1,%+(—1)"一区1=2〃—1,

所以4-4=3,可得。2=4,

当〃是奇数时，an+1-an=2n+l,

“+1是偶数，。“+2+4+1=2〃+3,

两式相减可得：。计2+4=2,

当”是偶数时，a.+。“=2〃+1,

“+1是奇数，4+2-4+1=2〃+3,

两式相加可得：。“+2+%=4〃+4,

所以当“是奇数时,4+2+4=2；

因为q+%=2,可得%=1，

a3+«5=2,可得%=1，

所以q=%=%=%=…=%oi=1,

当九是偶数时，4+2+4=4〃+4,

所以S[0]=(q+%+%+%+■■■+4()1)+(。2+。4+06+,"I---1"0100)

25(4x2+4+4x98+4)

=51x1+—-----------------^=51+5100=5151,

2

故答案为：5151.

15.设有下列四个命题：

P\：空间共点的三条直线不一定在同一平面内.

P2：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合.

P3：若三个平面两两相交，则交线互相平行.

P4：若直线a〃平面直线a,直线〃，则直线平面a.

则下述命题中所有真命题的序号是

口△。4□B△。20「0V0□「03V°4

【答案】□□

【分析】

在如图所示的正方体中，

直线AD,Z)C,DDi共点。，此时三条直线不在同一平面内，.•.B为真命题；

平面ABC。、4和8QG两两相交，但交线A。,DC不互相平行，为假命题；

设直线4片为直线a,平面ABCD为平面a,则alia；设直线B©为直线。，止匕时力，)，且bHa一"4

为假命题；

•.•不共线的三点确定唯一的一个平面，，若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合，即。2为真

命题；

，百八为假命题，口错误；8人。2为真命题，□正确；为假命题，□错误；「2V04为真命

题，口正确.

故答案为：□口

16.已知函数〃x)=lnx,g(x)=xlnx.若当xe(O,y)时，/(x)WAx+lVg(x)恒成立，贝!]实数左一、

的值等于.

【答案】2

【分析】当xe(0,+co)时，f[x)<kx+b<g[x),即InxWAx+bWxlnx,

所以当x=l时，0Wk+6W0,所以左+0=0,

贝1Jlnx<Ax—左<xln%,

令根(x)=lnx-Ax+左,则皿尤)<0在jr£(0,+oo)时恒成立,

m'(x)=--k=-——.

xx

当左W0时，m(x)>0,则根(％)=lnx-Ax+女单调递增,

由加⑴=0,可知x£(l,+oo)时，m(x)>m(l)=0,不满足lnx<Ax—左；

当左>0时，m(x)=0,可得x=,，

k

则X£(0,l)时，m(%)>0,加(x)单调递增，X£(l,+8)时，m(x)<0,皿x)单调递减,

由根(1)=0,且加(x)<0在％£(0,"o)时恒成立，所以，=1,即左=1.

k

只需检验上=1时x—iWxlnx恒成立即可.，即证Inx—1+,20

X

人/、i1I，/、IIx-l

令〃(%)=ln%-l+一,n(%)=------7=—»

xxxx

%e(0,l)时，n'(x)<0,〃(x)单调递减，xe(l,H<o)时，n\x)>0,“(x)单调递增，

所以"(x)N"(l)=0,得证.

所以左=1,/,=—1,所以左一5=2.

故答案为：2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)已知公差不为。等差数列｛4｝中，4=-4且出，%，%成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

12

(2)求数列《，的前九项和

[44+1J

3n

【答案】(1)«„=6«-10(2)T=

;n2(2—3〃).

【分析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d.

因为每，%，％成等比数列，所以a；=a2a7一

又q=—4,所以(―4+2d1=(-4+d)(—4+6d),

化简得2dm—6)=0,

又公差不为0,所以d=6.

故an=%+(77-V)d=T+(〃-1)x6=6〃-10.

