福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校2025届高一数学第一学期期末达标检测试题含解析

福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校2025届高一数学第一学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，正方体中，分别为棱的中点，则在平面内与平面平行的直线A.不存在 B.有1条C.有2条 D.有无数条2．已知全集，集合1，2，3，，，则A.1， B.C. D.3，3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本中的中年职工人数为（）A.10 B.30C.50 D.704．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）.A. B.C. D.5．已知函数则函数的零点个数为.A. B.C. D.6．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B.C. D.7．已知函数，，的零点分别为则的大小顺序为（）A. B.C. D.8．设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称是函数的一个不动点，下列函数存在不动点的是（）A. B.C. D.9．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝A.{x|－1＜x＜3} B.{x|－1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}10．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中x为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为______万元.12．已知且，函数的图象恒经过定点，正数、满足，则的最小值为____________.13．计算值为______14．计算：______.15．已知函数，x0R，使得，则a=_________.16．由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求出该函数最小正周期；（2）当时，的最小值是-2，最大值是，求实数a，b的值18．已知函数，在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）设，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和.19．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边过点（1）求的值；（2）求的值20．已知函数（1）若是偶函数，求a的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围21．计算下列各式的值：（1），其中m，n均为正数，为自然对数的底数；（2），其中且

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据已知可得平面与平面相交，两平面必有唯一的交线，则在平面内与交线平行的直线都与平面平行，即可得出结论.【详解】平面与平面有公共点，由公理3知平面与平面必有过的交线，在平面内与平行的直线有无数条，且它们都不在平面内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面平行.故选：D.【点睛】本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题.2、C【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算，即可求解，得到答案【详解】由题意，可得集合，又由，所以故选C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合B，熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、A【解析】利用分层抽样的等比例性质，结合已知求样本中中年职工人数.【详解】由题意知，青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数＝350：250：150＝7：5：3由样本中的青年职工为14人，可得中年职工人数为10故选：A4、D【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案【详解】解：由函数为奇函数，得，不等式即为，又单调递减，所以得，即，故选：D.5、B【解析】令，得，令,由，得或，作出函数的图象，结合函数的图象，即可求解【详解】由题意，令，得，令,由，得或，作出函数的图象，如图所示，结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中令,由，得到或，作出函数的图象，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题6、C【解析】先根据图象求出，得到的解析式，再根据整体代换法求出其对称中心，赋值即可得出答案【详解】由图可知，，，∴，∴当时，，即令，解得当时，可得函数图象的一个对称中心为故选：C.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析式时，求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点)时；“第二点”(即图象的“峰点”)时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点)时；“第四点”(即图象的“谷点”)时；“第五点”时.7、C【解析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可【详解】函数，，的零点转化为，，与的图象的交点的横坐标，因为零点分别为在坐标系中画出，，与的图象如图：可知，，，满足故选：8、D【解析】把选项中不同的代入，去判断方程是否有解，来验证函数是否存在不动点即可.【详解】选项A：若，则，即，方程无解.故函数不存在不动点；选项B：若，则，即，方程无解.故函数不存在不动点；选项C：若，则，即或，两种情况均无解.故函数不存在不动点；选项D：若，则，即设，则，则函数在上存在零点.即方程有解.函数存在不动点.故选：D9、A【解析】由已知，集合A＝（－1，2），B＝（1，3），故A∪B＝（－1，3），选A考点：本题主要考查集合概念，集合的表示方法和并集运算.10、A【解析】由题意可得在单调递减，且，从而可得当或时，，当或时，，然后分和求出不等式的解集【详解】因为奇函数在上单调递减，且，所以在单调递减，且，所以当或时，，当或时，，当时，不等式等价于，所以或，解得，当时，不等式等价于，所以或，解得或，综上，不等式的解集为，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、34【解析】设公司在甲地销售农产品吨，则在乙地销售农产品吨，根据利润函数表示出利润之和，利用配方法求出函数的最值即可【详解】设公司在甲地销售农产品（）吨，则在乙地销售农产品吨，，利润为，又且故当时，能获得的最大利润为34万元故答案为：34.12、9【解析】由指数函数的性质可得函数的图象恒经过定点，进而可得，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】解：因为函数的图象恒经过定点，所以，又、为正数，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.13、1；【解析】14、【解析】利用指数幂和对数的运算性质可计算出所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题考查指数与对数的计算，考查指数幂与对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】由基本不等式及二次函数的性质可得，结合等号成立的条件可得，即可得解.【详解】由题意，，因为，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；所以，又x0R，使得，所以，所以.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16、【解析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.【详解】圆心坐标，半径要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，此时最小值为圆心到直线的距离，此时，故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），【解析】（1）根据正弦函数的周期公式即可求出；（2）根据，求出的范围，即可得到函数的最小值及最大值，列出方程组，即可求a，b【小问1详解】由题意可得最小正周期为；【小问2详解】令，∵，∴，∴由正弦函数性质得，，设，故，，由，解得，故，.18、（1），（2）或；当时，两根之和；当）时，两根之和.【解析】（1）观察图象可得：，根据求出，再根据可得．可得解;（2）如图所示，．作出直线．方程有两个不同的实数根转化为：函数．与函数图象交点的个数．利用图象的对称性质即可得出【详解】（1）观察图象可得：，因为f(0)=1,所以.因为，由图象结合五点法可知，对应于函数y=sinx的点，所以（2）如图所示，作出直线方程有两个不同的实数根转化为：函数与函数图象交点的个数可知：当时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线对称，两根和为当时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线对称，两根和为【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、方程思想、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19、（1）（2）当时，；当时，【解析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式、同角三角函数基本关系化简求解；（2）分，分别由定义求出三角函数值求解即可.【小问1详解】由角的终边过点，得，所以【小问2详解】当时，，所以当时，，所以综上，当时，；当时，