1212_3_]_]

（2）依题意,

(6M-10)(6“-4)—(3“一5)(3“一2)-3n—5~3n—2

11.11.11.11_113n

---—1-—|-—|_...—------------------------

—2114473n—53n—2—23n—22(2-3n)

18.（12分）

一年一度的剁手狂欢节——“双H^一“，使千万女性朋友们非常纠结.2020年双H■•一，淘宝点燃火炬瓜分2.5

个亿，淘宝、京东、天猫等各大电商平台从10月20号就开始预订，进行了强大的销售攻势.天猫某知名服装

经营店，在10月21号到10月27号一周内，每天销售预定服装的件数》（百件）与获得的纯利润y（单位：

百元）之间的一组数据关系如下表：

3456789

y66697381899091

（1）若y与工具有线性相关关系，判断y与x是正相关还是负相关；

（2）试求y与％的线性回归方程；

（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装的件数X（百

件）与获得的纯利润y（单位：百元）之间的关系仍然服从（1）中的线性关系，若结束当天能销售服装14百

件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？（有关计算精确到小数点后两位）

,£（%--可（%-歹），7

参考公式与数据：y=bx+a,b=------------------------,a=y-bx.^jxiyi=3487.

XU一月2汩

Z=1

【答案】（1）y与％是正相关；（2）S=4.75X+5L36；（3）结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多

38.00百元

【分析】：（1）由题目中的数据表格可以看出，》随着》的增大而增大,

□判断出y与％是正相关；

7

（2）由题设知，£x；=280,

i=l

_3+4+5+6+7+8+9「

x--------------------=6,

7

-66+69+73+81+89+90+91559

y=--------7--------

59

3487-7X6X1⑶4„

280-7x3628.

则&=苧一6><4.75,51.36,

口线性回归直线方程为E=4.75X+51.36；

（3）由（1）知,当》=14时,1=4.75x14+51.36=117.86（百元）,

□11月2号这天估计可获得的纯利润大约为117.86百元；

559

由（1）知，前一周的平均利润为了=亍。79.86（百元），

故结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多38.00百元.

19.（12分）已知椭圆C：1+：=1（。〉6〉0）的离心率为*,且过点一g,三:点〃在圆。：

X?+/=5上.

（1）求椭圆。的方程；

（2）若点A,5是圆O上异于M的两点，且直线M4、MB与椭圆C相切，求证：A,5关于原点。对

称.

【答案】（1）—+/=1；（2）证明见解析.

4-

115

4?+16^

/=/+〃二4丫2

【分析】(1)依题意,解得1故椭圆C的方程为土+/=1；

[b2=l,4-

C_A/3

、a2

(2)设点在圆/+寸=5上运动，当过点〃且与椭圆。相切的直线斜率存在时，设切线的方

程为y=+

1y=k（x—Xo）+y。，

ffl消去y得（1+4左2卜2+8左（%-5）%+4（%-质0）2-4=0,

p+4/-4=0,

则△=64左2（%_也）2—4（1+4左2）[4（%—5）2—4卜0,

整理得（4—莅）左~+2x0y0k+1—JQ=0,

l-y2

设直线MA,MB的斜率分别为k-忆则W=„，

4—不

故左1左2=-1，即AB为圆好+丁2=5的直径，故此时A,3关于原点。对称；

当直线的斜率不存在时，直线M4的方程为x=2或无=-2,

当直线的方程为x=2时，不妨设“(2,1),则4(2,—1),5(-2,1),此时A,5关于原点。对称；

当直线M4的方程为无=—2时，不妨设〃(—2,1),则4(—2,—1),8(2,1),此时A,3关于原点。对称;

同理可得，当直线MB的斜率不存在时，A,3关于原点。对称；

综上所述，A,3关于原点。对称.

20.(12分)如图，在四棱锥P—A3CD中，平面0平面ABC。，NPBC=90°，AD//BC,

/ABC=90。，2AB=OCD=2AD=2.

c

(1)求证：CDJ_平面PBD；

(2)若直线PD与底面ABC。所成的角的余弦值为走，求三棱锥A-PBD的外接球表面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)67r.

【分析】(1)在四边形ABC。中，AD//BC,—ABC=90°，2AB=42CD=2AD=2.

OABD，△BCD为等腰直角三角形，即CDJL03,

•••平面P3C，平面ABC。，ZPBC=90°，平面网。门平面A5CD=8C，

.•.PBL平面ABC。，又Q)u平面ABC。，.•.P3_LCD,

■：BD^PB=B,平面PBD,\CDA平面PSD.

(2)♦.•夫5，平面48。，BZ),ADu平面ABC。，.♦.§£＞，M，AD±PB,

又ADIIBC，/ABC=90°，:.ZDAB=90°，即ADLAB，

\-PB^AB=B,尸氏43匚平面八记，」.740_1_平面上48,

•.•APu平面。48,:.ADrAP-

即QD8P,ODMP均为直角三角形，且公共斜边为PD，

.•.PD中点到三棱锥A-PBD四个顶点的距离相等，

三棱锥A—PBD的外接球半径R=LPD；

2

­.•PB，平面ABCD.ZBDP为直线PD与底面ABCD所成的角，

:.cosZBDP^—=—,又BD=亚，:.R=-PD^—,

DP322

•••三棱锥A—PBD的外接球表面积S=4〃R2=6〃.

21.(12分)已知函数/'(xlMX+e—la-Dlnx—Z,其中aeR.

X

(U)若/(%)存在唯一极值点，且极值为0,求。的值；

(U)讨论/(九)在区间［Le?］上的零点个数.

【答案】(口)4=1或。=6；(□)答案见解析.

【分析】(口)由已知，可得r(x)=］_=_B=(x+l)y_a)(x〉0).

U若aVO,则当xe(0,+8)时，/'(力>0恒成立，

0/(%)在(0,+")上单调递增,与/(九)存在极值点矛盾；

口若a>0,则由/'(x)=0得％=a.

口当xe(0,a)时，/'(尤)<0；当xe(a,+oo)时,/,(x)>0.

n/(x)在(0,a)上单调递减，在(。,+8)上单调递增.

□“X)存在唯一极小值点x=a.

□/(a)=a+l-(a-l)lna-2=(a-l)(l-lna)=0.

口。=1或。=6.

(□)□当aWl时，/'(%)"在上恒成立，□/(%)在［1］］上单调递增.

22

□/(l)=fl-l<0,/(e)=e+4-2a，

e

(U)当aVO时，/(e2)=e2H—--2a=e2+<2f——2j>0；

(0)当Ova<l时，f(e?)=e2H—--2a>2y—2〃=2y^1—20.

口由零点存在性定理，知/(X)在［Ie?］上有1个零点;

□当1vQvez时，

□当xe［l,a)时，/,(x)<0；当xe(a,e2］时，/'(九)>0,

□/(x)在［1,a)上单调递减,在(a,e?］上单调递增.

口/(力遍=/SHaT°Tna).

(□)当a=e时，/(jc)min=0,此时〃可在［11］上有1个零点;

(□)当l<a<e时，“尤"/。，此时八％)在口炉］上无零点;

（口）当e<a<e2时，/（力而”<°，/⑴=。一1>。・

4_

(a)当/(e2)=e2+=—2a<0,即々〈e?时，在口1］上有1个零点;

e，e—1

4_

(b)当/(匕2)=。2-|—--2a20,即e<aV—-—时，“力在［1,e?］上有2个零点;

e，e—1

口当时，八光了0在［1,f］上恒成立，"可在口1］上单调递减.

222

n/(l)=a-l>0,/L+a<e+f^--2je=-e+1<0,

口/（x）在［1,e?］上有1个零点，

综上，当l<a<e时，/（尤）在上无零点;

4

当aWl或a=e或a〉2：［时,"%）在［"］上有1个零点;

4

当e<aV/7时，〃可在口1］上有2个零点.

（-）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）

椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，

在直尺上有两个固定的滑块4B,它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔,

使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中眼却=2,照用=1,如图，以两条导槽的交点为原点

。，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系.

（1）将以射线&为始边，射线为终边的角记为<p（0秘<2兀），用9表示点M的坐标，并求出C

的普通方程；

(2)已知过C的左焦点F且倾斜角为a(OWa<—)的直线/i与C交于。，£两点，过点尸且垂直于/i

2

11

的直线/2与C交于G,〃两点.当诉i，\GH\,/K依次成等差数列时，求直线，2的普通方程.

\FE\\FD\

2

【答案】⑴M{2cos(p,sirup),^-+y2=1；(2)x+夜y+G=O

【分析】(1)设Af(x,y)依题意得：x=2cos(p,y=sin^,

所以Af(2cos(p,sin^),

2

由于,整理得工+y2=]

4

JT

(2)由于直线/i的倾斜角为a(0<a<一),且八口/2,

2

所以直线心的倾斜角为a+